Norm (matematikk)

En norm er i matematikk en funksjon som tilordner en lengde til enhver vektor i et vektorrom. Lengden er en reell skalar og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et normert vektorrom. Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet. Normen definerer også en metrikk i rommet, et mål for avstanden mellom to vektorer. Metrikken vil også definere en topologisk struktur i rommet. To normer sies å være ekvivalente dersom de fører til samme topologi.

Definisjon

La $V$ være et vektorrom over en kropp $K$, der $K$ er enten $ℝ$ eller $ℂ$. En norm på $V$ er en funksjon $\Vert \cdot \Vert :V\to [0,\mathrm{\infty })$ slik at

1. $\Vert x\Vert \ge 0$ for alle $x\in V$ med likhet hvis og bare hvis $x=0$;
2. $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$ for alle $\alpha \in K$ og alle $x\in V$;
3. $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ for alle $x,y\in V.$

Den siste ulikheten kalles trekantulikheten.

En seminorm eller pseudonorm oppfyller de to siste vilkårene, men en svakere form for det første vilkåret, ved at «hvis og bare hvis» erstattes av «hvis».

Egenskaper

Metrikk

Fra normen kan en naturlig definere et avstandsmål mellom to vektorer, en metrikk, ved

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$.

En metrikk vil alltid definere en topologi i rommet. Fra metrikkdefinisjonen følger det at

$d(x,0)=\Vert x\Vert$,

det vil si at normen til en vektor er lik avstanden mellom vektoren og null-vektoren.

Den omvendte trekantulikheten

En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

$\Vert x-y\Vert \ge |\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |$,

som kalles den omvendte trekantulikheten.

Ekvivalente normer

To normer || ||₁ og || ||₂ definert i samme vektorrom sies å være ekvivalente dersom det eksisterer konstanter m og M slik at

$m\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1\le M\Vert x{\Vert }_2$

Ekvivalente normer fører til samme topologi, og to normerte rom med same topologi har ekvivalente normer. Ekvivalente normer kan i mange tilfeller erstatte hverandre, men ikke alltid: To ekvivalente normer vil gi opphav til to ulike metrikker.

For endelig-dimensjonale rom er alle normer ekvivalente. Egenskaper som kontinuitet og konvergens kan derfor undersøkes med en vilkårlig norm. I uendelig-dimensjonale rom gjelder generelt ikke denne sammenhengen.

Konveksitet

Fra trekantulikheten følger det direkte at normen er en konveks funksjon, det vil si at

$\Vert \lambda x+(1-\lambda )y\Vert \le \lambda \Vert x\Vert +(1-\lambda )\Vert y\Vert 0<\lambda <1$.

Norm for tallmengder

For vektorrommet definert ved tallmengden $ℝ$ av reelle tall kan en definere en norm fra absoluttverdien:

$\Vert x\Vert =|x|x\in ℝ$

Den samme definisjonen gjelder også for vektorrommet av komplekse tall $ℂ$.

Euklidsk norm

En velkjent norm for vektorrommene ${ℝ}^2$ og ${ℝ}^3$ er den euklidske normen. Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.

For en vektor $v=(x,y)$ i planet ${ℝ}^2$ er den euklidske normen definert ved

$\Vert v\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$.

For en vektor $v=(x,y,z)$ i det tre-dimensjonale rommet ${ℝ}^3$ er den euklidske normen definert ved

$\Vert v\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Også i et rom av høyere dimensjon ${ℝ}^n$ kan en definere en euklidsk norm tilsvarende. Navnet euklidsk norm brukes også i et rom $E^n$ som er isomorft med ${ℝ}^n$ og der normen er isometrisk med den euklidske normen i ${ℝ}^n$.

Normer i koordinatrom

Enhetssirkler i R² mht. forskjellige normer.

For vektorrommet ${ℝ}^n$, der $n$ er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

$x=(x_1,x_2,\mathrm{.....},x_n)$,

der $x_i$ er koordinatene i rommet. For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt p-normer eller også Hölder-normer:

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}p\ge 1$.

Den euklidske normen er identisk med 2-normen. Den følgende normen regnes som et spesialtilfelle i familien, ved å la $p$ gå mot uendelig:

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max \{x_i|1\le i\le k\}$

Figuren til høyre viser området i ${ℝ}^2$ definert av enhetssirkelen $\Vert x{\Vert }_p=1$ for ulike verdier av $p$.

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av Minkowskis ulikhet:

${(\sum _{i=1}^k|x_i+y_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^k|x_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^k|y_i{|}^p)}^{1/p}$

Normer i funksjonsrom

Vektorrommet av funksjoner $f(t)$ definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(t){|}^{p}dt<\mathrm{\infty }1\le p<\mathrm{\infty }$

kan utstyres med normen

$\Vert f(t){\Vert }_p={[\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(t){|}^{p}dt]}^{1/p}$

Det normerte rommet betegnes ofte med $L_p[0,1]$.

I et rom av funksjoner som er $n$ ganger kontinuerlig deriverbare i intervallet mellom 0 og 1, kan en definere normen

$\Vert f\Vert =\max \sum _{k=0}^n\left|\frac{d^{k}f}{d{t}^k}\right|$.

Det normert vektorrommet betegnes ${𝒞}^{[n]}[0,1]$.

Normer for følger

For en følge $x=\{x_n\}$ som oppfyller vilkåret at

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }$,

kan en definere familien av normer

$\Vert x\Vert ={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}1\le p<\mathrm{\infty }$.

I et rom av begrensede følger kan en definere normen

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n}{\sup }(|x_n|)$.

Operatornormen

En lineær transformasjon $T:V\to W$ mellom normerte vektorrom sies å være begrenset dersom det eksistere en konstant $K$ slik at

$\Vert Tv\Vert \le K\Vert v\Vert \text{for alle }v\in V.$

Den minste mulige slike $K$ kalles operatornormen eller sup-normen til $T$. Definisjonen kan også uttrykkes ved

$\Vert T\Vert =\underset{v\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tv\Vert }{\Vert v\Vert }=\underset{\Vert v\Vert =1}{\sup }\Vert Tv\Vert$.

Matrisenormer

Siden en matrise $A=[a_{ij}{]}_{mn}$ representerer en lineær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise. Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn. Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm, Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{tr(A^{H}A)}$

Her er $A^H$ den konjungert transponerte matrisen til en kompleks matrise $A$, den vanlige transponerte metrisen for en reell matrise. Navnet euklidsk norm kan forklares med at rommet av $(m\times n)$-matriser er isomorrft med ${ℝ}^{mn}$.

Maksimumsnormen for matriser er

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{ij}{\max }(|a_{ij}|)$

Rekkesumnormen er

$\Vert A\Vert =\underset{i}{\max }(\sum _j|a_{ij}|)$

Kolonnesum-normen defineres tilsvarende, ved å bytte indeksene $i$ og $j$.

For en matrise er operatornormen lik spektralnormen, også kalt maksimum singulærverdi-normen:

$\Vert A\Vert ={\sigma }_{max}=\max (\sqrt{\lambda })$.

Her er ${\sigma }_{max}$ den største singulærverdien, og $\lambda$ er en egenverdi til matrisen $(A^{H}A)$.

Siden alle matrisenormer er ekvivalente kan en i praktiske anvendelser ofte velge den normen som er enklest og billigst å beregne.

Norm i indreproduktrom

I et indreproduktrom kan en naturlig definere en norm fra indreproduktet:

$\Vert x\Vert =⟨x,x{⟩}^{1/2}$.

Det euklidske rommet er utstyrt med en euklidsk norm, avledet fra et indreprodukt.

Hølders ulikhet

I et endelig-diensjonalt indreproduktrom med indreproduktet

$\begin{array}{cc}x& =(x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ y& =(y_1,y_2,\dots ,y_n)\\ [5pt]⟨x,y⟩& =\sum _i|x_i{y}_i|\end{array}$

gjelder Hôlders ulikhet for p-normene:

$⟨x,y⟩\le \Vert x{\Vert }_p\Vert y{\Vert }_q\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Spesialtilfellet $p=q=2$ kalles Schwarz' ulikhet eller Cauchy–Schwarz’ ulikhet. Hôlders ulikhet kan generaliseres til uendelig-dimensjonale rom.

Energinorm

Dersom $T$ er en symmetrisk, positivt definit transformasjon $T:V\to V$, så er en energinorm i $V$ definert ved

$\Vert x\Vert =⟨Tx,x{⟩}^{1/2}$.

Transformasjonen er symmetrisk dersom

$⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩x,y\in V$.

Transformasjonen er positivt definit når

$⟨Tx,x⟩>0x\in V\mathrm{\setminus }\{0\}$.

Navnet energinorm har opphav i bruk i studier av elastiske strukturer, der $⟨Tx,x⟩$ representerer en energifunksjon.

Norm i produktrom

For et produktrom $V\times W$ vil alle de følgende funksjonene være normer:

$\begin{array}{cc}\Vert (v,w)\Vert & =\Vert v{\Vert }_V+\Vert w{\Vert }_W\\ \Vert (v,w)\Vert & =(\Vert v\underset{V}{\overset{p}{\Vert }}+\Vert w\underset{W}{\overset{p}{\Vert }}{)}^{\frac{1}{p}}\\ \Vert (v,w)\Vert & =max(\Vert v{\Vert }_V,\Vert w{\Vert }_W)\end{array}$

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

• Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of Matrices. Chichester: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-97015-8. 

Autoritetsdata