Wikisida: Én sideversjon ble importert

2026-08-05T16:41:04Z

Én sideversjon ble importert

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. aug. 2026 kl. 16:41
(Ingen forskjell)

nb>Bóksnið: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */

2026-06-19T19:32:42Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0

Ny side

[[Fil: Skall.jpg|thumb|340px|Gravitasjonsfeltet i et punkt ''P'' innenfor et tynt, kuleformet skall er null da bidraget fra ''Q'' kanselleres av bidraget fra ''Q' ''.]]
'''Newtons skallteorem''' sier at [[gravitasjonsfelt]]et utenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling er den samme som om all massen er plassert i dens sentrum. Det ble først bevist av [[Isaac Newton]] og var avgjørende for hans formulering av [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjonsloven]]. På samme måte viste han at gravitasjonsfeltet innenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling er null.

I dette siste tilfellet lar teoremet seg lett bevise rent geometrisk. Gjennom et vilkårlig punkt ''P'' i hulrommet innenfor et kuleformet, tynt skall tenker man seg en small [[kjegle]] med ''P'' som toppunkt. Denne skjærer ut to små massepunkt ''Q'' og ''Q' '' på motsatte sider av toppunktet. Da størrelsen til disse to punktmassene er proporsjonal med kvadratet av henholdsvis lengden ''PQ '' og ''PQ' '', vil det resulterende gravitasjonsfeltet i ''P'' bli null da gravitasjonsloven sier at bidraget fra hver av punktmassene avtar omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden og dermed opphever hverandre. Dette gjelder for tilsvarende kjegler i alle andre retninger slik at det totale gravitasjonsfeltet i ''P'' fra hele skallet er null. Da et tykt skall kan tenkes satt sammen av slike tynne skall, vil også feltet innenfor en vilkårlig stor, sfærisk massefordeling være null.

Da [[Coulombs lov]] for det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] har samme form som Newtons gravitasjonslov, kan skallteoremet også benyttes i [[elektrostatikk]]en. Det betyr at det elektriske feltet utenfor en kulesymmetrisk [[elektrisk ladning]] er det samme som om hele ladningen er plassert i kulens sentrum. Likedan er dette feltet null innenfor en sfærisk symmetrisk ladningsfordeleing. I denne forbindelsen ble teoremet nesten to hundre år senere generalisert av [[Carl Friedrich Gauss]] og omtales som [[Gauss' lov]].

I den [[generell relativitet|generelle relativitetsteori]]en beregnes gravitasjonsfeltet fra [[Einsteins feltligning]]. For en sfærisk symmetrisk massefordeling har den løsninger som kan finnes direkte fra [[Jebsen-Birkhoffs teorem]]. Dette er en relativistisk generalisering av det opprinnelige skallteoremet til Newton.

==Historisk bakgrunn==

Allerede i 1666 begynte [[Isaac Newton]] å tenke på muligheten for at [[Jorden]]s gravitasjonskraft kunne strekke seg helt ut til [[Månen]] og holde denne i sin bane. I så fall er det nærliggende å betrakte både denne og Jorden som massive punktpartikler. Selv om han på dette tidspunktet var klar over at gravitasjonskraften fra [[Solen]] som virker på [[planet]]ene, måtte avta med kvadratet av avstanden til dem for å kunne forklare [[Keplers lover]], var det ikke opplagt at gravitasjonskraften fra Jorden som virker på et eple på dennes overflate, hadde en størrelse som kunne finnes ved å anta at hele Jordens [[masse]] er konsentrert i dens sentrum.<ref name="Chandra">S. Chandrasekhar, ''Newton's Principia for the Common Reader'', Clarendon Press, Oxford (1995). ISBN 0-19-852675-X.</ref>

De første årene antok han bare at dette var en god tilnærmelse og kunne dermed forbinde [[Tyngdekraft#Månen og Newtons eple|Månens bevegelse]] med [[Tyngdeakselerasjon|tyngdeakselerasjonen]] på Jorden. Men i 1685 fant han et geometrisk bevis for at denne antagelsen er eksakt riktig for en kulesymmetrisk massefordeling. Sammen med sin gravitasjonslov presenterte han teoremet i sitt store verk ''[[Philosophiae naturalis principia mathematica|Principia]]'' i 1687.

==Analytisk bevis==
[[Fil:shell-diag-1.png|left|thumb|400px|Gravitasjonskraften på en masse ''m'' utenfor et massivt kuleskall kan finnes fra bidragene til hver ring (blå) med varierende åpningsvinkel ''θ''.]]
Newtons opprinnelige bevis av skallteoremet var rent geometrisk og er vanskelig å følge. Men i dag finnes det tilsvarende geometriske betraktninger som er enklere å følge.<ref name = Schmid>C. Schmid, [https://arxiv.org/pdf/1201.6534.pdf ''Newton's superb theorem: An elementary geometric proof''], American Journal of Physics, '''79''' (5), 536-539 (2011).</ref> Alternativt kan man forholdsvis lett komme frem til samme resultat ved å bruke [[trigonometri]] og [[integralregning]].

Man tenker seg en liten masse ''m'' i en avstand ''r'' fra senteret til et tynt, kuleformet skall med radius ''R''. For å beregne [[gravitasjonsfelt]]et '''g''' i dette punktet, tenker seg at skallet er delt opp i konsentriske ringer, hver med åpningsvinkel ''θ''. Bidraget fra hver ring kan finnes på samme måte som det elektriske feltet på aksen til en [[elektrisk felt#Ladet ring|ladet ring]]. Kun komponenten av feltet langs aksen vil bidra. Det bringer inn en faktor cos''φ''. Hver slik ring gir derfor opphav til et gravitasjonsfelt i denne retningen med størrelse

: <math> dg = G {dM\over s^2}\cos\phi </math>

hvor ''dM'' er massen til den tynne ringen. Hvis skallet har en total masse ''M'', er flatetettheten gitt som {{nowrap|''σ'' {{=}} ''M''/4''π R''2.}} Massen til ringen er derfor {{nowrap|''dM'' {{=}} ''σ dA'' }} hvor dens areal er {{nowrap|''dA'' {{=}} 2''π R''2 sin''θ dθ''.}}

Det totale bidraget fra hele skallet finnes nå ved å integrere bidragene fra alle ringene som det er oppdelt i. Man må da velge en av de tre variable ''s'', ''θ'' eller ''φ'' som uavhengig integrasjonsvariabel. De er alle tre forbundet ved trigonometriske relasjoner. Velger man å benytte avstanden ''s'', vil den da variere fra {{nowrap|''r - R ''}} til {{nowrap|''r + R'' }} for å dekke hele kuleflaten. Sammenhengen mellom ''s'' og ''θ'' følger fra [[cosinussetningen]] som

: <math> r^2 + R^2 - s^2 = 2rR\cos\theta </math>

som gir ''sds'' = ''r R'' sin''θ dθ''. På samme måte kan vinkelen ''φ'' uttrykkes ved ''s'' som

: <math> \cos\phi = {r^2 + s^2 - R^2\over 2rs} </math>

Dermed er gravitasjonsfeltet i avstand ''r '' fra skallets sentrum gitt ved integralet

: <math>
\begin{align} g &= {GM\over 4r^2 R}\int_{r-R}^{r+R}\!ds\;{r^2 + s^2 - R^2\over s^2} = {GM\over 4r^2 R}\left[r + R - (r - R) + (r^2 - R^2)\left({1\over r-R} - {1\over r + R}\right)\right]\\ &= {GM\over 4r^2 R}( 2R + 2R) = {GM\over r^2} \\
\end{align}
</math>

Dette resultatet sier at det totale feltet er det samme som om hele massen ''M'' er plassert i skallets sentrum. Hvis nå man skal finne gravitasjonsfeltet utenfor en massive kule, kan dette deles opp i tynne skall. Ved å summerer bidragene fra alle skallene vil igjen gravitasjonsfeltet utenfor kulen være {{nowrap|''g'' {{=}} ''GM''/''r''2 }} hvor nå ''M '' er massen til hele kulen.

===Innenfor kuleskall===
[[Fil:shell-diag-2.png|thumb|240px|Trigonometri for beregning av gravitasjonsfeltet innenfor et tynt kuleskall.]]
Når feltpunktet ligger innenfor kuleskallet, forblir trigonometrien svært lik. Men lengden ''s'' vil nå variere fra en korteste avstanden {{nowrap|''R - r'' }} til den maksimale verdien {{nowrap|''R + r''}}. Det totale bidraget er da gitt ved det nesten identiske integralet og gir

: <math> g = {GM\over 4r^2 R}\int_{R -r}^{R+r}\!ds\;{r^2 + s^2 - R^2\over s^2} = {GM\over 4r^2 R}( 2r - 2r) = 0 </math>

Gravitasjonsfeltet innenfor kuleskallet er derfor lik med null, uansett hvor feltpunktet befinner seg i dette området.

I dette tilfellet kommer man frem til samme resultat ved en enkel, geometrisk betraktning. Man tenker seg en vilkårlig, tynn [[kjegle]]med toppunkt i feltpunktet. Denne avtegner to små flater på kuleskallet der den skjærer igjennom. De kan betraktes som to punktmasser som begge bidrar til feltet. Men da deres areal er proporsjonal med den lille [[romvinkel]]en som kjeglen definerer, vil begge disse bidragene oppheve hverandre da hvert bidrag er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden til toppunktet.
.
==Innenfor massiv kule==
Gravitasjonsfeltet innenfor en kule med symmetrisk fordelt masse ''M '' kan lett finnes ved bruk av skallteoremet. I en avstand ''r '' fra sentrum, vil det kun skyldes den delen ''M''(''r'') av kulemassen som ligger innenfor denne radien. Derfor har man med en gang resultatet {{nowrap|''g''(''r'') {{=}} ''GM''(''r'')/''r''2}}.

Antar man for enkelhets skyld at massetettheten er konstant, vil {{nowrap|''M''(''r'') {{=}} ''Mr''3/''R''3 }} der ''R'' er [[radius]] til hele kula. Det betyr at

: <math> g(r) = {GMr\over R^3} </math>

Det stemmer med at på overflaten ''r = R'' av kula må man ha at ''g'' = ''GM''/''R''2. Utenfor kula ''r > R'' avtar feltet på vanlig måte som {{nowrap|''g''(''r'') {{=}} ''GM''/''r''2}}.

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Gravitasjon]]
[[Kategori:Fysiske lover]]

Newtons skallteorem - Sideversjonshistorikk

Wikisida: Én sideversjon ble importert

nb>Bóksnið: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */