Redigerer Vektoranalyse

[[Fil:VectorField.svg|thumb|240px|Illustrasjon av det todimensjonale [[vektorfelt]]et '''V'''(''x,y'') = (sin ''y'', sin ''x'').]]
'''Vektoranalyse''' er en del av [[matematikk]]en som omhandler [[derivasjon]] og [[integrasjon]] av [[vektorfelt]]. Denne delen av [[matematisk analyse]] kan formuleres ved grunnleggende formler som har de fleste praktiske anvendelser i tre dimensjoner. Dette gjelder særlig innen [[hydrodynamikk]] og [[elektromagnetisme]].

Noe av den vanlige vektoranalysen kan benyttes i høyere dimensjoner. Den inngår da som en del av den mer generelle [[tensor|tensoranalysen]]. En lignende generalisering kan også gjøres ved bruk av [[differensialform|differensielle former]].

Vektoranalyse har sitt utgangspunkt i oppdagelsen til [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] av [[kvaternion]]er på midten av 1800-tallet. Denne matematiske formalismen ble benyttet av [[James Clerk Maxwell|James Maxwell]] et par tiår senere ved utarbeidelsen av teorien for [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]]. 

På slutten av århundret innførte [[Josiah Willard Gibbs]] den moderne vektoranalysen som [[Oliver Heaviside]] gjorde bruk av til å gi [[Maxwells ligninger]] den moderne formen de har i dag. Gjennom boken ''Vector Analysis'' til en av Gibbs' studenter fikk denne nye formuleringen en internasjonal utbredelse og ble raskt tatt i bruk. I dag er vektoranalytiske metoder og beregninger standard innen matematikk, [[fysikk]] og de fleste [[ingeniørvitenskap|ingeniørfag]].

==Derivasjon==

Ved [[derivasjon]] kan man beregne hvordan en [[funksjon (matematikk)|funksjon]] av flere variable ''F''(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...,''x<sub>N</sub>'') varierer med hensyn til forandringer i disse. Med ''N'' variable kan man danne ''N'' slike [[Derivasjon#Partiell derivasjon|partielle deriverte]] av funksjonen. Disse kan skrives på den kompakte formen

: <math> \partial_n F = {\partial F\over\partial x_n}(x_1, x_2, ..., x_N) </math>

for ''n'' = 1, 2, ..., ''N''. De utgjør komponentene til en [[vektor (matematikk)|vektor]] '''V''' = (''V''<sub>1</sub>,''V''<sub>2</sub>,...,''V<sub>N</sub>'') hvor ''V<sub>n</sub>'' = &part;''<sub>n</sub>F'' og kalles for [[gradient]]en til funksjonen.<ref name = Boas> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). {{ISBN|0-471-04409-1}}.</ref>

Funksjonen ''F''(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...,''x<sub>N</sub>'') kan betraktes som et [[skalar]]t [[felt (fysikk)|felt]] på en [[mangfoldighet]] eller [[Rom (matematikk)|rom]] med ''N'' dimensjoner hvor hvert punkt er angitt ved [[koordinatsystem|koordinatene]] (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...,''x<sub>N</sub>''). Gradienten '''V'''(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...,''x<sub>N</sub>'') er da et [[vektorfelt]] som står [[vinkelrett]] på [[ekvipotensialflate]]r der funksjonen ''F''(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...,''x<sub>N</sub>'') = konstant.

===Tre dimensjoner===
I et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] hvor punkter angis i et [[kartesisk koordinatsystem]] (''x, y, z'') med basisvektorer '''e'''<sub>''x''</sub>, '''e'''<sub>''y''</sub> og '''e'''<sub>''z''</sub>, kan gradienten av funksjonen {{nowrap|''F''(''x, y, z'')&thinsp;}} uttrykkes ved [[nabla-operator]]en <math> \boldsymbol{\nabla} </math> og skrives som

: <math> \boldsymbol{\nabla}F = {\partial F\over \partial x}\mathbf{e}_x + {\partial F\over \partial y} \mathbf{e}_y + {\partial F\over \partial z}\mathbf{e}_z </math>

Da nabla er en vektoroperator, kan den virke på et [[vektorfelt]] '''A'''(''x, y, z'') = ''A<sub>x</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + ''A<sub>y</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> + ''A<sub>z</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub> på to forskjellige måter.<ref name = Spiegel> M. R. Spiegel, ''Vector Analysis'', Schaum's Outline Series, New York, (1959).</ref> Enten kan den kombineres med dette ved et skalert [[indreprodukt]] eller ved et vektorielt [[kryssprodukt]]. Den første muligheten gir opphav til [[divergens]]en 

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = {\partial A_x\over\partial x} + {\partial A_y\over\partial y} + {\partial A_z\over\partial z} </math>

av vektorfeltet som er en skalar størrelse. Derimot ved bruk av den andre muligheten basert på vektorproduktet, finner man [[curl]] av feltet som er et nytt vektorfelt. Fra definisjonen av kryssproduktet kan denne vektorderivasjonen skrives som

: <math> \begin{align}\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} &= \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathbf{e}_x +  \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\mathbf{e}_y + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\mathbf{e}_z \\ &= \left|\begin{matrix} 
    \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\
    A_x & A_y & A_z \end{matrix}\right| 
\end{align}</math>

Hvis vektoren '''A''' er en gradient slik at man kan skrive '''A''' = '''&nabla;'''&thinsp;''F'', vil curl til vektoren bli null. Da er hver komponent gitt som ''A<sub>k</sub>'' = &part;''<sub>k</sub>F'' slik at den første komponenten til dens curl er {{nowrap|('''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''')<sub>''x''</sub> {{=}} &part;''<sub>y</sub>A<sub>z</sub>'' - &part;''<sub>z</sub>A<sub>y</sub>''}} = {{nowrap|(&part;<sub>''y''</sub>&part;<sub>''z''</sub> - &part;<sub>''z''</sub>&part;<sub>''y''</sub> )''F'' {{=}} 0}} da rekkefølgene til de partiellderiverte er uten betydning. Dermed er denne komponenten null og på samme måte de andre. Man har da generelt

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}F = 0 </math>

Divergensen av en gradient er ikke lik med null, men definerer [[Laplace-operator]]en

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}F = \nabla^2F = {\partial^2 F\over\partial x^2} + {\partial^2 F\over\partial y^2} + {\partial^2 F\over\partial z^2}</math>

Derimot er divergensen av en curl alltid lik null. Det følger fra identiteten

: <math> \boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} ) = 0 </math>

som vises ved å eksplisitt skrive ut divergensen til vektoren som er curl av '''A'''. Den består av seks termer som gjensidig kansellerer hverandre.<ref name = Spiegel/> 

Det vektorielle produktet av to vektorer eksisterer bare i rom med tre dimensjoner. Man kan derfor ikke uten videre benytte curl i rom med høyere dimensjoner enn {{nowrap|''N'' {{=}} 3}}. Denne begrensningen eksisterer ikke for divergensen av vektorfelt som kan defineres på samme måte som i tre dimensjoner.<ref name = Boas/>

==Sammensatte derivasjonsregler==
Fra [[Derivasjon#Utregning av den deriverte|produktregelen]] for derivasjon følger at gradienten av produktet av to skalare funksjoner er

: <math> \boldsymbol{\nabla}(FG) = F\boldsymbol{\nabla}G + G\boldsymbol{\nabla}F </math>

Samme regel gjør det også mulig å beregne effekten av [[nabla-operator]]en når den virker på produkt av skalere og vektorielle felt. For eksempel er divergensen av produktet mellom skalarfeltet F og vektorfeltet '''A''' gitt som

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot(F\mathbf{A}) = F\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla}F </math>

Likedan kan curl til det samme produktet finnes og er

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times (F\mathbf{A}) = F\,\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times\boldsymbol{\nabla}F, </math>

mens divergensen til et produkt av to vektorfelt blir

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} - \mathbf{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B}) </math>

Herav kan utledes tilsvarende uttrykk for mer kompliserte produkt.<ref name = Spiegel/>

===Bruk av tensormetoder===

Slike derivasjonsregler er enklest å komme frem til ved å benytte metoder fra den enkleste [[tensor|tensorregning]] basert på [[Einsteins summekonvensjon]]. Den sier at i hvert uttrykk hvor to ulike indekser opptrer, skal man summere over disse. Slike indekser kalles derfor også for «summasjonsindekser».<ref name = Hay> G.E. Hay, ''Vector and Tensor Analysis'', Dover Publications, New York (1953). {{ISBN|0-486-60109-9}}.</ref> Notasjonsmessig er det da enklest å la de være tall slik at 1 tilsvarer {{nowrap|''x''<sub>1</sub> {{=}} ''x''}}, 2 tilsvarer {{nowrap|''x''<sub>2</sub> {{=}} ''y''}} og 3 tilsvarer {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} ''z''}} i tre dimensjoner. En vektor med komponentene (''V''<sub>1</sub>,''V''<sub>2</sub>,''V''<sub>3</sub>) kan da skrives som {{nowrap|'''V''' {{=}} ''V<sub>k</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''k''</sub>}} = ''V''<sub>1</sub>&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> + ''V''<sub>2</sub>&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> + ''V''<sub>3</sub>&thinsp;'''e'''<sub>3</sub> når man summerer uttrykket over indeksen ''k'' for veridiene 1, 2 og 3. Resultatet er uavhengig av navnet til summasjonsindeksen og kunne like godt være skrevet som ''V<sub>i</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''i''</sub> eller ''V<sub>j</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub>

Gradienten til den skalare funksjonen ''F''(''x,y,z'') blir nå '''&nabla;'''''F'' = '''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;&part;<sub>''i''</sub>''F'', mens divergensen til vektorfeltet '''A'''(''x,y,z'') er {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''A''' {{=}} &part;<sub>''j''</sub>&thinsp;''A<sub>j</sub>''.}} Herav følger for eksempel at

: <math>\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot(F\mathbf{A}) &= \partial_i(FA_i) = (\partial_iF)A_i + F(\partial_iA_i)\\ &= (\boldsymbol{\nabla}F)\cdot\mathbf{A} + F\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} \end{align} </math>

ved bruk av den vanlige regelen for derivasjon av et produkt og at [[indreprodukt]]et til to vektorer {{nowrap|'''A''' {{=}} ''A<sub>i</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;}} og {{nowrap|'''B''' {{=}} ''B<sub>j</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub>&thinsp;}} nå er '''A'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''B''' = ''A<sub>k</sub>''&thinsp;''B<sub>k</sub>''.

På samme måte som at kryssproduktet av to vektorer '''A''' og '''B''' kan uttrykket ved det antisymmetriske [[Levi-Civita-symbol]]et som {{nowrap|'''A'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''}} = {{nowrap|''&epsilon;''<sub>''ijk''</sub>''A<sub>i</sub>''&thinsp;''B<sub>j</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''k''</sub>}} der {{nowrap|''&epsilon;''<sub>123</sub> {{=}} +1}}, kan curl til et vektorfelt skrives på den kompakte måten

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} = \varepsilon_{ijk}\partial_iA_j\mathbf{e}_k </math>

hvor man summerer over tre par med indekser.<ref name = Hay/> For eksempel kan man herav regne ut direkte curl til produktet ''F''&thinsp;'''A'''. Det blir 

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(F\mathbf{A}) = \varepsilon_{ijk}\partial_i (FA_j)\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk}(\partial_iF)A_j \mathbf{e}_k + \varepsilon_{ijk}F(\partial_iA_j)\mathbf{e}_k</math>

Her representerer den første termen vektorproduktet ('''&nabla;'''''F'')&thinsp;&times;&thinsp;'''A''', mens den andre termen er ''F''&thinsp;('''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''') slik at den tidligere formelen er etablert.

For utledningen av [[Elektromagnetisk felt#Bølgeligninger|bølgeligningen]] for elektromagnetiske felt behøves formelen

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla}( \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A} </math>

På komponentform følger dette fra

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \varepsilon_{ijk}\partial_i(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_j\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk}\partial_i (\varepsilon_{mnj}\partial_mA_n)\mathbf{e}_k </math>

Her tilfredsstiller Levi-Civita-symbolet [[Levi-Civita-symbol#Tre dimensjoner|identiteten]] 

: <math> \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnj} = \delta_{in}\delta_{km} - \delta_{im}\delta_{kn} </math>

hvor [[Kronecker-delta|Kronecker-symbolet]] ''&delta;<sub>mn</sub>'' er 1 eller 0 avhengig av om de to indeksene er like eller ulike. Dermed blir

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \mathbf{e}_k\partial_k(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A}) - \mathbf{e}_k\nabla^2 A_k </math>

som er resultatet. Ved bruk av den samme identiteten for Levi-Civita-symbolet kombinert med produktregelen finner man på samme vis det mer kompliserte resultatet

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{A}(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} </math>

og andre, lignende resultat.<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). {{ISBN|978-0-521-89697-9}}.</ref>

Slike formler er her utledet ved bruk av [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]. Men de kan omskrives til å være gyldige også i [[krumlinjete koordinater]] ved standard [[Krumlinjete koordinater#Vektorderivasjon|koordinattransformasjoner]]. Summekonvensjonen til Einstein og de tilsvarende tensormetodene som dermed kan benyttes, gjør da beregningene enda mer oversiktlige.<ref name = Spiegel/>

==Integrasjon==

Gradienten av en skalar funksjon {{nowrap|''F''(''x,y,z'')&thinsp;}} kan lett integreres langs en [[kurve]] ''C'' = ''C''(''t&thinsp;''). Fra definisjonen av gradienten blir da [[Integrasjon#Linjeintegral|linjeintegralet]] av {{nowrap|'''&nabla;'''''F''&thinsp;}} langs denne kurven fra punktet ''p'' til punktet ''q'' dermed

: <math> \int_p^q\! d\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}F = \int_p^q\! dF = F(q) - F(p) </math>

Det er gitt ved differansen av funksjonsverdiene i randpunktene til integrasjonsveien. Lignende integrasjonsteorem finnes også når integrasjonsområdet har dimensjon større enn en som det har her.<ref name = Boas/>

===Divergensteoremet===
[[Divergensteorem]]et forbinder integralet av en divergens til vektorfeltet '''A'''&thinsp; over et volum ''V&thinsp;'' med verdien av feltet på overflaten ''S'' = &part;''V''&thinsp; til volumet. Ved bruk av nabla-operatoren kan det skrives på den kompakte formen som

:<math> \int_V\! dV \, \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = \oint_{\!\!\!\partial V} d\mathbf{S}\cdot \mathbf{A} </math>

hvor ''d''&thinsp;'''S'''&thinsp; er en vektor som står vinkelrett på flateelementet ''dS'' og er rettet ut av volumet. Dette teoremet er knyttet til [[Carl Friedrich Gauss]] og går under navnet [[Gauss' lov]] i [[elektrostatikk]]en.<ref name = Zangwill/>

Ved å uttrykke vektorfeltet '''A'''&thinsp; på forskjellige måter ved skalare felt, kan divergensteoremet benyttes til å utlede ulike former av [[Greens identitet]].

===Stokes' teorem===
[[Stokes' teorem]] gjelder for integralet av [[curl]] til vektorfeltet '''A'''&thinsp; over en [[flate]] ''S'' og har formen

:<math> \int_S \! d\mathbf{S} \cdot (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \oint_{\!\!\! \partial S} d\mathbf{r} \cdot \mathbf{A} </math>

der [[Integrasjon#Linjeintegral|linjeintegralet]] på høyre side er langs [[kurve]]n ''C'' = &part;''S'' som er randen eller omkretsen til flaten ''S''. Det har mange anvendelser i [[hydrodynamikk]] og [[elektromagnetisme]] der det forbinder [[Faradays induksjonslov]] med [[Maxwells ligninger|Maxwells tredje ligning]].

Ved bruk av [[differensialform|differensielle former]] kan Stokes' teorem generaliseres til å gjelde i alle dimensjoner. Hvis ''M'' er en [[mangfoldighet]] av dimensjon ''n'' og ''&omega;'' er en differensialform av orden ''n'' - 1, så har man generelt at

: <math> \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega </math>

hvor operasjonen d står for den ytre deriverte av en slik form og &part;''M&thinsp;'' er randen til mangfoldigheten ''M''. Divergensteoremet i tre dimensjoner er også en konsekvens av denne generelle formuleringen av Stokes' teorem.<ref name = Flanders> H. Flanders, ''Differential Forms with Applications to the Physical Sciences'', Dover Publications, New York (1989). {{ISBN|0-486-66169-5}}.</ref>

===Greens teorem===

I det spesielle tilfellet med integrasjon over en curl av et vektorfelt i to dimensjoner, med komponenter ''P''(''x,y'') og ''Q''(''x,y'') forenkles Stokes' teorem slik at det kan skrives på formen

: <math> \int_S \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy = \int_{\partial S} (P\, dx + Q\, dy) </math>

Det omtales da vanligvis som [[Greens teorem]]. Det kan også utledes fra divergensteoremet på lignende måte.<ref name = Hay/>

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* J. Willard Gibbs, [https://archive.org/details/vectoranalysisa01gibbgoog/page/n9/mode/2up ''Vector Analysis''], Charles Scribner, New York (1901).

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Lineær algebra]]
[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Matematisk fysikk]]