Episykel

Planeten følger episyklen som roterer i samme retning som dens sentrum roterer langs deferenten.

Episykel er en liten, ekstra sirkelbevegelse som man i gresk astronomi benyttet til å forklare at planetene under deres gang på himmelkulen i kortere perioder synes å skifte bevegelsesretning. Sentrum til denne sirkelen beveger seg samtidig med jevn hastighet på en større sirkel. Denne omtales som episyklens deferent eller «styringssirkel» med Jorden som sentrum.

Mye av det greske verdensbildet var basert på aristoteliske idéer der all bevegelse utenfor Jorden må skje langs sirkler. Denne var lettest å se i den daglige gang til de forskjellige himmellegemene. Men mer detaljerte observasjoner tydet på et mer sammensatt bilde. Matematikeren Apollonios viste omkring 200 f.Kr. at en mulig forklaring kunne finnes ved å kombinere flere sirkelbevegelser hvor sirkler har senter som beveger seg på andre sirkler.

Denne episykelteorien ble anvendt noen tiår senere av Hipparkhos til å beskrive Solens og Månens gang gjennom året og videreutviklet av Ptolemaios til å gi en fullstendig beskrivelse av planetenes bevegelser rundt Jorden. Han måtte da oppgi den opprinnelige antagelsen at episyklens sentrum skal bevege seg langs deferenten med jevn hastighet. I stedet er denne konstant sett fra et ekvantpunkt litt utenfor Jorden. På den måten kom han rundt 150 e.Kr. frem til sin ekvantteori. Denne ga de neste 1400 år den mest nøyaktige beskrivelse av all bevegelse på himmelhvelvingen.

Med Kopernikus ble det klart rundt år 1500 e.Kr. at den episykliske beskrivelsen er en direkte konsekvens av at planetene beveger seg om Solen og ikke rundt Jorden. Men likevel måtte han innføre mindre episykler for å kompensere for at denne bevegelsen ikke skjer i eksakte sirkler. Den endelige avklaringen kom med Kepler vel hundre år senere. Han viste at planetene beveger seg i ellipser om Solen med denne i deres ene brennpunkt. Det andre tilsvarer ekvantpunktet til Ptolemaios.

Bakgrunn og beskrivelse

Allerede under Eudoksos fra Knidos var det blitt det klart at det enkle bildet med Solen i en ren sirkelbevegelse om Jorden ikke var helt korrekt. Det ville ha gitt årstider som var like lange i strid med hva man observerte. En akseptabel forklaring ble funnet av Hipparkhos omtrent 150 f.Kr. som plasserte Jorden litt utenfor det geometriske sentrum til den tenkte sirkelbanen. Han viste også at denne eksentriske modellen var ekvivalent med å tenke seg en episykel på den opprinnelige, sirkulære banen. Dette geometriske bildet gjorde det nå mulig å beregne lengden til årstidene og Solens posisjon gjennom året ved å ta i bruk ny matematikk. I dag betraktes dette som begynnelsen av moderne trigonometri.

Episykel har sentrum i C på deferenten med sentrum i E. Når de roterer med motsatte vinkelhastigheter, er dette ekvivalent med en eksentrisk bevegelse om punktet C' slik at CP er parallell med EC'.

Et punkt på en sirkel med radius R  og som roterer med vinkelhastighet Ω, har koordinater x₀ = R cosΩt  og y₀ = R sinΩt. Dette punktet utgjør nå sentrum til en ny sirkel med radius r . Hvis man nå betrakter et punkt som roterer med vinkelhastigheten ω  på denne episykelen, vil det ha koordinater

$x=R\cos \Omega t+r\cos (\Omega +\omega )t$

$y=R\sin \Omega t+r\sin (\Omega +\omega )t$

Den opprinnelige sirkelen med radius R  er deferenten til denne episykliske bevegelsen. Generelt er det ingen lukket kurve, men har samme, matematiske form som en epitrokoide. Bare for spesielle, rasjonelle forhold mellom de to radiene og vinkelhastighetene vil kurven være lukket slik at det bevegelige punktet kommer tilbake til utgangspunktet.

Når de to vinkelhastighetene Ω  og ω  har samme fortegn, roterer punktet på episykelen i samme retning som dens senter beveger seg på deferenten. I det spesielle tilfellet at ω = - Ω, roterer de i motsatt retning slik at det mobile punktet på episykelen får samme bevegelse som om det satt på en sirkel med radius R  som roterte om et senter i x_c' = r, y_c' = 0. Det var denne eksentriske fremstillingen som Hipparkhos valgte å bruke for Solens gang. Da vil den én gang om året være i et perigeum hvor den er nærmest Jorden og et halvt år senere i et apogeum hvor den er lengst fra Jorden.

De greske astronomer synes ikke å være så opptatte med hva de virkelige bevegelsene til himmellegemene var. Så lenge de kunne beregne deres posisjoner og på den måten forutsi måne- og solformørkelser samt andre himmelske fenomen, er inntrykket at de var fornøydde. Spørsmål om den fysiske eksistens av episykler, er fraværende.

Elliptiske baner

Ellipseformet bane fra en spesiell, episyklisk bevegelse.

Episykler kan benyttes ikke bare til å skape eksentriske bevegelser, men kan også gi opphav til elliptiske baner. De fremkommer i det spesielle tilfellet ω = - 2Ω  der episykelen roterer dobbelt så raskt som deferenten, men i motsatt retning. Bevegelsen til punktet på episykelen får dermed koordinater

$x=(R+r)\cos \Omega t,y=(R-r)\sin \Omega t$

Det ligger derfor på ellipsen

$\frac{x^2}{(R+r{)}^2}+\frac{y^2}{(R-r{)}^2}=1$

som har en stor halvakse a = R + r  og en liten med lengde b = R - r . Selv om denne resulterende bevegelsen har ellipseform, har punktet ingen Kepler-bevegelse da punktets hastighet i banen ikke oppfyller den andre loven om konstant flatehastighet. Hvis betingelsen ω = - 2Ω  ikke er eksakt oppfylt, vil vil ellipsene hovedakse presessere, det vil si langsomt dreie seg i planet.

Av dette eksempelet er det lett å se at det var liten grunn til å tillegge episyklene en fysisk virkelighet. Men man kan tenke seg en mekanisk konstruksjon hvor man ved hjelp av to rotasjoner kan skape en bevegelse langs en ellipse. Det benyttes på lignende vis i en Tusi-kobling hvor to sirkulære bevegelser resulterer i en oscillasjon langs en rett linje. En slik innretning har praktiske anvendelser.

Planetbaner

Retrograd bevegelse av en planet kan fremkomme når den befinner seg på en episykel som roterer i samme retning som dens sentrum på deferenten.

Av beretningen om Hipparkhos bruk av eksentriske baner og episykler i det store verket Almagest som Ptolemaios skrev, går det ikke frem at han benyttet slike teorier for å forklare planetenes retrograde bevegelser på himmelkulen. Mens både Solen og Månen beveget seg jevnt kun i én retning, kan man se at de to indre planetene Merkur og Venus samt de tre ytre Mars, Jupiter og Saturn i kortere perioder stopper opp, beveger seg litt tilbake for så å fortsette i samme retning som de opprinnelig hadde.

Planeten har retrograd bevegelse mellom 2 og 3.

Solen og Månen beveger seg hver i en eksentrisk bane som kan beskrives som en episyklisk rotasjon på en deferent som roterer like raskt i motsatt retning. Fra dette bildet kan man se at hvis disse to rotasjonene foregår i samme retning, vil det resultere i kortere perioder med retrograd bevegelse. Det er mulig at Hipparkhos fant en tilpasning av denne matematiske konsekvensen til hva som ble observert, så vanskelig at han ikke la mer arbeid i en slik episyklisk forklaring av dette fenomenet. Først da Ptolemaios omtrent tre hundre år senere med innføring av det eksentriske ekvantpunktet for rotasjon av deferenten, hadde man en nøyaktig teori som også forklarte de retrograde forflytningene til de fem planetene.

Episykliske bevegelser til Merkur, Venus og Solen i løpet av 7-8 år. Gjengitt i Encyclopedia Britannica i første utgave fra 1771.

Bevegelsene til de to indre planetene synes å skille seg på én vesentlig måte fra hvordan de tre ytre planetene beveger seg. Både Merkur og Venus observeres alltid nærme Solen, mens Mars, Jupiter og Saturn kan sees i helt vilkårlige avstander fra denne. Med bruk av én episykel på en deferent for hver planet, kunne man forklare alt dette. Rotasjonshastigheten langs deferenten måtte da var lik med planetens sideriske omløpstid, mens rotasdjonshastigheten til selve episykelen er den samme som planetens synodiske omløpstid. Dette hadde som konsekvens for de to indre planetene at retningene til episyklenes senter var de samme som retningen fra Jorden til Solen. Mer overraskende var det kanskje at de tre ytre planetene måtte bevege seg på episykler hvor de befant seg med en radiell plassering som sammenfalt med den samme retningen til Solen sett fra Jorden. Disse spesielle føringene eller sammenhengene synes ikke å ha vært noe tema på den tiden og kan skyldes at episyklene ikke ble tillagt noen virkelig, fysisk eksistens. Men de utgjorde noen av grunnene til at Kopernikus på 1500-tallet forkastet dette geosentriske verdensbildet og lanserte sin heliosentriske beskrivelse med Jorden og de fem planetene i sirkulære baner om Solen.

Ved mer presise anvendelser av disse teoriene må man også ta hensyn til at de ikke beveger seg i nøyaktig samme plan som Solen hvis bane utgjør ekliptikken. Men vinklene mellom de forskjellige baneplanene er så små at det ikke skaper noen store problem. Allerede Ptolemaios kunne beskrive denne transversale bevegelsen ved å innføre ekstra episykler. På samme måte måtte Kopernikus over tusen år senere også innføre mindre episykler for å rette opp antagelsen om at planetene beveget seg i eksakte sirkler.

Episykler fra Kopernikus

Det er uklart hva som fikk Nikolaus Kopernikus til å ville erstatte det ptolemeiske verdensbildet med en heliosentrisk beskrivelse der platenetene beveger seg om Solen istedenfor om Jorden. Men spesielt fant han idéen om et ekvantpunkt som styrer bevegelsen av episykelsenteret langs deferenten, lite troverdig. Samtidig ville han bevare den aristoteliske antagelsen om at planetene må bevege seg i sirkler med konstant hastighet. Dette kunne han få til ved å la disse sirklene ha et felles senter i Solen samtidig som Jorden får en lignende, sirkulær bevegelse om denne på samme måte som de andre planetene. Radiene til de tidligere episyklene og deferentene til Ptolemaios kunne dermed identifiseres med avstandene som de forskjellige planetene har til Solen slik at han også kunne bestemme størrelsen på Solsystemet vårt.

Bevegelse langs en sirkel har den store fordel at den kan lett beskrives matematisk. Rotasjon av et punkt vil ha koordinatene x = R cosΩt  og y = R sinΩt  når den skjer mot urviseren for økende tid t  der Ω  er vinkelhastigheten. Mer kompakt kan dette skrives ved å innføre den komplekse posisjonen z = x + iy . Da blir z = exp(iΩt ) når man gjør bruk av Eulers formel. På dette viset vil ligningene for en episyklisk bevegelse kunne sammenfattes til

$z=R{e}^{i\Omega t}+r{e}^{i(\Omega +\omega )t}$

Det første leddet beskriver rotasjonen av episyklens senter langs deferenten, mens det andre leddet angir forflytningen av punktet på grunn av episyklens egen rotasjon om dette senteret.

Indre planeter

Øverst beveger en indre planet P seg om Solen S, mens nederst er bevegelsen beskrevet sett fra Jorden E.

Den komplekse posisjonen til en planet P i sirkulær bane med radius r₁  kan nå skrives som z_P = r₁ exp(iω₁t ) når den beveger seg med vinkelhastigheten ω₁ omkring Solen S. På samme måte er posisjonen til Jorden gitt ved z_E = -r₀ exp(iω₀t ) der vinkelhastigheten ω₀ tilsvarer en omløpstid på ett år. Fortegnet her tilsvarer at planeten har maksimal avstand r₁ + r₀ fra Jorden ved tidspunktet t = 0, Hvis planeten nå observeres fra Jorden, vil den ha en relativ posisjon til denne gitt som z = z_P - z_E  eller

$z=r_0{e}^{i{\omega }_{0}t}+r_1{e}^{i{\omega }_{1}t}$

For en indre planet er den sideriske omløpstiden ω₁ > ω₀. Da den kan uttrykkes ved den tilsvarende synodiske omløpstiden ω₂ ved Kopernikus sin sammenheng ω₁ = ω₀ + ω₂, kan posisjonen til denne planeten sett fra Jorden skrives som

$z=r_0{e}^{i{\omega }_{0}t}+r_1{e}^{i({\omega }_0+{\omega }_2)t}$

Dette beskriver nå en episyklisk bevegelse av planeten P på en deferent med radius ES med lengde r₀ . Episykelen har radius r₁  som er lengden SP. Dens senter S roterer på deferenten med vinkelhastighet ω₀, mens planeten beveger seg i samme retning med sin synodiske vinkelhastighet ω₂ på episykelen.

En ytre planet har nederst en geosentrisk bevegelse på en episykel som tilsvarer den heliosentriske bevegelsen øverst.

Dette er akkurat hva Ptolemaios hadde antatt for bevegelsen av de to indre planetene. Begge befinner seg på episykler med senter i samme retning som Solen har sett fra Jorden. Kopernikus viste at de i tillegg beveger seg på samme deferent med radius som er lik med avstanden mellom Solen og Jorden, mens radiene til de to episyklene er lik med radiene til deres baner om Solen.

Selv om det heliosentriske verdensbildet hadde mange fordeler, var det likevel ikke mer nøyaktig for beregning av planetenes baner. Kopernikus fant selv ut han måtte modifisere sine sirkelbevegelser med mindre episykler for å nærme seg presisjonen som Ptolemaios hadde oppnådd. Dette skyldtes i stor grad at banene i virkeligheten er ellipser og ikke eksakte sirkler.

Ytre planeter

For en av de ytre planetene er dens relative posisjon z = z_P - z_E  i forhold til Jorden fremdeles gitt som

$z=r_0{e}^{i{\omega }_{0}t}+r_1{e}^{i{\omega }_{1}t}$

når igjen r₁  er radius til dens sirkulære bane om Solen, mens ω₁ er dens sideriske omløpstid. Denne er i dette tilfellet gitt ved sammenhengen ω₁ = ω₀ - ω₂ hvor igjen ω₂  er gitt ved den synodiske omløpstiden. Den relative posisjonen kan derfor skrives som

$z=r_1{e}^{i{\omega }_{1}t}+r_0{e}^{i({\omega }_1+{\omega }_2)t}$

På dette viset er også den relative bevegelsen til en ytre planet gitt ved en episyklisk beskrivelse som følger fra Kopernikus sitt heliosentriske verdensbilde. I dette tilfellet er radius til deferenten lik med dens avstand r₁  fra Solen. Senter til episyklen med radius r₀  roterer her med en vinkelhastighet ω₁ som er gitt ved planetens sideriske omløpstid, mens episyklen roterer i samme retning med vinkelhastigheten ω₂, tilsvarende dens synodiske omløpstid.

Animasjon av bevegelsen til en ytre planet (rød) med en omløpstid som er eksakt dobbelt så stor som omløpstiden til Jorden (blå).

De ytre planetene har derfor deferenter med forskjellige radier, men episykler med samme radius CP som tilsvarer Jordens avstand r₀  fra Solen. Dette var selvsagt ukjent for Ptolemaios, han kunne bare bestemme forholdene mellom disse forskjellige lengdene. Men han observerte at retningen CP for de tre ytre planetene alltid var i samme retning som Solen har sett fra Jorden, det vil si SE i figuren. Det tok mer en tusen år før dette fenomenet ble forklart av Kopernikus.

Når man følger den episykliske banen over lengre tid, er ikke den vanligvis en lukket kurve. De retrograde avvikene observeres som mindre sløyfer i den dominerende bevegelsen og vil da opptre i stadig nye retninger på himmelkulen. Bare når omløpstidene er slik at forholdet ω₁/ω₀ er et rasjonalt tall, er den fulle bevegelsen en lukket kurve som vil gjenta seg etter en viss tid. Den kan da klassifiseres som en epitrokoide eller generalisert sykloide.

Måneteorier

Det var Hipparkhos som lagde den første teorien for Månens bevegelse som var tilnærmet i overensstemmelse med observasjoner. Basert på mange hundre års tidfestelser av sol- og måneformørkelser som han overtok fra babylonerne, viste han at dette himmellegemet beveget seg i et plan omkring Jorden. Dette planet danner en vinkel på rundt 5° med det tilsvarende planet som Solen synes å bevege seg i, det vil si med ekliptikken. Det ligger ikke fast, men beveger seg slik at knutelinjen eller skjæringslinjen mellom disse to planene roterer vestover med en periode på omtrent 18.6 år. Men dette merkes knapt i den årlige bevegelsen som er mye mer komplisert enn den for Solen.

Månen S er på en episykel som roterer motsatt av dens sentrum P som befinner seg på deferenten med sentrum i Jorden T. Samme teori for Solen krever at rotasjonene er slik at PS alltid er parallell med TO.

Bevegelsen til Solen kunne Hipparkhos forklare meget nøyaktig ved sin eksentriske teori. Den er matematisk ekvivalent med at Solen befinner seg på en episykel som roterer med samme hastighet som dens senter beveger seg på deferenten, men i motsatt retning. Denne beskrivelsen benyttet han også for Månen, men uten betingelsen om at de to rotasjonene i motsatt retning skulle være like store. Banen blir da mer komplisert enn en eksentrisk sirkel. Hvis R  er radius til deferenten og r  radius i episyklen, er banen gitt som

$z=R{e}^{i{\omega }_{0}t}+r{e}^{i({\omega }_0-{\omega }_1)t}$

når man benytter komplekse variable. Vinkelhastigheten ω₀ = 2π /T₀ er forbundet med den sideriske omløpstiden T₀ = 27.32 dager, mens ω₁ er gitt på samme vis ved den anomalistiske perioden T₁ = 27.55 dager, Det er tiden som Månen bruker i sin bevegelse fra perigeum og tilbake til samme punkt i banen. Den har der sin maksimale hastighet da den befinner seg på linjen mellom Jorden og senter til episykelen der de to rotasjonene virker i samme retning. '

Teoriene til Hipparkhos for Solens og Månens bevegelser er bare kjent gjennom verket Almagest til Ptolemaios. Han prøvde å beskrive Månen mer nøyaktig blant annet ved å la deferentens sentrum rotere på en liten sirkel omkring Jorden. Men likevel forble det flere aspekt ved denne bevegelsen som ikke lot seg enkelt beskrive. Mer enn tusen år senere prøvde Kopernikus å løse dette problemet ved å innføre en ekstra episykel som beveget seg på episykelen til Hipparkhos. Det var etableringen av Newtons gravitasjonslov som gjorde det klart at Månens bevegelse er et trelegemeproblem hvor påvirkningen fra Solen ikke kan neglisjeres. Likevel ville det ta enda flere hundre år før man hadde en like god teori for dette himmellegemet som for de andre planetene der episykelteoriene er mer realistiske.

Galileo og Venus' faser

Hvis Solen ligger utenfor episykelen til planeten Venus, vil denne ikke fremvise alle faser.

Ptolemaios kjente ikke til de absolutte avstandene i Solsystemet, men antok at Solen befant seg mellom de indre og ytre planetene. De to indre planetene skilte seg ut fra de andre ved at deres vinkelavstand fra Solen aldri ble større enn en viss øvre grense. Dette var forbundet med at deres episykler hadde sentra som alltid var i samme retning som den fra Jorden til Solen. Kopernikus hadde brukt dette forholdet til å argumentere for sitt heliosentriske solsystem. Han hadde innsett at en indre planet som Venus neppe ville ha fulle faser på samme måte som Månen har i et geosentrisk system med episykler.

Da Galileo Galilei rettet sin kikkert mot Venus rundt 1610, så han at planeten gradvis oppviste alle faser på samme vis som Månen. Dette var vanskelig å forstå hvis planeten befant seg nærmere Jorden enn Solen. Han informerte Kepler og andre om sin oppdagelse uten at det vakte noen større oppsikt. Selv om han noen år senere ble anholdt av den katolske Inkvisisjonen for vranglære, var likevel denne observasjonen av stor betydning for den senere forkastelse av episykelteorien. Mer overraskende er at Galileo på dette tidspunktet var kjent med Keplers arbeid Astronomia nova om elliptiske planetbaner med Solen i ellipsens brennpunkt. Selv om denne teorien snart ville gjøre episykler helt overflødige, er det ikke kjent om Galileo ble overbevist om dens gyldighet.

Eksterne lenker

• PhysicsLibreTexts, Ancient Astronomy, episykler og ekvanter i gresk astronomi.
• PARI, Kepler's Discovery, websider med gode animasjoner.

Autoritetsdata