Metrisk rom

Ethvert indreprodukt er også et normert vektorrom; ethvert normert vektorrom et metrisk rom; og ethvert metrisk rom et topologisk rom.

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk, det vil si et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat basert ene og alene på generelle egenskaper til en metrikk vil være gyldig i alle metriske rom.

Mengden av reelle tall, sammen med en metrikk basert på absoluttverdi, er et eksempel på et metrisk rom. Generelt kan enhver mengde gjøres til et metrisk rom, ved en passende definisjon av metrikk. For en gitt mengde kan det eksistere flere alternative metrikker, og hver av disse vil definere et eget metrisk rom for mengden.

I et metrisk rom kan en studere mange sentrale egenskaper i matematisk analyse, knyttet til at elementer er «nær» hverandre. Dette inkluderer egenskaper som konvergens og kontinuitet.

Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mange egenskaper i et metrisk rom er knyttet til topologien. Flere typer metriske rom kan ha samme topologi. Mengden av topologier inneholder altså alle metriske rom, og tilsvarende kan metriske rom inneholde andre matematiske strukturer.

Etymologi

Ordet metrikk er avledet fra gresk metron, som betyr «mål, lengde». Begrepet metrikk ble først brukt i verselære. Etter den franske revolusjon i 1789 tok Frankrike i bruk meter som lengdemål. Slik ordet er brukt i matematikk ble det først definert av den franske matematikeren Maurice Fréchet i 1906. Felix Hausdorff (1969-1942) innførte begrepet «metrisk rom» (tysk: «metrischer Raum») i boka Grunzüge der Mengelehre (1914).

Formell definisjon

Et metrisk rom $(V,d)$ er en mengde $V$ der det er definert en metrikk, det vil si en funksjon $d:V\times V\to {ℝ}^{+}$ med følgende egenskaper:

$\begin{array}{ccc}d(x,y)& \ge 0& \text{Ikke-negativ}\\ d(x,y)& =0⟺x=y\\ d(x,y)& =d(y,x)& \text{Symmetri}\\ d(x,y)& \le d(x,z)+d(z,y)& \text{Trekantulikheten}\end{array}$

Eksempler

Alle mengder kan gjøres til en metrisk rom, ved valg av en passende metrikk. For et gitt rom vil det være mulig å velge mellom mange alternativ for metrikken. For flere eksempler på metrikk-definisjoner, se metrikk.

Mengden av reelle tall, utstyrt med en metrikk basert på absoluttverdi, er et metrisk rom:

$d(x,y)=|x-y|$.

Mer generelt vil ${ℝ}^n=\{x|x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\}$ være et metrisk rom for eksempel med en av de følgende metrikkene

$\begin{array}{cc}{d}_p(x,y)& =(\sum _i^n(x_i-y_i{)}^p{)}^{\frac{1}{p}}\\ d_{\mathrm{\infty }}(x,y)& =\underset{i}{\max }(|x_i-y_i|)\end{array}$

Mengden av funksjoner kontinuerlig på intervallet [0,1] kan gjøres til et metrisk rom ved å bruke supremum-metrikken

$d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=\underset{t\in [0,1]}{\sup }(|x(t)-y_{(}t)|)$

Underrom

Et underrom av et metrisk rom $(V,d)$ er en delmengde $A\subseteq V$ utstyrt med samme metrikken som i $V$, det vil si restriksjonen av $d$ til $A\times A$.

Toplogi i metriske rom

En omegn (kule) omkring et vilkårlig element $x_0$ i et metrisk rom $(V,d)$ er en mengde

$B(x_0,ϵ)=\{x\in V|d(x_0,x)<ϵ\}$

Denne mengden er en åpen mengde. Tilsammen utgjør alle slike kuler en basis for en topologi i det metriske rommet. Alle metriske rom er derfor også topologiske rom. Ofte er det lettere å uttrykke topologiske egenskaper i et metrisk rom enn i et topologisk rom.

Et opphopningspunkt $x_0$ kan i et metrisk rom defineres som et element som har uendelig mange andre element nær seg, det vil si at

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }x\in V)(x\in B(x_0,ϵ))$.

Omvendt kan mange topologier utledes fra en metrikk, og slike topologier kalles metriserbare. Den euklidske metrikken svarer til en euklidsk topologi.

Flere ulike metrikker kan svare til samme topolog, og metrikkene sies da å være topologisk ekvivalente. I ${ℝ}^n$ er alle metrikker topolgisk ekvivalente: Alle metriske rom i ${ℝ}^n$ svarer til den euklidske topologien.

Grunnleggende begrep

Definisjonen av en metrikk bygger ikke på noen operasjon i det metriske rommet. Den eneste strukturen i det metriske rommet er metrikken, avstanden mellom to element. Det er ikke mulig fra metrikken å si noe om lengden til enkelte mengde-element, til det trengs det en definisjon av en norm i mengden.

Egenskaper som kan knyttes til strukturen i et metrisk rom kalles metriske. Dette gjelder flere sentrale begreper i matematisk analyse, som grenseverdi, konvergens og kontinuitet.

Grenseverdi og konvergens

En uendelig følge i et metrisk rom $V$ er en mengde $\{x_1,x_2,\mathrm{...},x_n,\dots \}$. For mange følge vil leddene nærme seg hverandre når indeksen $n$ øker, og egenskapen «nærmer seg hverandre» kan måles med metrikken. Selv om en grenseverdi ikke er kjent, kan en likevel undersøke om følgen er en Cauchy-følge, det vil si oppfyller

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(m,n>N\Rightarrow d(x_m,x_n)<ϵ).$

Cauchy-følger har bare mening i et metrisk rom, ikke i en topologi uten metrikk.

Følgen er (metrisk) konvergent i $V$ (konvergent i metrikken) dersom det eksisterer en $x\in V$ slik at

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(n>N\Rightarrow d(x_n,x)<ϵ)$

For følger av reelle tall er dette sammenfallende med vanlig definisjon av konvergens. Alle konvergente følger er Cauchy-følger.

Dersom leddene i følgen er elementer i et endelig-dimensjonalt rom $x_n=({\xi }_n^1,{\xi }_n^2,\dots ,{\xi }_n^k)$, så kan en definere komponentvis konvergens ved at

${\xi }_n^p\to {\xi }^p\text{ når }n\to \mathrm{\infty }$

Konvergens i en vilkårlig metrikk vil da være ekvivalent til komponentvis konvergens. I denne sammenhengen er alle metrikker i endelig-dimensjonale rom ekvivalente. For en følge i et uendelig-dimensjonalt rom vil konvergens med hensyn på en metrikk medføre komponentvis konvergens, men ikke nødvendigvis motsatt. I slike rom er altså metrisk konvergens et sterkere vilkår enn komponentvis konvergens.

For en følge av funksjoner $f_n(x)$ vil punktvis konvergens si at følgen konvergerer mot en $f(x)$ for hver $x$ i definisjonsområdet. Dette kan ikke uttrykkes ved en metrikk i et funksjonsrom utstyrt med en topologi for punktvis konvergens. Metriske rom er ikke tilstrekkelige for å kunne beskrive alle typer konvergens.

Begrensete rom

Et metrisk rom $(V,d)$ er begrenset dersom det er inneholdt i en kule med endelig radius:

$(\mathrm{\exists }r>0)(\mathrm{\exists }{x}_0\in V)(\mathrm{\forall }x\in V)(d(x,x_0)<r)$

Rommet er totalt begrenset dersom det for hver $ϵ$ inneholder en endelig undermengde $A_{ϵ}$ (kalt et $ϵ$-nett) slik at for hver $x\in V$ finnes det en $y\in A_{ϵ}$ med $d(x,y)<ϵ.$.

Komplette rom

Utdypende artikkel: Komplett metrisk rom

Et metrisk rom $(V,d)$ sies å være komplett dersom en hver Cauchy-følge konvergerer mot et element som også ligger i $V$. Mange praktiske problem kan løses ved å konstruere en følge av tilnærminger til den eksakte løsningen på problemet. Ved hjelp av metrikken kan en sikre at tilnærmingene ligger «nær» løsningen. Dersom rommet av tilnærminger er komplett, vet en også at tilnærmingene konvergerer mot en løsning i samme rommet.

Et hvert euklidsk rom ${ℝ}^n$ er komplett. Mengden av rasjonale tall $\mathbb{Q}$ er derimot ikke komplett: Det eksisterer mange Cauchy-følger i $\mathbb{Q}$ som konvergerer mot et grense som ikke er et rasjonalt tall.

I et topologisk rom kan en definere en lukket mengde som en mengde som inneholder alle sine opphopningspunkt. Dette vil gjelde også for topologien i et metrisk rom. Kompletthet har derimot bare mening i et metrisk rom, tilsvarende som for Cauchy-følger. De to begrepene er imidlertid tett knyttet sammen: Hvis $(V,d)$ er et komplett metrisk rom og $(M,d)$ er et underrom av dette, så er $(M,d)$ komplett hvis og bare hvis $M$ er lukket i $V$.

Kompakte rom

Kompakthet er en topologisk egenskap, og det finnes flere alternative definisjoner for et metrisk rom:

• Et kompakt metrisk rom er et metrisk rom som er komplett og total begrenset.
• Et metrisk rom er kompakt dersom enhver følge i rommet har en konvergent delfølge.

Funksjoner mellom metriske rom

I det følgende er $f$ en funksjon mellom to metriske rom: $f:(V_A,d_a)\to (V_B,d_B)$.

Isometri

En isometri er en bijektiv funksjon mellom to metriske rom som bevarer metrikken. At funksjonen er bijektiv innebærer at til hvert element i $V_B$ svarer ett og kun ett element i $V_A$. At funksjonen bevarer metrikken vil si at

$d_A(x,y)=d_B(f(x),f(y))\mathrm{\forall }x,y\in V_A$

To metriske rom der det er gitt en isometri kalles isometriske rom og er metrisk sett ekvivalente eller identiske.

I geometri kalles en isometri også for en kongruent transformasjon og en stiv forflytning. Translasjon, rotasjon og rekfleksjon er alle stive forflytninger.

Kontinuitet

Kontinuitet for en funksjon defineres vanligvis som en punktvis og lokal egenskap. En funksjon mellom to metriske rom kan også defineres som kontinuerlig i metrikkene, uniformt kontinuerlig, ved å oppfylle

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x,y\in V_A)(d_A(x,y)<\delta \Rightarrow d_B(f(x),f(y))<ϵ)$

I motsetning til i definisjonen av punktvis konvergens, må her valg av størrelsen $\delta$ være uavhengig av argumenter for funksjonen $f$. Ofte defineres uniform konvergens med metrikken $d_{\mathrm{\infty }}$.

Uniform kontinuitet er en metrisk egenskap som ikke kan knytes til topologi.

Lipschitz-kontinuitet

En funksjon mellom to metriske rom er Lipschitz-kontinuerlig dersom det eksisterer en konstant $K$ slik at

$d_B(f(x),f(y))\le K{d}_A(x,y)$.

Metriske rom med tilleggsstruktur

Flere matematiske strukturer er utstyrt med en metrikk. For et normert vektorrom er det definert en naturlig metrikk ved

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$.

Alle normerte vektorrom er derfor også metriske rom.

For et indreproduktrom med en norm definert fra indreproduktet $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ kan en ha samsvarende definisjoner:

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\sqrt{⟨x-y,x-y⟩}$.

Et indreproduktrom vil derfor også være et normert vektorrom og et metrisk rom. Et euklidsk rom er et indreproduktrom med en euklidsk metrikk.

Litteratur

• Charles Chapman Pugh (2002). Real Mathematical Analysis. Berkeley, CA, USA: Springer. 

• Gerard Buskes, Arnoud van Rooij (1997). Topological Spaces – From Distance to Neighborhood. New York, NY, USA: Springer. 

• R.D.Milne (1980). Applied functional analysis. An introductory treatment.. London: Pitman Publishing. ISBN 0-273-08404-6. 

Autoritetsdata