Redigerer Virkningsprinsipp

[[Fil:Leastaction.JPG|right|thumb|300px|Av alle mulige veier mellom <span style="color:blue;">blått </span> og <span style="color:red;">rødt </span> punkt vil den virkelige veien finnes der variasjonen av virkningen er null.]]
'''Virkningsprinsipp''' i [[fysikk]]en er en formulering av de fundamentale lovene basert på begrepet '''virkning'''. Mens [[kinetisk energi]] og [[potensiell energi]] for et system har bestemte verdier for hvert tidspunkt i dets bevegelse, er dets virkning et resultat av bevegelsen over et endelig tidsrom. Prinsippet sier at den [[klassisk mekanikk|klassiske bevegelsen]] skal ha en ''ekstremal'' virkning, det vil si være minimal eller maksimal. Ofte og spesielt for korte tidsforløp, er den minimal. Det omtales derfor mange ganger som '''prinsippet om minste virkning'''.

Det første virkningsprinsipp ble formulert av den franske naturviter og filosof [[Pierre Louis Maupertuis]] i [[1744]]. Han forsøkte med dette å generalisere [[Fermats prinsipp]] som bestemmer lysets gang i [[geometrisk optikk]], til også gjelde for vanlige partikler. Dette prinsippet sier at lysets gang mellom to punkt er gitt ved den banen som tar minst tid. På den tiden var det antatt at lys bestod av en strøm av små ''lyspartikler''. Ut fra den feilantagelse at lyset beveger seg raskere i et tett medium som vann enn i et tynt medium som luft, postulerte han at en partikkel skulle bevege seg slik at dens [[bevegelsesmengde]] (massen multiplisert med hastigheten) multiplisert med tilbakelagt veistrekning skulle være minst mulig. Dette er [[Maupertuis' virkningsprinsipp]]. Det ble samme år også oppdaget av den store, sveitsiske matematiker [[Leonhard Euler]] som formulerte det på en mye mer presis måte. Opprinnelig inngikk det som et appendiks til hans store verk som la grunnlaget for moderne [[variasjonsregning]].<ref> Leonhard. Euler, [https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E065.html ''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes''], skannet original fra Dartmouth College, USA.</ref>

Hundre år senere viste den irske fysiker og matematiker [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] at de samme, mekaniske lovene kunne utledes fra et enklere virkningsprinsipp basert i stedet på [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]] til systemet. Har systemet en  [[kinetisk energi]] ''T'' og en [[potensiell energi]] ''V'', er denne {{nowrap|''L {{=}} T - V''}}. Dette er i motsetning til den totale energien til systemet som er {{nowrap|''E {{=}} T + V''}}. Noen av de viktigste fordelene med dette prinsippet er at det kan generaliseres til å gjelde også for relativistsike partikler som har hastigheter tett opp til [[lyshastigheten]] samt at det mer direkte kan benyttes  i beskrivelsen av [[kontinuumsmekanikk]] og i [[felt (fysikk)|feltteorier]]. 

Maupertuis og Euler mente at det måtte ligge en guddommelig styrelse bak prinsippet  og resultere i en perfekt verden.<ref> Ivar Ekeland, ''The best of all possible Worlds'',  University of Chicago Press, Chicago (2006). ISBN 0-226-19995-9. </ref> Men i dag vet man at den virkelig grunnen er en direkte konsekvens av [[kvantemekanikk]]en som formulert av den amerikanske fysiker [[Richard Feynman]]. De kvantemekaniske lovene som virker på mikroskopisk nivå resulterer i en klassisk bevegelsen på makroskopisk nivå som har en ekstremal virkning.

==Matematisk formuleringer==

Virkningen som ble foreslått av [[Pierre Louis Maupertuis|Maupertuis]] for en partikkel med masse ''m'' som beveger seg fra et punkt ''A'' til et punkt ''B'' med en hastighet {{nowrap|''v {{=}} v('''r''')''}} som varierer med posisjonen '''''r''''' langs en viss bane, er gitt ved integralet

: <math> W = m\!\int_A^B\!ds v(\mathbf{r}) </math>

Her er ''ds = vdt'' den infinitesemale banestrekningen som tilbakelegges i en infinitesemal tid ''dt''. Prinsippet om minste virkning sier nå at den banen som partikkelen virkelig følger, det vil si hva vi kaller den ''klassiske banen'', er den som gir den minste verdien for dette integralet. [[Leonhard Euler|Euler]] påpekte at i denne sammenligningen av virkningene for forskjellige baner, måtte man kun betrakte baner som hadde den samme, totale energien {{nowrap|''E {{=}} T + V''}}. 

Euler viste også at dette kunne best gjøres ved en ny, matematisk metode som han utviklet med dette for øye og som i dag omtales som [[variasjonsregning]]. Betrakter man en liten '''variasjon''' av banen ''&delta;'''r''''' slik at hvert punkt langs den forandres til {{nowrap|'' '''r''' + &delta;'''r'''''}}, vil det resultere i en tilsvarende variasjon ''&delta;W'' av virkningen. Den klassiske banen er da gitt ved kravet om at denne skal være null,

: <math> \delta W = 0\,.   </math>

Den tilsvarende virkningen har da en ekstremalverdi. For tilstrekkelig korte baner er dette en minimum. På den måten hadde Euler gitt [[Maupertuis' virkningsprinsipp|prinsippet om minste virkning]] en matematisk formulering.

===Hamiltons virkningsprinsipp===

Hastigheten ''v'' til partikkelen bestemmer dens [[kinetisk energi|kinetiske energi]] ''T = mv<sup>2</sup>/2''. Derfor kan virkningsintegralet også skrives som

: <math> W = m\!\int_A^B\!dt v^2 =   \int_A^B 2T dt </math>

Men nå er  {{nowrap|''2T {{=}} E + T - V''}} slik at variasjonen av virkningen blir

: <math> \delta W = \int_A^B\!dt [\delta E + \delta(T-V)] </math>

Her er første ledd lik null da ''&delta;E = 0'' fordi energien til de varierte banene må forbli uforandret. Andre ledd inneholder kombinasjonen {{nowrap|''L {{=}} T - V''}} som er [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen. Minste virknings prinsipp kan da skrives som {{nowrap|''&delta;S {{=}} 0''}} hvor

: <math> S = \int_A^B\!dt (T-V)  </math>

som er virkningen som inngår i [[Hamiltons virkningsprinsipp]]. På denne formen vil det ikke lenger være noen restriksjoner på variasjonene ''&delta;'''r''''' som inngår i beregningen. De to ytterpunktene er nå angitt ved de tilsvarende tidspunktene ''t<sub>A</sub>'' og ''t<sub>B</sub>'' da partikkelen befinner seg der.

I denne fremstillingen har man betraktet en ikke-relativistisk partikkel hvor [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]] kan skrives direkte uttrykt ved kinetisk og potensiell energi som ''L = T - V''. Men for mer generelle system er det ikke mulig å foreta en slik enkel oppsplitting. Den eneste fundamentale størrelsen som inngår i Hamiltons virkningsprinsipp er da kun Lagrange-funksjonen. For eksempel, så følger [[Einsteins feltligninger]] for [[gravitasjonsfelt]]et ved å sette denne lik den skalare krummningen til det tilsvarende 4-dimensjonale tidrommet som vist av den tyske matematiker [[David Hilbert]] i [[1915]]. Det var samme år som [[Albert Einstein]] kom frem til dem på en mer indirekte måte.

==Referanser==
<references/>

==Litteratur==

* H. Goldstine: ''A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century'', Springer, New York (1980). ISBN 1-4613-8106-8.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Fysikk]]
[[Kategori:Klassisk mekanikk]]
[[Kategori:Grunnleggende konsepter i fysikken]]