Redigerer Wiens forskyvningslov

[[Fil:BlackbodySpectrum lin 150dpi de.png|thumb|350px|Spektrale strålingsintensiteter ved forskjellige temperaturer.]]

'''Wiens forskyvningslov''' er en lov i [[fysikk]]en som sier at den spektrale energitettheten til [[varmestråling|sort stråling]] varierer ikke med bølgelengden og temperaturen uavhengig av hverandre, men på en sammenkoblet måte. Det ble vist av den tyske fysiker [[Wilhelm Wien]] i [[1893]].<ref>W. Wien, ''Eine neue Beziehung der Strahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz der Wärmetheorie'', Sitzungsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 662-669 (1893).</ref> Han kom frem til dette fundamentale resultatet ved å kombinere de [[termodynamikk|termodynamiske lovene]] med [[Dopplereffekt|Doppler-effekten]] som strålingen utsettes for ved en langsom forandring av volumet som omslutter den. En direkte konsekvens er at den bølgelengden eller frekvensen hvor energitettheten er maksimal, er omvendt proporsjonal med [[absolutt temperatur|den absolutte temperaturen]] til strålingen. Dette ble eksperimentelt verifisert av den tyske eksperimentalfysiker [[Friedrich Paschen]] allerede i [[1895]].<ref>F. Paschen, ''Über Gesetzmässigkeiten in den Spectren fester Körper und über eine neue Bestimmung der Sonnentemperatur,'' Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-phys. Kl. 294–304 (1895).</ref>

Loven var viktig i den videre utforskningen av egenskapene til strålingen som kulminerte med oppdagelsen i [[1900]] av [[Plancks strålingslov]]. Denne er kompatibel med Wiens forskyvingslov.

I plottet til høyre ser man at maksimum til kurven flytter seg til venstre etterhvert som temperaturen øker. Det blir forskjøvet. Wiens forskyvingslov har også den konsekvensen at slike kurver ved forskjellige temperaturer aldri vil skjære hverandre.  Den er en av de mest kjente eksempler på en [[skalalover|skalalov]] i fysikken.

==Praktisk bruk==

Loven sier strålingen er mest intens ved en [[absolutt temperatur]] ''T''  for en bølgelengde ''&lambda;<sub>m</sub>''  som er gitt ved relasjonen

:<math>\lambda_m T = 2897,77\,\mu\mathrm{m\cdot K} </math>

Verdien av konstanten på høyre side følger fra [[Plancks strålingslov]]. Den første, presise målingen av denne konstanten ble gjort av de to tyske eksperimentalfysikerne O. Lummer og E. Pringsheim i [[1900]].<ref>O. Lummer und E. Pringsheim,  Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft '''2''', 176 (1900).</ref>

[[Solen]] har en overflatetemperatur på ca. 5780 K som gir {{nowrap|''&lambda;<sub>m</sub>''  {{=}} 530 nm}}  som tilsvarer synlig lys. [[Jorden]] med en overflatetemperatur på ca. 300 K, vil ha maksimal utstråling for bølgelengder rundt 10&thinsp;&mu;m som er i den [[infrarød stråling|infrarøde]] delen av det [[elektromagnetisk spekter|elektromagnetiske spekteret]] og blir absorbert i atmosfæren. Dette er en viktig grunn for [[drivhuseffekt]]en. Den [[kosmisk bakgrunnsstråling|kosmiske bakgrunnstrålingen]] har en temperatur i dag på {{nowrap|''T'' {{=}} 2,73&thinsp;K}} som tilsvarer bølglengder omkring {{nowrap|''&lambda;<sub>m</sub>''  {{=}} 1&thinsp;mm}} eller frekvenser rundt 300&thinsp;[[GHz]].

==Teoretisk begrunnelse==
Ved bruk av [[termodynamikk]] hadde den østerrikske fysiker  [[Ludwig Boltzmann]] vist i [[1884]] at energitettheten økte med temperaturen ''T'' i fjerde potens.<ref>L. Boltzmann, ''Ableitung des Stefanschen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie'', Annalen der Physik und Chemie, '''22''', 291-294 (1884).</ref> I denne forbindelse hadde Boltzmann sett på hva som skjer med strålingen, innesluttet i en sylinder med et [[stempel]], når stemplet trekkes langsomt ut slik at volumet øker. En slik [[adiabatisk forandring]] betyr at [[entropi]]en til strålingen forblir uforandret.

Denne prosessen ville Wien undersøke nærmere. Han betraktet et sfærisk hulrom med radius ''R'' med [[varmestråling|sort stråling]]. Ved en adiabatisk forandring av volumet ''V'' vil dermed [[varmestråling|entropien til strålingen]]  være konstant som betyr at ''VT<sup>3</sup> = konst.'' Derfor må produktet ''RT'' forbli uforandret, noe som betyr at temperaturen vil avta.

Wien antok at veggen i hulrommet var fullstendig reflekterende. Han kunne da  vise at bølgelengden ''&lambda;'' økte proporsjonalt med radius ''R'' på grunn av [[Dopplereffekten|Doppler-effekten]]. Det betyr derfor at ''&lambda;T'' er konstant under denne utvidelsen hvor den tilsvarende frekvensen {{nowrap|''&nu; {{=}} c/&lambda;''}} avtar.

Men  [[Stefan-Boltzmanns lov]] må være oppfylt, også i hvert frekvensintervall. Sammenligner man derfor [[varmestråling|den spektrale energitettheten]] {{nowrap|''u<sub>&nu;</sub>(T)&thinsp;d&nu;''}} ved to temperaturer  ''T'' og {{nowrap|''T' {{=}} (&nu;'/&nu;)T''}}, må derfor

: <math> u_\nu(T)d\nu =  \left({T\over T'}\right)^4 u_{\nu'}(T')d\nu' = \left({T\over T'}\right)^3u_{\nu'}(T')d\nu </math>

Hvis man her setter at ''&nu;' = konst'', har man dermed  at {{nowrap|''u<sub>&nu;</sub>(T) {{=}} T<sup>3</sup>f(T/&nu;)''}} for en eller annen funksjon ''f(x)''. Det betyr at

: <math> u_\nu(T) = \nu^3 g(\nu/T) </math>

hvor funksjonen ''g(x)'' bare inneholder en variabel, men kan ikke bestemmes. Men den må avta tilstrekkelig raskt for høye frekvenser slik at den gir en integrert energitetthet som er endelig. Dette er den matematiske formen for '''Wiens forskyvningslov'''.

Den spektrale energitettheten kan også skrives som en funksjon  ''u<sub>&lambda;</sub>(T)'' av bølgelengden. Sammenhengen mellom disse to spektralfordelingene er gitt ved at {{nowrap|''u<sub>&lambda;</sub>d&lambda; {{=}} u<sub>&nu;</sub>&thinsp;d&nu;''}}. Men da {{nowrap|''d&lambda; {{=}} &thinsp;(c/&nu;<sup>&thinsp;2</sup>)&thinsp;d&nu;''}}, har man at  {{nowrap|''u<sub>&lambda;</sub> {{=}} (c/&lambda;<sup>&thinsp;2</sup>)u<sub>&nu;</sub>''}} som også gir disse to funksjonene forskjellig [[dimensjon]]. Wiens forskyvingslov for denne energitettheten blir dermed

: <math> u_\lambda(T) = \lambda^{-5} h(\lambda T) </math>

hvor funksjonen ''h(x)'' igjen ikke kan beregnes fra en slik generell utledning. Hvis man plotter {{nowrap|''&lambda;<sup>5</sup>u<sub>&lambda;</sub>(T)''}}, vil alle målepunkter for forskjellige ''&lambda;'' og ''T'' falle på en [[kurve]]. Det er ensbetydende med at kurvene for ''u<sub>&lambda;</sub>(T)'' som funksjoner av bølgelengden ved forskjellige temperaturer, ikke vil skjære hverandre. Denne lovmessigheten og funksjonen ''h(&lambda;T)'' ble først eksperimentelt påvist av Lummer  og Pringsheim i [[1899]].<ref name=LP>O. Lummer und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft '''1''', 23, 215 (1899);  '''2''', 163 (1900).</ref>

Wien brukte dette resultatet et par år senere til å forslå en form for denne funksjonen basert på [[Maxwell-Boltzmanns fordelingslov]] for hastighetene til [[molekyl]]ene i en gass. Resultatet kalles [[Wiens strålingslov]] og spilte en viktig rolle frem til [[Plancks strålingslov]] ble funnet i [[1900]].

==Forskyving av maksimum==
Hvis funksjonen ''u<sub>&lambda;</sub>(T)'' har et maksimum for en bølgelengde ''&lambda;<sub>m</sub>'' ved en gitt temperatur ''T'', kan den bestemmes fra kravet om at den deriverte av funksjonen ''&lambda;<sup>-5</sup>h(&lambda;T)'' skal være null for denne bølgelengden. Det gir ligningen

: <math> \lambda T h'(\lambda T) - 5h(\lambda T) = 0 </math>

som vil ha en løsning for ''&lambda;<sub>m</sub>T = konst.'' Bølgelengden for maksimum til strålingsintensiteten vil altså forskyves mot kortere bølgelengder ved høyere temperaturer.

==Plancks strålingslov==

I løpet av [[1899]] ble det gjort mer presise målinger av strålingsintensiteten som inneholdt data for lengre bølgelenger enn tidligere.<ref name=LP /> De viste klart at [[Wiens strålingslov]] ikke kunne være generelt gyldig.<ref>H. Rubens und F. Kurlbaum, ''Anwendung der Methode der Reststrahlen zur Prüfung des Strahlungsgesetzes'', Annalen der Physik '''309''' (4), 649-666 (1901).[http://zs.thulb.uni-jena.de/servlets/MCRFileNodeServlet/jportal_derivate_00149131/19013090402_ftp.pdf PDF]</ref> Disse eksperimentene fikk [[Max Planck]] til å utvikle en ny strålingslov som kan skrives på formen<ref>M. Planck, ''Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum'', Annalen der Physik '''309''' (4), 553-563 (1901). [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf PDF.]</ref>

:<math>u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}  </math>

Her er ''k<sub>B</sub>'' [[Boltzmanns konstant]] og ''h'' den nye [[Plancks konstant|konstanten]] han hadde vært nødt til å innføre. Denne nye loven var i overensstemmelse med både Wiens forskyvingslov og de nye målingene.

Frekvensen for maksimum av denne nye spektralfunksjonen finnes nå fra ''&part;u<sub>&nu;</sub>/&part;&nu; = 0''. Ved å innføre ''x = h&nu;/k<sub>B</sub>T'' som ny variabel, gir nå derivasjonen ligningen

:<math> \frac{8\pi h\nu^2 }{c^3}\left[{3\over e^x - 1} - {xe^x\over (e^x -1)^2}\right] = 0. </math>

Det betyr at ''x/3 = 1 - e<sup>&thinsp;-x</sup>'' som må løses numerisk. Det gir ''x<sub>m</sub>'' = 2,82144... ved maksimum. Den tilsvarende frekvensen er dermed

:<math>{\nu_m\over T} = {x_m k_B\over h} = 58,789\, \mathrm{GHz}\cdot\mathrm{K}^{-1} </math>

For eksempel har [[kosmisk bakgrunnsstråling|den kosmiske bakgrunnsstrålingen]] en temperatur på 2,73 K og derfor en maksimum ved frekvenser rundt {{nowrap|200 GHz}}.

Men dette gir ikke maksimum til den relaterte spektralfunksjonen

:<math>u_\lambda(T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_BT}-1} </math>

Det kan beregnes på samme måte ved å innføre {{nowrap|''x {{=}} hc/&lambda;k<sub>B</sub>T''}} som ny variabel. Da er maksimum bestemt ved ligningen {{nowrap|''x/5 {{=}} 1 - e<sup>&thinsp;-x</sup>''}} som gir {{nowrap|''x'<sub>m</sub>'' {{=}} 4,96511...}} ved maksimum. Den tilsvarende bølgelengden oppfyller dermed

:<math>\lambda_m T = {hc\over x'_m k_B} = 2897,77\,\mu\mathrm{m\cdot K} </math>

Da ''&nu;<sub>m</sub>'' og ''&lambda;<sub>m</sub>'' bestemmer maksima for to forskjellige funksjoner, er ''&nu;<sub>m</sub>&lambda;<sub>m</sub>/c'' = 0,568 i stedet for 1,000 som man kanskje kunne ha forventet. For strålingen fra [[Solen]] med temperatur på omtrent 5800 K, er ''&lambda;<sub>m</sub>'' = 500&nbsp;nm som tilsvarer grønt lys midt i [[visuelt spektrum|det synlige spekteret]]. Men beregner man frekvensen ''&nu;<sub>m</sub>'', tilsvarer den en bølgelengde nærmere 900&nbsp;nm som er nesten i den [[infrarød stråling|infrarøde]] delen av spekteret.

==Referanser==
<references/>

==Litteratur==

* P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes og C.W. Tellefsen,  ''Ergo: Fysikk 1'', [[Aschehoug]], Oslo (2007).
* R. Renstrøm, ''Fysikkens historie'', [[Høyskoleforlaget]], Oslo (2006).
* E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, ''Generell Fysikk'', [[Universitetsforlaget]], Oslo (2001).
* M. Planck, ''The Theory of Heat Radiation'', Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-66811-8.
* M. Longair, ''Theoretical Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-82126-1.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]
[[Kategori:Astronomi]]
[[Kategori:Statistisk fysikk]]
[[Kategori:Optikk]]