Struktur (matematikk)

Sammenheng mellom noen matematiske strukturer

En struktur er i matematikk en mengde der elementene er definert med et sett av egenskaper og relasjoner, gjerne ved et sett av aksiomer. Egenskapene og relasjonene er felles for mange typer matematiske objekter, og strukturen er utgangspunkt for et studium av ytterligere egenskaper og relasjoner knyttet til de grunnleggende definisjonene.

Begrepet «struktur» er ofte brukt uformelt i matematikk, men det er også mulig å innføre en formell definisjon. Et formelt studium av matematiske strukturer gjøres i teori for kategorier.

Eksempler på strukturer er grupper, topologier og partielle ordninger. Strukturer kan klassifiseres som algebraiske strukturer, topologiske strukturer, ordningsstrukturer og geometriske strukturer, uten at dette dekker alle områder av matematisk teori.

Definisjon

Begrepet «struktur» er i matematikk blitt brukt på flere forskjellige måter, både historisk og i nyere tid, ofte uten en presis definisjon. Det har blitt påpekt det paradoksale i at begrepet angår sentrale deler av matematikk, ofte blir tatt som udefinert, og likevel behandlet som om det skulle eksistere en alment akseptert definisjon. En definisjon er ikke en del av vanlig matematisk teori, men hører hjemme i en overordnet studium av grunnlaget for matematikk, i kategoriteori og typeteori.

Begrepet struktur kan også inngå i en definisjon av matematikk, ved å la definisjonen inneholde formuleringer som «matematikk er studiet av struktur».

En vanlig oppfatning og uformell definisjon i dag er at en struktur er en mengde utstyrt med et (aksiomatisk) sett av elementegenskaper, funksjoner og relasjoner. Begrepet er nært knyttet til rom, som kan bli definert som «en mengde med struktur». Om en lar strukturen være overbygningen av egenskaper og relasjoner, eller om det også inkluderer mengden og elememtene, blir en definisjonssak.

Forsøk på forrmaliserte definisjoner kan føres tilbake til den franske gruppen av matematikere som samlet gikk under navnet Nicolas Bourbaki. Arbeidet til Bourbaki fikk generelt stor innflytelse på moderne matematikk, selv om Bourbakis formelle definisjon i seg selv ikke viste seg så fruktbar. Store deler av matematisk teori faller utenfor forsøk på å formalisere strukturbegrepet.

Bourbakis definisjon

Forenklet kan Bourbakis definisjon framstilles slik:

Gitt et endelig sett av basismengder $A_1,A_2,\dots ,A_n$. Definer fra disse induktivt konstruksjonsskjema på settet ved

• $A_1,A_2,\dots ,A_n$ er konstruksjonsskjema
• Hvis $A$ og $B$ er konstruksjonsskjema, så er også det kartesiske produktet $A\times B$ konstruksjonsskjema.
• Hvis $A$ er et konstruksjinsskjema, så er også potensmengden $P(A)$ konstruksjonsskjema.

En struktur på $A_1,A_2,\dots ,A_n$ er et konstruksjonsskjema på settet, sammen med en aksiomatisk karakterisering av ett eller flere elementer i skjemaet.

To strukturer er av samme type dersom de har samme konstruksjonsskjema og samme aksiomatiske karakterisering.

Eksempel - gruppestruktur

En gruppe på mengden $A$ kan dannes fra konstruksjonsskjemaet $A\times P(A\times A\times A)$. Et element $(1,S)$ er karakterisert ved at

• for alle $a$ og $b$ i $A$ finnes det en $c$ i $A$ slik at $(a,b,c)$ er i $S$,
• for alle $a$ i $A$ finnes det en $b$ i $A$ slik at både $(a,b,1)$ og $(b,a,1)$ er i $S$,
• for alle $a$ i $A$ er $(a,1,a)$ og $(1,a,a)$ i $S$,
• hvis $(a,b,d),(d,c,e)$ og $(b,c,f)$ er i $S$, så er også $(a,f,e)$ i $S$.

Eksempelet blir lettere å forstå dersom en omsetter $(a,b,d)$ som $a\times b=d$.

Algebraiske strukturer

De fundamentale algebraiske strukturene har en eller to binære operasjoner som defineres som «indre», det vil si at mengden $M$ i strukturen er lukket under disse operajonene.

Strukturer med én indre operasjon

Ved å bruke symbolet $\circ$ for en operasjon, kan strukturer med en enkelt operasjon klassifiseres etter hvilke av de følgende aksiomene som gjelder:

(E) Eksistens og entydighet (også lukkethet):

$(\mathrm{\forall }a,b\in M)(a\circ b\in M)$.

(A) Assosiativ lov:

$(\mathrm{\forall }a,b,c\in M)((a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c))$.

(N) Eksistens av et nøytralt element (identitetselement):

$(\mathrm{\exists }e\in M)(\mathrm{\forall }a\in M)(a\circ e=e\circ a=a)$.

(I) Eksistens av inverselement:

$(\mathrm{\forall }a\in M)(\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in M)(a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e)$.

(K) Kommutativ lov:

$(\mathrm{\forall }a,b\in M)(a\circ b=b\circ a)$.

Strukturen kan generelt skrives som $(M,\circ )$. Følgende strukturer med en enkelt binær operasjon generaliserer eller spesialiserer det grunnleggende begrepet «gruppe»:

• Magma (eller gruppoid): aksiom E: En mengde som er lukket under én binær operasjon.

• Semigruppe: aksiom EA: En magma med en assosiativ lov. Eksempel: $(\mathbb{N}\setminus \{0\},+)$.

• Monoid: aksiom EAN: En semigruppe med et nullelement e. Eksempel: $(\mathbb{N},+)$ med e = 0.

• Gruppe: aksiom EANI: En monoid der det til hvert element finnes et inverselement. Grupper ble innført på begynnelsen av 1800-talet for å beskrive symmetrier og har viat seg å være fundamentale for oppbygging av en enhetlig algebra. Eksempel på tallmengder som er grupper: $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot )$. Eksempel på transformasjonsgrupper som beskriver symmetrier: punktgrupper for å beskrive molekylsymmetrier, den symmetriske gruppen for å beskrive permutasjoner, Lie-grupper for å beskrive kontinuerlige symmetrier. Se også gruppeteori.

• Abelsk gruppe (eller kommutativ gruppe): aksiom EANIK: En gruppe med kommutativ operasjon.

Strukturer med to indre operasjoner

De følgende strukturene er lukket under to operasjoner. Hver av operasjonen kan oppfylle et utvalg av aksiomene listet over for en struktur med én operasjon.

Ringer, kropper og lignende

De to operasjonene er ofte omtalt som addisjon (symbol $+$) og multiplikasjon (symbol $\star$). Strukturene er abstrahert fra tallmengder (som for eksempel $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ og $ℝ$). I det følgende er 0 og 1 er brukt om et eventuelt nøytralt element for henholdsvis addisjon og multiplikasjon.

I tillegg til tidligere nevnte aksiomer kan operasjonene oppfylle en eller flere av de følgende:

(I*) Eksistensen av et inverselement for multiplikasjon, bortsett fra for et nullelement for addisjon.

$(\mathrm{\forall }a\in M\mathrm{\setminus }\{0\})(\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in M)(a\star a^{-1}=a^{-1}\star a=1)$.

(Dv) Venstre-distributiv lov:

$(\mathrm{\forall }a,b,c\in M)(a\star (b+c)=a\star b+a\star c)$.

(Dh) Høyre-distributiv lov:

$(\mathrm{\forall }a,b,c\in M)((a+b)\star c=a\star c+b\star c)$.

(D) Distributiv lov: Både Dv og Dh gjelder.

(T) Nulldivisorfrihet:

$(\mathrm{\forall }a,b\in M)(a\star b=0\Rightarrow (a=0\text{ eller }b=0))$

(U) Ulike nøytralelement: De nøytrale elementene for henholdsvis addisjon og multiplikasjon er ikke like.

For hver av de følgende strukturene listes de gjeldende aksiomene som

$(+$aksiom for addisjon |$\star$aksiom for multiplikasjon |aksiom for begge operasjoner).

• Rng: aksiom ($+$EANIK|$\star$EA|D): En additiv abelsk gruppe, en multiplikativ semigruppe. Navnet (utales «rung») er laget fra «ring uten i», altså en ring uten identitetselement.

• Ring: aksiom ($+$EANIK|$\star$EAN|D): Rng med nøytralt element for multiplikasjon.

• Kommutativ ring: aksiom ($+$EANIK|$\star$EANK|D): Ring med kommutativ multiplikasjon.

• Nulldivisorfri ring: aksiom ($+$EANIK|$\star$EAN|DT): Ring fri for nulldivisore, det vil si at nullprodukt $a\star b=0$ medfører at enten $a$ eller $b$ er lik 0.

• Integritetsområde: aksiom ($+$EANIK|$\star$EANK|DTU): Kommutativ, nulldivisorfri ring med 1 ≠ 0.

• Alternativkropp: aksiom ($+$EANIK|$\star$ENI*|DTU): Nulldivisorfri ring, 1 ≠ 0 og med multiplikative inverser. I stedet for den assosiative lov gjelder alternativitet for multiplikasjonen.

• Skjevkropp (eller divisjonsring: aksiom ($+$EANIK|$\star$EANI*|DTU): Nulldivisorfri ring med 1 ≠ 0 og med multiplikative inverser.

• Kropp: aksiom ($+$EANIK|$\star$EANI*K|DTU): Kommutativ skjevkropp, integritetsområde med multiplikative inverser. Hver kropp er også et vektorrom (med seg selv som skalarkropp). Eksempel: tallmengdene $\mathbb{Q},ℝ$ og $ℂ$).

Terminologien er ikke brukt entydig, og ofte blir en rng omtalt som en ring. Det som her er definert som en ring kalles da en unitær ring eller en ring med et enhetselement.

En viktig type delmengde til en ring, som er lukket under multiplikasjon, men som ikke trenger ha et identitetselement:

• Ideal.

Gitter og algebraer

Et gitter (engelsk: lattice) er en algebraisk struktur lukket under to operasjoner som ikke generelt er addisjon og multiplikasjon. De to operasjonene er her skrevet $\wedge$ og $\vee$, og for disse kan følgende tilleggsaksiom gjelde:

(Abs) Absorpsjonslover:

$a\wedge (a\vee b)=a\text{ og }a\vee (a\wedge b)=a$.

Med dette aksiomet kan en lage følgende strukturer:

• Gitter: aksiom ($\wedge$EAK|$\vee$EAK|Abs).
• Distributivt gitter: aksiom ($\wedge$EAK |$\vee$EAK|Abs,D).

I et distributivt gitter er det tilstrekkelig å postulere den en av absorpsjonslovene; den andre følger av distributiviteten.

En boolsk algebra er et gitter der begge operasjoner har et nøytralt element, a $\wedge$ 0 = a og a $\vee$ 1 = a, og der hvert element har et komplement med hensyn på begge operasjoner.

(Kompl) Eksistensen av et komplement:

$(\mathrm{\forall }a\in M)(\mathrm{\exists }{a}^c\in M)(a\wedge a^c=1\text{ og }a\vee a^c=0)$.

Merk at komplementet ikke er et inverst element, ettersom det alltid gir det nøytrale elementet til den andre operasjonen.

• Boolsk algebra: aksiom ($\wedge$EAKN|$\vee$EAKN|Abs,D,Kompl).
• Mengdealgebra: en boolsk algebra, der elementene er delmengder til en grunnmengde $X$, med operasjonene $\cup$ og $\cap$, med nullelementet ø og ett-elementet $X$.
• σ-algebra: en mengdealgebra lukket under en tellbar uendelig samling operasjoner.
• Målrom: spesielle σ-algebraer.
• Borel-algebra: et topologisk rom gjort til et målrom, den minste σ-algebra inneholdt i en gitt topologi.
• Toverdig boolsk algebra: har bare elementene 0 og 1.

Strukturer med indre og ytre operasjon: vektorrom og lignende

Disse strukturene er satt sammen av to deler: Den ene delen er er en magma lukket under addisjon (ofte en abelsk gruppe) $V$. Den andre delen er en tallmengde $K$, en struktur med to indre operasjoner ($+\cdot$) (ofte en kropp). Gruppevirkningen av $K$ på $V$ beskrives som en operasjon «venstremultiplikasjon» $\star :(K\star V)\to V$ eller som «høyremultiplikasjon» $\star :(V\star K)\to V$. Denne operasjonen betraktes som en «ytre» operasjon (relativt til $V$). Elementene i $K$ kalles skalarer. For venstremultiplikasjon kan følgende aksiom gjelde, med tilsvarende for høyremultiplikasjon:

(Av) Assosiativ lov:

$(\mathrm{\forall }a,b\in K)(\mathrm{\forall }𝐯\in V)((a\cdot b)\star 𝐯=a\cdot (b\star 𝐯)$.

(Dh) Distributive lover:

$\begin{array}{cc}& (\mathrm{\forall }a\in K)(\mathrm{\forall }𝐯,𝐰\in V)(a\star (𝐯+𝐰)=a\star 𝐯+a\star 𝐰)\\ & (\mathrm{\forall }a,b\in K)(\mathrm{\forall }𝐯\in V)((a+b)\star 𝐯=a\star 𝐯+b\star 𝐯)\end{array}$.

Høyre- og venstremultiplikasjon er utbyttbar dersom $a\star 𝐯=𝐯\star a$, for alle $(a,𝐯)$.

Da kan en definere følgende strukturer, listet med ordningen ($V$ | $K$ | koblingsaksiom):

• Venstremodul: (abelsk gruppe | ring | Av,Dv), med venstremultiplikasjon.
• Høyremodul: (abelsk gruppe | ring | Ah,Dh), med høyremultiplikasjon.
• Modul: (abelsk gruppe | kommutativ ring | Avh,Dvh ), med utbyttbar høyre- og venstremultiplikasjon.
• Vektorrom: (abelsk gruppe | kropp | Avh,Dvh), med utbyttbar høyre- og venstremultiplikasjon.

Ekstra algebraisk struktur på vektorrom

• Lie-algebra: vektorrom med Lie-klammer som ekstra antisymmetrisk bilineær operasjon, $[]:V\times V\to V$.

• Assosiativ algebra: vektorrom med en assosiativ bilineær operasjon, $V\times V\to V$.

De følgende operasjonene indreprodukt (skalarprodukt) og norm gjør et vektorrom til en topologisk struktur.

• Bilineærrom: tilnærmet lik et indreproduktrom, men uten krav om at det indre produktet skal være positivt definit. Et viktig eksempel er Minkowski-rom i spesiell relativitetsteori.

• Indreproduktrom: vektorrom med et indreprodukt, en positiv definit funksjon $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to K$. Ethvert indreproduktrom er et et normert vektorrom, og dermed også et metriskt rom med en topologisk struktur. Det euklidske rommet ${ℝ}^n$ er et indreproduktrom.

• Unitært rom: indreproduktrom med $K=ℂ$ der indreproduktet er en hermitsk form (en symmetrisk seskvilineær form), det vil si med symmetrien $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$.

• Normert rom: vektorrom med en norm $\Vert \cdot \Vert :V\to K$. Normen kan, men trenger ikke, være dannet fra et indreprodukt. Alle normerte rom er også metriske rom. med topologisk struktur.

• Banach-rom: normert vektorrom som er et komplett metrisk rom.

• Hilbert-rom: indreproduktrom som er et komplett metrisk rom.

Ordningsstrukturer

En ordningsstruktur er en mengde med en ordningsrelasjon $R$, en binær relasjon som kan være av flere typer:

• Kvasiordning (preordning): refleksiv og transitiv. Eksempel: $(\mathrm{\forall }a,b\in ℂ)(aRb⟺|a|\le |b|)$.

• Svak ordning (total kvasiordning): Kvasiordning der alle element kan sammenlignes.

• Delordning (partiell ordning, halvordning): refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Eksempel: delmengder i en potensmengde med inklusjonsoperatoren $\subseteq$; relasjonen «komponentenvis mindre enn eller lik» på vektorrommet ${ℝ}^n$.

• Streng delordning: irrefleksiv og transitiv. Eksempel: relasjonen «ekte delmengde» i en potensmengde; relasjonen «komponentvis mindre enn eller lik, men ikke like» på vektorrommet ${ℝ}^n$.

• Total ordning (lineær ordning): delordning der alle element er sammenlignbare. Eksempel: «mindre enn eller lika med» på $\mathbb{Z}$.

• Streng totalordning: total, irrefleksiv og transitiv. Eksempel: «mindre enn» på $\mathbb{Z}$.

• Velordning: total ordning der hver ikke-tom delmengde har et minste element. Eksempel: «mindre enn» på $\mathbb{N}$.

Topologisk strukturer

I en topologisk struktur kan en undersøke egenskaper som er bevart under kontinuerlig funksjon kontinuerlige endringer.

• Topologisk rom (topologi): definert med åpne mengder, der unionen av åpne mengder er en åpen mengde og der et endelig snitt av åpne mengder er en åpen mengde.

• Metrisk rom: utstyrt med en metrikk, en global avstandsfunksjon. Metrikken definerer en tpologi i rommet og gir rommet en global geometrisk struktur. Normerte vektorrom og indreproduktrom er metriske rom.

• Hausdorff-rom: tpologisk rom der elementene har disjunkte nabomengder.

Geometriske strukturer

I geometri kan en klassifisere strukturer etter hvilke aksiomer som gjelder. Grunnleggende er de fem aksiomene i euklidsk geometri. Det femte, parallellaksiomet kan uttrykkes slik i planet (((Playfairs aksiom]]): Gitt et vilkårlig punkt og en rett linje som ikke går gjennom punktet. Da kan en trekke én og kun én linje gjennom punktet som ikke skjærer linjen.

• Ordnet geometri: de to første av Euklids aksiomer gjelder
• Absolutt geometri: de fire første av Euklds aksiomer gjelder
• Affin geometri:
• Projektiv geometri:
• Euklidsk geometri: absolutt geometri der også parallellaksiomet gjelder
• Ikke-euklidsk geometri: absolutt geometri der parallellaksiomet ikke gjelder.
• Hyperbolsk geometri: ikke-euklidsk geometri der en kan trekke uendelig mange linjer gjennom et punkt som ikke skjærer en gitt linje.
• Elliptisk geometri: ikke-euklidsk geometri der alle linjer gjennom et punkt vil skjære en gitt linje.
• Sfærisk geometri: ikke-euklidsk geometri på en kuleflate.

Klassifikasjoon basert invariante geometriske egenskaper under transformasjonsgrupper (etter Erlangen-programmet til Felix Klein):

• Projektiv geometri: invarianter er punkt og rette linjer.
• Affin geometri: ytterligere invarianter er parallelitet, delingsforhold og arealforhold.
• Formlikhetssgeometri: ytterligere invarianter er lengdeforhold og vinkler.
• Kongruensgeometri: ytterligere invarianter er lengder.

Tallmengder

Tallmengdene inneholder tallene en vanligvis regner med:

• Naturlige tall $\mathbb{N}$: brukt til å telle. Utgangspunkt for å bygge opp tallteori. Tallet null utelates i noen definisjoner, men regnes i det følgende som et naturlig tall. $(\mathbb{N},+)$ og $(\mathbb{N},\star )$ er monoider med nøytrale elementer henholdsvis 0 og 1. Addisjon og multiplikasjon er, som for alle tallmengdene, distributive.

• Heltallene $\mathbb{N}$: dannet fra $\mathbb{N}$ når negative tall blir konstruert som inverser relativt til addisjon. $(\mathbb{Z},+)$ er en abelsk gruppe, $(\mathbb{Z},*)$ er en monoid, og $(\mathbb{Z},+,\star )$ er en ring.

• Ikke-negative brøker ${\mathbb{Q}}^{+}$: dannes fra $\mathbb{N}$ når brøker blir konstruert som multiplikasjonsinverser. $({\mathbb{Q}}^{+}\mathrm{\setminus }\{0\},\star )$ er da en gruppe, og $({\mathbb{Q}}^{+},+)$ er en monoid.

• Rasjonale tall $\mathbb{Q}$: kan dannes fra ${\mathbb{Q}}^{+}$ ved tillegg av av addisjonsinverser eller fra $\mathbb{Z}$ ved tillegg av multiplikasjonsinverser. $(\mathbb{Q},+)$ og $(\mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\},\star )$ er abelske grupper. $(\mathbb{Q},+,\star )$ er en kropp.

• Reelle tall $ℝ$: kan dannes fra $\mathbb{Q}$ ved tillukning i et metrisk rom. Et reellt tal er en ekvivalensklasse av Cauchy-følger. $ℝ$ er en kropp.

• Komplekse tal $ℂ$: Ordnede par av reelle tall $(a,b)$, som med skrivemåten $a+bi$, sammen med $i^2=-1$, oppfyller de vanlige regnereglene. I $ℂ$ er alle algebraiske ligninger løsbare. $ℂ$ er en kropp.

Fra de grunnleggende tallmengdene kan en danne flere mer spesielle strukturer:

• p-adisk tall: Utviding av de rasjonale tallene basert på et primtall $p$.

• Kvaternioner (Hamilton-tall): Firedimensjonal utvidelse av de reelle tallene, på samme måte som de komplekse tallene er en todimensjojal utvidelse.

Referanser

Autoritetsdata