Redigerer Elektromagnetisk polarisasjon (avsnitt)

==Formell beskrivelse==

En [[elektromagnetisk bølge]] er beskrevet ved [[Maxwells ligninger]] som kan omformes til å gi en [[Bølgeligning#Elektromagnetiske bølger|bølgeligning]] som styrer dens utbredelse. Når den har en viss frekvens ''f&thinsp;'', vil den også ha en tilsvarende [[bølgelengde]] som i [[vakum]] er {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''c''&thinsp;/''f&thinsp;''}} hvor ''c&thinsp;'' er [[lyshastighet]]en. Vanligvis benytter man i stedet [[vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''&omega;'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;f&thinsp;''}} og [[Bølge#Harmoniske bølger|bølgetallet]] {{nowrap|''k'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;''/''&lambda;&thinsp;''}} slik at {{nowrap|''&omega;'' {{=}} ''ck&thinsp;''}}.

For en slik bølge som beveger seg langs ''z''-aksen, må den elektriske feltvektoren '''E'''('''x''',''t'') til hvert tidspunkt være en vektor i ''xy''-planet når man benytter et [[kartesisk koordinatsystem]]. Da de to komponentene ''E<sub>x</sub>&thinsp;'' og ''E<sub>y</sub>&thinsp;'' beveger seg uavhengig av hverandre, vil de derfor kunne skrives på formen

: <math>\begin{align} E_x(z,t) &= a\cos(kz - \omega t)\\ E_y(z,t) &= b\cos(kz - \omega t + \phi) \end{align} </math>

hvor ''a&thinsp;'' og ''b&thinsp;'' er to konstante [[amplitude]]r, mens konstanten ''&phi;&thinsp;'' angir [[faseforskyvning]]en mellom de to svingningene. For eksempel gir den forskjellen mellom to tidspunkt der komponentene blir null på et og samme sted. 

Det elektriske feltet til en plan bølge i ''z''-retningen er nå <math> \mathbf{E}(z,t) = a\,\mathbf{e}_x \cos(kz - \omega t) + b\,\mathbf{e}_y\cos(kz - \omega t + \phi). </math>

{|
| width="250" align="center" | [[Image:Polarisation rectiligne.gif|50px]]
| width="250" align="center" | [[Image:Polarisation elliptique.gif|170px]]
| width="250" align="center" | [[Image:Polarisation circulaire.gif|170px]]
|-----
| align="center" | Lineær || align="center" | Elliptisk 
| align="center" |  Sirkulær
|}
Den har en vilkårlig polarisasjon som er bestemt av tre variable. Det er de to amplitudene ''a&thinsp;'' og ''b&thinsp;''  samt faseforskjellen ''&phi;&thinsp;''  og leder til  tre hovedgrupper med karakteristiske egenskaper.<ref name = JW> F. A. Jenkins and H. E. White, ''Fundamentals of Optics'',  McGraw-Hill Book Company, New York (1957). </ref>

===Lineær polarisasjon===

Det enkleste tilfellet har man når faseforskjellen ''&phi;'' = 0 eller et helt antall 2''&pi;&thinsp;''. Da blir det elektriske feltet

: <math> \mathbf{E}(z,t) = (a\,\mathbf{e}_x + b\,\mathbf{e}_y) \cos(kz - \omega t)  </math>

og peker alltid langs vektoren ''a''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + ''b''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> i ''xy''-planet. Den danner en vinkel med ''x''-aksen som er gitt ved {{nowrap|tan''&psi;'' {{=}} ''b''&thinsp;/''a''&thinsp;}} og med en størrelse 

: <math> A = \sqrt{a^2 + b^2} </math>

som er den totale amplituden til bølgen. Den er i dette tilfellet '''lineært polarisert'''. Mange ganger sies den alternativt å være «planpolarisert» hvor planet er definert å inneholde ''z''-aksen sammen med denne polarisasjonsvektoren.
{{center | <gallery class=skin-invert-image>
Polarisation state - Linear polarization parallel to x axis.svg| Lineærpolarisasjon i ''x''-retning
Polarisation state - Linear polarization parallel to y axis.svg| Lineærpolarisasjon i ''y''-retning
Polarisation state - Linear polarization oriented at +45deg.svg| Lineærpolarisasjon i +45°-retning
</gallery> }}

En tilsvarende polarisasjon får bølgen hvis faseforskyvningen er ''&phi;'' = &plusmn;''&pi;&thinsp;''. Det betyr at de to komponentene er 180&deg; ut av fase. Da blir bølgefeltet

: <math> \mathbf{E}(z,t) = (a\,\mathbf{e}_x - b\,\mathbf{e}_y) \cos(kz - \omega t)  </math>

som har den samme, totale amplituden ''A''. Men i dette tilfellet danner polarisasjonsvektoren ''a''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> - ''b''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> en vinkel {{nowrap|tan''&psi;'' {{=}} - ''b''&thinsp;/''a''&thinsp;}} med ''x''-aksen. Den er like mye planpolarisert, men i en annen retning. Generelt kan en bølge med slik polarisasjon skrives som <math> \mathbf{E}(z,t) = \mathbf{E}_0 \cos(kz - \omega t)  </math> hvor '''E'''<sub>0</sub> er en konstant vektor.<ref name = Hecht> E. Hecht, ''Optics'', Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.</ref>

===Elliptisk polarisasjon===
[[Fil: Polarisation ellipse3.svg|thumb|270px|En elektromagnetisk bølge er generelt elliptisk polarisert da størrelsen til feltvektoren tar verdier som ligger på en [[ellipse]].]]
Ved nå å benytte en [[trigonometrisk identitet]] for [[cosinus]] av to vinkler, finner man i det generelle tilfellet med en vilkårlig faseforskyvning at det elektriske feltet i bølgen blir

: <math>\begin{align} \mathbf{E}(z,t) &= (a\,\mathbf{e}_x  +  b\,\mathbf{e}_y \cos\phi) \cos(kz - \omega t) \\ &- b\,\mathbf{e}_y\sin\phi \sin(kz - \omega t) \end{align} </math>

De to komponentene til feltvektoren oppfyller dermed ligningen

: <math> \Big({E_x\over a} \Big)^2  + \Big({E_y\over b}\Big)^2 - 2\Big({E_x\over a}\Big)\Big({E_y\over b}\Big)\cos\phi = \sin^2\phi </math>

som betyr at den beveger seg på en [[Ellipse#Generell kvadratisk form|ellipse]]. Enklest er det å se for det spesielle tilfellet der {{nowrap|''&phi;'' {{=}} &plusmn;&thinsp;''&pi;&thinsp;''/2.}}  Denne typen generell polarisasjon kalles derfor også '''elliptisk'''. Hovedaksene til ellipsen danner  en vinkel ''&psi;&thinsp;'' med koordinataksene som er gitt ved

: <math> \tan 2\psi = {2ab\over a^2 - b^2} \cos\phi </math>

Når faseforskyvningen  er ''&phi;'' = 0 eller ''&phi;'' = &plusmn;&thinsp;''&pi;&thinsp;'', degenerer ellipsen til en rett linje som da beskriver lineær polarisasjon.<ref name = JW/>

===Sirkulær polarisasjon===
{| align="right"
| [[ Fil: Polarisation state - Left-circular polarization.svg|thumb|165px|Høyrevridd polarisasjon.]]
| [[ Fil: Polarisation state - Right-circular polarization.svg|thumb|165px|Venstrevridd polarisasjon.]]
|}
For den spesielle faseforskyvningen {{nowrap|''&phi;'' {{=}} &plusmn;&thinsp;''&pi;&thinsp;''/2}} tar polarisasjonsellipsen den enklere formen

: <math> \Big({E_x\over a} \Big)^2  + \Big({E_y\over b}\Big)^2  = 1 </math>

Når i tillegg ''a'' = ''b'', går den over til å bli en sirkel. Man har da '''sirkulær''' polarisasjon som har stor praktisk og teoretisk betydning. Rotasjonen kan foregå i to retninger som tilsvarer høyresirkulær og ventresirkulær polarisasjon. Ofte sier man alternativt at den er «høyrevridd» eller «venstrevridd».

[[Fil: Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light_Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|left|thumb|Illustrasjon av bølge med venstresirkulær polarisasjon ifølge dagens konvensjon.]]

Det eksisterer to konvensjoner for disse navnene. Grunnen for dette kan man se fra variasjonen til selve feltvektoren '''E'''. Med ''a'' = ''b'' for {{nowrap|''&phi;'' {{=}} &plusmn;&thinsp;''&pi;&thinsp;''/2}} er den

: <math> \mathbf{E}(z,t) = a[\mathbf{e}_x \cos(kz - \omega t)  \mp \mathbf{e}_y \sin(kz - \omega t)] . </math>

På et bestemt sted som man kan velge å være ''z'' = 0, vil denne vektoren rotere mot urviseren i ''xy''-planet for det øvre valg av fortegn. Hvis man velger å benytte [[høyrehåndsregelen]] med tommelen langs bølgens bevegelsesretning, vil fingrere på hånden peke i rotasjonsretning. Denne polarisasjonen er da høyrevridd. Med det motsatte fortegnet vil den på tilsvarende vis være venstrevridd.<ref name = HP> HyperPhysics, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/polclas.html#c3 ''Classification of Polarization''], standard websider.</ref> 

Når elektromagnetiske bølger beskrives ved [[Kvantisert strålingsteori|kvantemekanikk]], tilsvarer de en strøm av [[foton]]er. En slik masseløs partikkel har [[spinn]] ''S'' = 1 med to komponenter &plusmn; 1 langs en retning som ''z''-aksen. Disse to verdiene tilsvarer høyrevridd og venstrevridd sirkulærpolarisasjon av den klassiske bølgen.<ref name = Baym> G. Baym, ''Lectures on Quantum Mechanics'', W.A. Benjamin, New York (1969).</ref>

Ved bruk av den alternative konvensjonen som benyttes hovedsaklig i eldre litteratur, ser man bort fra høyrehåndsregelen og betrakter i stedet rotasjonen i ''xy''-planet. Når den foregår mot høyre, har man høyresirkulær polarisasjon og omvendt for venstresirkulær polarisasjon.<ref name = Hecht/>