Redigerer Venn-diagram

Et '''venndiagram''' er i [[mengdelære]] en illustrasjon som brukes for å vise [[matematikk|matematiske]] eller [[logikk|logiske]] forbindelser mellom ulike grupper av ting (mengder).

Et venndiagram viser alle de logiske forbindelsene mellom mengdene.  Et [[eulerdiagram]] er liknende, men behøver ikke å vise alle forbindelsene.

== Eksempler ==

[[Fil:venn-diagram-AB.png|thumb|Mengdene A og B]]

Den oransje sirkelen ([[mengde]] ''A'') kan representere, for eksempel, alle levende vesener som er tobeinte. Den blå sirkelen (mengde ''B'') kan representere alle levende vesener som kan fly. Det området hvor den blå og den oransje sirkelen overlapper (som kalles ''skjæringsfeltet'') inneholder alle levende vesener som både kan fly ''og'' som har to bein – for eksempel papegøyer. (Tenk deg hver enkelt type vesen som et [[punkt]] et sted i diagrammet).

Mennesker og pingviner ville befunnet seg i den oransje sirkelen, i det området som ikke overlapper med den blå sirkelen. Mygg har seks bein og flyr, så punktet for mygg ville være i den delen av den blå sirkelen som ikke overlapper med den oransje. Ting som ikke har to bein og ikke kan fly (for eksempel hvaler og klapperslanger) ville alle sammen blitt representert av punkter utenfor begge sirkler. Teknisk sett kan venndiagrammet tolkes som «forbindelsene mellom mengde ''A'' og mengde ''B'' som kan ha noen (men ikke alle) elementer felles».

Det samlede arealet av mengdene ''A'' og ''B'' blir kalt ''unionen'' av mengdene ''A'' og ''B''. Unionen i dette tilfellet inneholder alle ting som enten har to bein, eller som flyr, eller begge deler. At sirklene overlapper innebærer at unionen av de to mengdene ikke er tom – at det faktisk ''er'' vesener som er i ''både'' den oransje og den blå sirkelen.

Noen ganger blir et rektangel (som kalles [[univers (matematikk)|universalmengden]]) tegnet omkring venndiagrammet for å vise rommet for alle mulige ting. Som tidligere nevnte ville en hval blitt representert av et punkt som ikke er i unionen, men som er i [[universet]] (av levende vesener, eller av alle ting, avhengig av hvordan man velger å definere universalmengden for akkurat det diagrammet).

<gallery>
File:Venn0001.svg|Overlappende mengde mellom to grupper<br/><math>~A \cap B</math>
File:Venn0111.svg|Samlet mengde mellom to grupper<br /><math>~A \cup B</math>
File:Venn0110.svg|Symmetrisk forskjell mellom to grupper<math>A~\Delta~B</math>
File:Venn0010.svg|Relativ komplement av A (til venstre) i B (høyre)<br /><math>A^c \cap B~=~B \setminus A</math>
File:Venn1010.svg|Absolutt komplementering av A<br/> <math>A^c~=~U \setminus A</math>
</gallery>

== Liknende diagrammer ==

=== Eulerdiagrammer ===
[[Fil:venn-diagram-ABC.png|thumb|Et eulerdiagram]]

Eulerdiagrammer har likheter med venndiagrammer, men behøver ikke vise alle mulige forbindelser. I diagrammet til høyre er en mengde fullstendig inni en annen. La oss si at mengde ''A'' er alle de ulike typene ost som fins i verden og mengde ''B'' er alle matvareslag som fins i verden. Fra diagrammet kan du se at alle oster er matvarer, men ikke alle matvarer er oster. La oss videre ta at mengde ''C'' (la oss si alle ting laget av metall) ikke har noen elementer (medlemmer av mengden) felles med mengde ''B'', og utfra det kan vi logisk påstå at ingen matvareslag er metallting (og vice versa). Diagrammet kan tolkes som:
:Mengde ''A'' er en ekte [[delmengde]] av mengde ''B'', men mengde ''C'' har ingen elementer felles med mengde ''B''. Eller, som en [[syllogisme]]
* Alle ''A''er er ''B''er
* Ingen ''C''er er ''B''r
* Derfor er ingen ''C''er ''A''er.
* Derfor er ingen ''A''er ''C''er.

=== Johnston-diagrammer ===
[[Fil:Venn1000.svg|thumb|Johnston-diagram for påstanden ''Hverken A eller B er sanne'']]
Et [[Johnston-diagram]] kan bli brukt for å illustrere påstander i [[proposisjonslogikk]].  Et eksempel på en slik påstand er «Hverken A eller B er sanne».  Diagrammet er en visuell måte å illustrere [[sannhetstabell]]er på. Det kan være identisk utseendemessig med et venndiagram, men det representerer ikke objektmengder.

=== Karnaugh-kart ===
[[Karnaugh-kart]] eller ''Veitch-diagrammer'' er en annen måte å visualisere et uttrykk i [[boolsk algebra]].

=== Peirce-diagrammer ===
[[Peirce-diagrammer]], utformet av [[Charles Peirce]], er utvidelser av venndiagrammer.  Disse diagrammene inkluderer informasjon om eksistensielle påstander, atskillende informasjon, sannsynligheter og relasjoner. [http://plato.stanford.edu/entries/diagrams/].

== Utvidelser til høyere antall mengder ==
Venndiagrammer har gjerne tre mengder. Venn var oppsatt på å finne ''symmetriske figurer...elegante i seg selv'' som representerte høyere antall mengder, og han utformet et firemengdersdiagram ved bruk av [[ellipse]]r. Han ga også en konstruksjon for venndiagrammer for ''ethvert'' antall kurver, der hver ny [[kurve]] innfelles i de tidligere kurvene, begynnende med 3-sirkelsdiagrammet.

=== Edwards' venndiagrammer ===
{| align="right"
| [[Fil:Edwards-Venn-three.png|thumb|right|Edwards' venndiagram med tre mengder]]
| [[Fil:Edwards-Venn-four.png|thumb|right|Edwards' venndiagram med fire mengder]]
|-
| [[Fil:Edwards-Venn-five.png|thumb|right|Edwards' venndiagram med fem mengder]]
| [[Fil:Edwards-Venn-six.png|thumb|right|Edwards' venndiagram med seks mengder]]
|}
[[A. W. F. Edwards]] ga en fin konstruksjon for høyere antall mengder som innehar enkelte symmetrier. Hans konstruksjon kan oppnås ved å projisere venndiagrammet på en [[sfære]]. Tre mengder kan enkelt representeres ved å ta tre halvkuler i rette vinkler (''x''≥0, ''y''≥0 og ''z''≥0). En fjerde mengde kan representeres ved å ta kurver lik dem du finner på sømmen på en tennisball som snor seg opp og ned rundt ekvator. Den resulterende mengden kan så projiseres tilbake til planet for å gi et ''tannhjul''-diagram med økende antall tenner. Disse diagrammene ble utformet under lagingen av et [[glassmalerivindu]] til minne om Venn.

=== Andre diagrammer ===

Edwards' venndiagrammer er topologisk ekvivalente med diagrammer utformet av [[Branko Grünbaum]] som var basert omkring [[polygon]]er som skjærer hverandre med økende antall sider. De er også 2-dimensjonale representasjoner av [[hyperkube]]r.

Smith utformet liknende ''n''-mengdediagrammer ved bruk av [[Sinuskurve|sinus]]-kurver med likningen ''y''=sin(2<sup>''i''</sup>''x'')/2<sup>''i''</sup>, 0≤i≤''n''-2. 

Charles Lutwidge Dodgson (også kjent som [[Lewis Carroll]]) utformet et fem-mengders diagram.

== Opprinnelse ==

[[John Venn]] var en britisk [[filosof]] og [[matematiker]] i det 19. århundre. Han introduserte venndiagrammet i 1881. 

Et glassmalerivindu på Caius College på [[University of Cambridge|Cambridge-universitet]] er til minne om oppfinnelsen hans.

== Se også ==
* [[Diagram]]

== Kilder ==
* [https://web.archive.org/web/20111011075509/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC.html A Survey of Venn Diagrams] av F. Ruskey og M. Weston, er et omfattende nettsted med mye nyere forskning og mange vakre figurer.
* [[Ian Stewart (matematiker)|I. Stewart]] ''Another Fine Math You've Got Me Into'' 1992 kap.4
* A.W.F. Edwards. ''Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams'', Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 2004.
* [https://web.archive.org/web/20060622021540/http://www.logic.univie.ac.at/~thompson/papers/venn-review.pdf Anmeldelse av Cogwheels of the Mind]

== Eksterne lenker ==
* {{Offisielle lenker}}
* [https://web.archive.org/web/20060501233805/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennWhatEJC.html What is a Venn diagram?], fra oversiktssiden (under).
* [http://www.logictutorial.com/ LogicTutorial.com] {{Wayback|url=http://www.logictutorial.com/ |date=20050827013704 }} –  interaktivt Johnston-diagram
* [http://www.cut-the-knot.org/LewisCarroll/dunham.shtml Lewis Carroll's logiske spill – Venn vs. Euler] på [[cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20111011075509/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC.html En oversikt over Venn-diagrammer]
* [http://www.cut-the-knot.org/LewisCarroll/Venn.shtml Venndiagrammer] på [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/LewisCarroll/VennClick.shtml Områdeidentifisering i venndiagrammer] på [[cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20060506050320/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennJohnEJC.html Glassmalerivindu]

=== Verktøy til å lage venndiagrammer ===
* [[Microsoft PowerPoint]]
* [http://sourceforge.net/projects/venn/ VennDiagrams]
* [http://barnyard.syr.edu/software.shtml Winvenn] {{Wayback|url=http://barnyard.syr.edu/software.shtml |date=20200321024158 }}
* [https://web.archive.org/web/20070709105601/http://www.cs.uvic.ca/~schow/DrawVenn/instructions.html DrawVenn]
* [http://www.venndiagram.tk VennDiagram.tk] {{Wayback|url=http://www.venndiagram.tk/ |date=20111020175935 }}

=== Verktøy til å lage eulerdiagrammer ===
* [https://web.archive.org/web/20070709105339/http://www.cs.uvic.ca/~schow/DrawEuler/instructions.html DrawEuler]

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Logikk]]
[[Kategori:Mengdelære]]
[[Kategori:Statistiske diagram]]