Euklidsk geometri

Fil:Euklid2.jpg

Euklid, slik maleren Justus van Gent har tenkt seg han (malt ca. 1470).

Områder i geometri

Algebraisk geometri

Differensialgeometri

Liegrupper Riemannsk geometri

Euklidsk geometri

Pytagoras’ læresetning

Ikke-euklidsk geometri

Elliptisk geometri Sfærisk geometri Hyperbolsk geometri Projektiv geometri

Topologi

Algebraisk topologi Generell topologi

Trigonometri

Euklidsk geometri er i en historisk sammenheng geometri basert på prinsipper fra Euklids Elementer. I en moderne definisjon er dette geometri i et euklidsk rom, et rom der det er definert en euklidsk metrikk og et samsvarende indreprodukt. Euklidsk geometri er uendret ved stive transformasjoner: translasjoner, rotasjoner og refleksjoner.

I mange hundre år etter Euklids Elementer var «geometri» ensbetydende med euklidsk geometri. Prinsippene ble oppfattet som selvinnlysende, og en kunne ikke tenke seg andre former for geometri. På 1800-tallet gjorde oppdagelsen av ikke-euklidsk geometri at denne forestillingen måtte forkastes.

I sammenheng med ikke-euklidske geometrier blir euklidsk geometri også omtalt som parabolsk geometri.

Euklidsk geometri er et spesialtilfelle både av affin geometri og riemannsk geometri.

I skolen undervises det i euklidsk plangeometri og euklidsk romgeometri.

Geometri i Euklids Elementer

Euklids aksiomer

Den greske matematikeren Euklid levde omkring 300 f.Kr., og verket Elementer har fått svært stor betydning for all senere matematikk. Dette var den første systematiske framstillingen av geometri, med grunnleggende bruk av definisjoner, aksiomer og postulat, teorem og bevis.

Euklid definerer først et punkt og en linje. Deretter presenterer han de fem aksiomene som er grunnleggende for euklidsk geometri:

1. Mellom to punkter kan det trekkes en entydig linje.
2. En linje kan forlenges vilkårlig i hver retning.
3. Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig radius.
4. Alle rette vinkler er like store.
5. Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, da skjærer de to rette linjene hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt.

Euklid skiller ikke klart mellom aksiom og postulat, så ordene bruker her som ekvivalente. Postulat 5 er det berømte parallellpostulatet, som skulle vise seg å være fundamentalt for euklidsk geometri. Ikke-euklidske geometrier kan lages ved å erstatte dette aksiomet med alternativ.

Euklid og euklidsk

Ordet «euklidsk» er kjent første gang brukt i 1660. Den engelske teologen og matematikeren Isac Barrow brukte ordet i forordet til en utgave av Elementer.

Plangeometri og romgeometri

De fire første bøkene i Elementer drøfter geometri i to dimensjoner, i planet, mens tre andre bøker drøfter romgeometri. Begrepet «plangeometri» ble antagelig første gang brukt i 1742 av den engelske matematikeren Thomas Simpson. Ordet vil ofte bli oppfattet som å gjelde grunnleggende euklidsk geometri i to dimensjoner, med behandling av linjer, vinkler, sirkler og polygon. Generelt er det ingenting i veien for at plangeometri også kan være ikke-euklidsk. Plangeometri og romgeometri undervist i grunnskolen er euklidsk geometri.

Syntetisk geometri

Euklids framstilling var en form for syntetisk geometri, det vil si uten bruk av koordinater. Bruk av koordinater til å blande geometri, aritmetikk og algebra kom med innføringen av analytisk geometri på 1700-tallet. Det blir dermed et definisjonsspørsmål om en vil la analytisk geometri være inkludert i en historisk tolkning av begrepet euklidsk geometri.^{[trenger referanse]}

Hilberts aksiomer

Euklids Elementer var, tross sin banebrytende presentasjon, mangelfull: Her var usagte antagelser, definisjoner som tildels var meningsløse og enkelte logiske brister. I boka Grundlagen der Geometri fra 1899 presenterte David Hilbert en moderne, aksiomatisk plattform for euklidsk geometri. Også dette verket fikk stor betydning. Hilbert lar begrepene punkt, linje og plan være udefinerte. Euklids fem aksiomer blir erstattet med 21 antagelser, i ettertiden kjent som Hilberts aksiomer.

De åtte første av Hilberts antagelser behandler eksistens og inkluderer Euklids første aksiom. For eksempel sier nr. 8 at det eksisterer minst fire punkt som ikke ligger i et plan. De fire neste antagelsene gjelder ordning av punkt. Så kommer fem antagelser om kongruens og tre om kontinuitet. Den siste antagelsen til Hilbert er ekvivalent med Euklids femte postulat.

Euklidsk rom

Med introduksjon av moderne begrep som normert vektorrom og indreproduktrom ble det naturlig å definere euklidsk geometri som geometri i et vektorrom med en euklidsk indreprodukt, norm og metrikk. I to dimensjoner er det euklidske indreproduktet mellom to vektorer $𝐮=(u_1,u_2)$ og $𝐯=(v_1,v_2)$ gitt ved

$𝐮\cdot 𝐯=u_1{v}_1+u_2{v}_2$.

Fra denne er den euklidske normen definert:

$\Vert 𝐮\Vert =\sqrt{⟨𝐮,𝐮⟩}$.

Normen gir et mål for lengden av en vektor i rommet. Normen gir en naturlig definisjon av en metrikk, et avstandsmål mellom to punkt i rommet:

$d_2(𝐮,𝐯)=\Vert 𝐮-𝐯\Vert =\sqrt{(u_1-v_1{)}^2+(u_2-v_2{)}^2}$

Indreproduktet definerer en vinkel $\theta$ mellom to vektorer:

$\cos \theta =\frac{⟨𝐮,𝐯⟩}{\Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert }$.

Med disse definisjone kan euklidsk geometri studeres i et rom av vilkårlig dimensjon, også høyere enn tre.

Ikke-euklidsk geometri

Utdypende artikkel: Ikke-euklidsk geometri

Blant Euklids postulater var det femte, parallellpostulatet, lenge det mest omdiskuterte. Det ble gjort mange forgjeves forsøk på å bevise dette ut fra de andre postulatene, altså å vise at postulatet egentlig er unødvendig. Carl Friedrich Gauss hadde tidlig oppdaget at dette ikke var mulig og at det tvert i mot lot seg gjøre å definere alternative geometrier, men han publiserte ikke resultatet. I 1829 publiserte Nikolaj Lobatsjevskij arbeidet «Om prinsippene for geometri», som regnes som fødselen til ikke-euklidsk geometri. I slik geometri erstattes Euklids femte postulat med et alternativ.

Erkjennelsen av at euklidsk geometri ikke var selvinnlysende, enestående og gudegitt kom til å skake grunnlaget for matematikk og bidra til en ny og moderne forståelse av forholdet mellom matematikk, fysikk og «den virkelige verden». Også i filosofi hadde geometri ofte blitt brukt som eksempel på «sann» og «sikker» kunnskap, og dette måtte nå revurderes. Spesielt ble Immanuel Kants syn på euklidsk geometri kritisert.

Felix Klein karakteriserer de to typene av ikke-euklidsk geometri som elliptisk geometri og hyperbolsk geometri, og euklidsk geometri som parabolsk geometri. Euklidsk geometri er en overgangsform mellom hyperbolsk og elliptisk geometri.

Stive transformasjoner

I Erlangen-programmet studerte Felix Klein sammenhengen mellom en gitt type geometri og en tilhørende klasse av transformasjoner som ikke endret geometrien. Klassen av transformasjoner kan dermed brukes til å definere geometrien. Euklidsk geometri er geometri som er invariant under stive transformasjoner, det vil si translasjoner, rotasjoner og refleksjoner. En stiv transformasjon modellerer en stiv forflytning og kalles også en kongruenstransformasjon. En slik transformasjon er en isometri, den bevarer avstander.

Stive transformasjoner kan for plangeometri skrives på formen

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =ax+by+c\\ y^{\prime }& =dx+ey+f\end{array},$

med $ae-bd=1.$

Resultater i euklidsk geometri

I euklidsk geometri gjelder flere resultat som ikke er gyldige for ikke-euklidsk geometri. Dette inkluderer

• Vinkelsummen i en trekant er 180 grader.
• To rette linjer kan skjære hverandre høyst én gang.
• Pytagoras’ setning.

Generaliseringer

Euklidsk geometri er et spesialtilfelle av affin geometri, som igjen er et spesialtilfelle av projektiv geometri. Projektiv geometri i planet er invariant under transformasjonen

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}\\ y^{\prime }& =\frac{dx+ey+c}{Ax+By+C}\end{array},$

Riemanns diffenresialgeometri er en geometri som er lokalt euklidsk, det vil si at en lokalt kan definere et euklidsk indreprodukt, en norm og en metrikk.

Litteratur

• Audun Holme (2008). Matematikkens historie. 1 og 2. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
• Dan Pedoe (2025). Geometry. A comprehensive course.. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65812-0. 

Eksterne lenker

• «Euklidsk og ikke-euklidsk geometri». Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. Besøkt 17. april 2026.  Kursbeskrivelse

Autoritetsdata