Wikisida: Én sideversjon ble importert

2026-04-13T06:10:20Z

Én sideversjon ble importert

← Eldre sideversjon	Sideversjonen fra 13. apr. 2026 kl. 06:10
(Ingen forskjell)

nb>1000mm: Plukk

2025-07-28T23:30:32Z

Plukk

Ny side

[[Fil:Commutative Addition.svg|mini|Kommutativitet i [[addisjon]]: 3 + 2 = 2 + 3.]]
'''Kommutativ lov''' i [[matematikk]] er et [[teorem]] eller et [[aksiom]] som sier at en [[binær operasjon]] er kommutativ.<ref name=EJBB1/> En '''kommutativ''' operasjon tillater at rekkefølgen på de to argumentene kan endres uten å endre resultatet. [[Addisjon]] av [[reelt tall|reelle tall]] er for eksempel kommutativ, slik at 2 + 3 = 3 + 2. [[Divisjon (matematikk)|Divisjon]] er derimot ikke kommutativ, fordi ''a''/''b'' generelt ikke er lik ''b''/''a''. Utsagnet «faktorenes orden er likegyldig» er et uttrykk for at multiplikasjon av [[reelt tall|reelle tall]] er kommutativ og [[Assosiativ lov|assosiativ]] (begge egenskapene trengs for at faktorenes rekkefølge ikke skal spille noen rolle).

En [[algebraisk struktur]] som inneholder en kommutativ operasjon blir ofte omtalt som en ''kommutativ struktur''.<ref name=EJBB1/> En [[abelsk gruppe]] er for eksempel en kommutativ gruppe.

Kommutativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i [[aksiom]]er som definerer operasjonen. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og [[multiplikasjon]].<ref name=WR1/> Dersom en operasjon ikke kommuterer, så er den ''ikke-kommutativ''. Også en matematisk struktur kan være ikke-kommutativ.

== Formell definisjon ==
En binær operasjon <math>*</math> på en [[mengde]] ''S'' er ''kommutativ'' dersom

:<math>x * y = y * x \qquad \mbox{for alle } x,y \in S. </math>

Dette kan også uttrykkes som at ''x'' og ''y'' ''kommuterer'' i operasjonen.

Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjon ''f(x,y)'', så vil operasjonen være kommutativ hvis og bare hvis funksjonen er [[symmetri|symmetrisk]] slik at ''f(x,y)'' = ''f(y,x)''. Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonen ''f(x,y) = xy''.

En ikke-kommutativ operasjon kan være ''anti-kommutativ'', det vil si at ''f(x,y) = - f(y,x)''. Dette krever at resultatet av operasjonen er definert i en mengde der det eksisterer en ''invers'', ofte gitt ved et negativt element.

== Eksempler ==

=== Fra hverdagslivet ===

* Å ta på seg strømper kan betraktes som en kommutativ operasjon: uansett om en starter med venstre eller høyre fot, så blir resultatet det samme.

* Dusjing og tørking er utført sammen, «addert», er ikke en kommutativ operasjon. Rekkefølgen av de to leddene er avgjørende for sluttresultatet.

=== Aritmetikk ===

* Addisjon og multiplikasjon av reelle og [[komplekst tall|komplekse tall]] kommuterer.

* Divisjon og [[subtraksjon]] er ikke kommutative operasjoner.

=== Matematikk generelt ===

* Operasjonen å ta [[union (mengdelære)|unionen]] av to mengder er kommutativ. Det samme gjelder for [[snitt (mengdelære)|snittet]]:

:<math>A \cap B = B \cap A \qquad \qquad A \cup B = B \cup A </math>

* Multiplikasjon av to [[matrise]]r er ikke kommutativ. Dette er vist ved det følgende eksempelet:

:<math>
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

* Operasjonen å sette to reelle funksjoner sammen er ikke kommutativ. Generelt vil

:<math>f(g(x)) \ne g(f(x)). \, </math>

== Kommutativitet i matematiske strukturer ==

* En ''abelsk gruppe'' eller ''kommutativ gruppe'' er en [[gruppe (matematikk)|gruppe]] der gruppeoperasjonen kommuterer.

* En kommutativ [[ring (matematikk)|ring]] er en ring der multiplikasjonen kommuterer. En ring har også definert addisjon, og denne vil alltid være kommutativ.

* I en [[kropp (matematikk)|kropp]] er både addisjon og multiplikasjon kommutative.

* Både vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i et [[vektorrom]] er kommutative.

* Mengden av [[kvaternion]]er er en ikke-kommutativ utvidelse av de komplekse tallene.

* Produktet i en [[Grassmann-algebra]] er anti-kommutativt. En slik algebra benyttes for en mulig [[supersymmetri]] i [[standardmodellen|elementærpartikkelfysikk]].

== Se også ==

* [[Assosiativ lov]]
* [[Distributiv lov]]

== Referanser ==
<references>
<ref name=EJBB1>[[#EJBB|, E.J.Borowski, J.M.Borwein,1989]], ''Commutative'', s.92</ref>
<ref name=WR1>[[#WR|W.Rudin, 1976]], s.5</ref>
</references>

== Litteratur ==
* {{Kilde bok| ref = EJBB | forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein| utgivelsesår=1989| tittel=Dictionary of mathematics| utgivelsessted= Glasgow| forlag= Collins| isbn= 0-00-434347-6}}
* {{Kilde bok| ref = WR| forfatter= Walter Rudin| utgivelsesår=1953, 1964, 1976| tittel=Principles of mathematical analysis| utgivelsessted= Singapore| forlag= McGraw-Hill International Book Co.| isbn= 0-07-085613-3}}

{{Autoritetsdata}}
[[Kategori:Matematisk terminologi]]
[[Kategori:Aritmetikk]]
[[Kategori:Binære operasjoner]]

Kommutativ lov - Sideversjonshistorikk

Wikisida: Én sideversjon ble importert

nb>1000mm: Plukk