Matematisk bevis

Niels Henrik Abel ble kjent for å bevise at femtegradsligninger ikke kan løses generelt algebraisk.

Et matematisk bevis er et deduktivt argument for en matematisk påstand som viser logisk at påstanden er sann og alltid gjelder. Argumentasjonen baserer seg på vedtatte sannheter (aksiomer) og tidligere beviste påstander (teoremer), men alle beviser kan i prinsipp bygges på bare aksiomer.

Formelle og uformelle bevis

Bevis deles inn i formelle bevis og uformelle bevis. Formelle bevis viser steg for steg hvordan påstanden logisk henger sammen med det vi alt vet, og hvert steg i prosessen kan sjekkes. Uformelle bevis oppstår ved å argumentere overbevisende for at en påstand er sann. Formelle bevis kan være svært vanskelig å finne og å forstå, men er enkle å etterprøve. Uformelle bevis er enklere og mer pedagogiske, men kan inneholde feil og er vanskelige å etterprøve.

Formelle bevis er uomtvistelige, men filosofisk vil et konsistent og ufeilbarlig system ikke kunne bevise selvmotsigelser, og vil ikke kunne bevise alle sanne påstander. Både formelle og uformelle bevis er derfor nødvendige.

Deduktive og induktive bevis

I matematikken kan prinsipielt både induktive og deduktive bevis brukes, men ikke i alle deldisipliner. I geometrien er f.eks. bare deduktive bevis mulig.

Induktive bevis er, tross navnet, en form for matematisk deduksjon, ikke en form for filosofisk induksjon. Forskjellen er at mens induktiv metode trekker slutninger basert på enkelttilfeller, viser et induktivt bevis hvordan alle tenkbare enkelttilfeller må følge samme regel.

I aritmetikken brukes induktive bevis ved å konstruere en «bevisstrategi» (fullstendig induksjon). For eksempel kan et utsagn A bevises å ha gyldighet for alle heltall (som er en uendelig mengde) ved

1. å bevise A(n), dvs. bevise deduktivt at A er sant for et vilkårlig valgt tall n, og
2. å demonstrere gyldigheten av , dvs. at A også gjelder for nabotallene til et tall det er kjent å gjelde for.

Former for bevis

Direkte bevis er å kombinere aksiomer og teoremer og steg for steg nå en konklusjon gjennom deduksjon.

Bevis gjennom induksjon er å vise logisk at noe som gjelder for en gjelder for alle.

Bevis ved kontraposisjon er å vise at det motsatte av en påstand må være feil slik at påstanden må være rett.

Bevis ved kontradiksjon, på latin reductio ad absurdum, viser at en påstand er umulig eller selvmotsigende, og dermed må en annen påstand være korrekt. Dersom $\sqrt{2}$ er rasjonelt må$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ være sant der a og b ikke har noen felles faktor. Dette gir at 2b² = a², og a² kan da deles på 2 og a må være et partall. Hvis a er et partall må b av samme grunn være et partall, noe som gir 2 som felles faktor. Påstanden må være feil, og $\sqrt{2}$ kan ikke være et rasjonelt tall og må dermed være irrasjonelt.

Bevis ved konstruksjon kan vise at en egenskap på eksistere. Bevis ved utmattelse (exhaustion) viser at alle forsøkte utregninger stemmer, så man gir opp og godtar det som et filosofisk induktivt bevis. Probabilistiske eller statistiske bevis kan også vise at en egenskap må finnes. Dataassisterte bevis antar at algoritmen vi bruker er rett og at datamaskinen aldri gjør feil, og kan dermed bevise matematikk for omfattende til at noen klarer å følge hele tankerekken.

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Proof i MathWorld.

Autoritetsdata