Redigerer Tyngdeakselerasjon

[[Fil:518490320 725fd289e1.jpg|mini|Tyngdeakselerasjon er svært merkbar ved hopp i [[fallskjerm]] der den blir motvirket av [[luftmotstand]]en.]]
'''Tyngdeakselerasjonen''' er den [[akselerasjon]]en et legeme i [[fritt fall]] får i et [[gravitasjonsfelt]].  Vanligvis skyldes dette [[gravitasjon]]en skapt av [[Jorden]]s masse og dens [[jordrotasjonen|rotasjon]]. På andre [[planet]]er og [[måne]]r har tyngdeakselerasjonen derfor forskjellig verdier bestemt av deres tilsvarende egenskaper. 

[[Ekvivalensprinsippet]] sier at tyngdeakselerasjonen i hvert punkt er lik med [[gravitasjonsfelt]]et i samme punkt. Begge er [[vektorfelt]] og betegnes vanligvis ved det samme symbolet '''g'''.  På Jorden vil størrelsen variere med [[breddegrad]] og høyde over havet. Ved polene er tyngdeakselerasjonen 9.832 m/s<sup>2</sup>, mens den har verdien 9.780 m/s<sup>2</sup> ved  [[ekvator]]. Oslo som ligger på breddegrad 60<sup>&deg;</sup>, er tyngdeakselerasjonen 9.819 m/s<sup>2</sup>.

Symbolet ''g''<sub>0</sub> brukes som en måleenhet for [[akselerasjon]] hvor 1''g''<sub>0</sub> er definert som 9.80665&nbsp;m/s<sup>2</sup>. Verdien er valgt som en tilnærmet gjennomsnittsverdi for tyngdeakselerasjonen på havoverflaten ved 45.5° bredde.

I [[SI-systemet]] måles tyngdeakselerasjon i enheter av 1&thinsp;m/s<sup>2</sup>.  Men i mange praktiske sammenhenger benyttes ofte fremdeles den eldre enheten {{nowrap|Gal {{=}} 1&thinsp;cm/s<sup>2</sup> {{=}} 0.01&thinsp;m/s<sup>2</sup>&thinsp;}} fra det tidligere [[CGS-systemet]]. Den er oppkalt etter [[Galileo Galilei]] som var den første som målte tyngdeakselerasjoen på Jorden. Slike målinger omtales som [[gravimetri]] og kan i dag bestemme tyngdeakselerasjoner med en nøyaktighet ned til 10<sup>-8&thinsp;</sup>m/s<sup>2</sup>.

==Tyngdeakselerasjon på Jorden==
[[Fil:EarthGravityPREM.svg|left|thumb|360px|Variasjon av tyngdeakselerasjon med avstanden fra Jordens sentrum. For dens indre er resultatet av forskjellige modellberegninger vist.]]
I den enkleste beskrivelse av tyngdeakselerasjonen på [[Jorden]], antar man at den er [[kule (geometri)|kuleformet]] med radius ''R'' og masse ''M''. [[Newtons gravitasjonslov]] gir da direkte størrelsen til gravitasjonsfeltet på Jordens overflate som

: <math> g_e = {GM\over R^2} </math>

hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]] og man ser bort fra [[jordrotasjonen]]. Dette er da også verdien til tyngdeakselerasjonen på jordoverflaten. Setter man her inn {{nowrap|''M'' {{=}} 5.97&times;10<sup>24</sup>&thinsp;kg}} og {{nowrap|''R'' {{=}} 6.37&times;10<sup>3</sup>&thinsp;km}}, får man resultatet {{nowrap|''g<sub>e</sub>'' {{=}}  9.82&thinsp;m/s<sup>2</sup>&thinsp;}} som tilfeldigvis er den målte verdien i Oslo.<ref name = JS> P. Jerstad og B. Sletbak, ''Rom Stoff Tid'', 3FY,  J.W. Cappelens Forlag, Oslo (1998). ISBN 82-02-17155-5.</ref>

I en høyde ''h'' over havet gir Newtons lov at tyngdeakselerasjonen er redusert til {{nowrap|''GM''/(''R + h'')<sup>2</sup>}}. Så lenge {{nowrap|''h'' << ''R''}}, kan den derfor skrives som

: <math> g_h = g_e\Big( 1 - {2h\over R}\Big) </math> 

og avtar forholdsvis langsomt. Først i en høyde av 300&thinsp;km er den blitt 10&thinsp;% mindre. I denne høyden beveger mange kunstige [[Kunstig satellitt|satellitter]] seg.<ref name = LL> J.R. Lien og G. Løvhøyden, ''Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-8-2150-0005-3.</ref>

For å beregne tyngdeakselerasjonen inni Jorden, behøver man å vite mer om dens indre oppbygning. I det enkleste tilfellet kan man anta at den har en uniform massetetthet ''&rho;''. Ved å bruke [[Newtons skallteorem]] er da tyngdeakselerasjonen i en avstand ''r&thinsp;'' fra Jordens sentrum gitt som {{nowrap|''g<sub>r</sub>'' {{=}} ''GM<sub>r</sub>''&thinsp;/''r''<sup>2</sup>}} hvor  {{nowrap|''M<sub>r</sub>'' {{=}} (4/3)''&pi;&rho;r''<sup>3</sup>}} er massen innenfor en kuleflate med denne radius. Det gir direkte 

: <math> g_r = g_e {r\over R} </math> 

slik at i denne modellen øker tyngdeakselerasjonen proporsjonalt med avstanden fra sentrum hvor den er null. Mer nøyaktig kjennskap til Jordens indre vil gi et noe annet resultat.<ref name = TS> D. Turcotte and G. Schubert, ''Geodynamics'', Cambridge University Press, England (2002). ISBN 978-0-521-18623-0.</ref>

===Bidrag fra rotasjonen===
Tyngdeakselerasjonen på Jorden som skyldes dens masse, er en [[vektor (matematikk)|vektor]] '''g'''<sub>''N''&thinsp;</sub> som er rettet mot dens sentrum og en størrelse som er gitt ved Newtons gravitasjonslov, under antagelsen at massen er kuleformet. Men i tillegg kommer et bidrag '''g'''<sub>''s''&thinsp;</sub> som skyldes [[jordrotasjonen]] som skjer rundt en nord-syd akse med periode ''T'' = 24 timer. Dette bidraget tilsvarer [[sentrifugalkraft]]en i et [[roterende referansesystem]] og er rettet utover [[vinkelrett]] på denne aksen. Størrelsen er gitt som {{nowrap|''g<sub>s</sub>'' {{=}} ''&omega;''<sup>2</sup>''s''&thinsp;}} hvor {{nowrap|''&omega;'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''T''}} er [[vinkelfrekvens]]en og {{nowrap|''s'' {{=}} ''R''&thinsp;cos''&lambda;''}} er avstanden til aksen hvis stedet på jordoverflaten har [[breddegrad]] ''&lambda;''.<ref name = LL/> Den totale tyngdeakselerasjonen {{nowrap|'''g''' {{=}} '''g'''<sub>''N''&thinsp;</sub> + '''g'''<sub>''s''</sub>&thinsp;}} har da en komponent med størrelse

: <math> g_\lambda = {GM\over R^2} - \omega^2 R\cos^2\!\lambda </math>

rettet inn mot sentrum, mens den andre komponenten {{nowrap|''&omega;''<sup>2</sup>''R''&thinsp;cos''&lambda;''&thinsp;sin''&lambda;''&thinsp;}} er parallel til overflaten og peker mot [[ekvator]]. Den medfører at Jordens masse forskyves i denne retningen slik at den her vil bli litt videre og tilsvarende sammentrykt ved polene. Den får samme form som en [[rotasjonsellipsoide|oblat sfæroide]].

Det er den første komponenten som oppleves som tyngdeakselerasjon. Den har en variasjon med breddegraden som er bestemt av forholdet {{nowrap|''&omega;''<sup>2</sup>''R''<sup>&thinsp;3</sup>/''GM'' {{=}} 0.00346}} og gir resultatet

: <math> g_\lambda = (9.79 + 0.03\sin^2\!\lambda)\;\text{m}/\text{s}^2 </math>

Ved ekvator ''&lambda;'' = 0<sup>&deg;</sup> reduserer Jordens rotasjon derfor tyngdeakselerasjonen til {{nowrap|''g'' {{=}} 9.79&thinsp;m/s<sup>2</sup>.}} Mer nøyaktige verdier oppnås ved å ta hensyn til at den samme rotasjonen også vil gi et bidrag til det newtonske gravitasjonsfeltet som ikke lenger skyldes en kuleformet massefordeling.

==Jordens form==

Begge bidragene til tyngedeakselerasjon på Jorden kan kombineres og skrives som {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;}} hvor {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;(''r,&lambda;'')&thinsp;}} er det totale gravitasjonspotensialet som virker. Jordens overflate vil være en [[ekvipotensialflate]] gitt ved ligningen &Phi; = konstant. Den kan løses og gi {{nowrap|''r'' {{=}} ''r''(''&lambda;'')}} som beskriver formen til overflaten. Tyngdeakselerasjonen '''g''' vil da stå overalt vinkelrett på denne.

De to komponentene til sentrifugalakselerasjonen '''g'''<sub>''s''</sub> følger fra potensialet

: <math> \Phi_s = - {1\over 2}\omega^2r^2\cos^2\lambda </math>

og avtar når avstanden ''r'' øker. Det tilsvarer at den virker utover. Mer komplisert er det å finne det [[gravitasjonspotensial|newtonske gravitasjonspotensialet]] som ikke lenger kan antas å ha kulesymmetri. Men da avviket skyldes rotasjonen, vil det ha aksial symmetri.  Potensialet kan beregnes ved en [[multipolutvikling]] hvor de første leddene vil gi de nødvendige korreksjonene til Newtons gravitasjonslov. Når man videre antar at massefordelingen er symmetrisk om ekvatorialplanet, vil ikke dipolleddet bidra. Den viktigste korreksjonen kommer da fra [[multipolutvikling|kvadrupolleddet]]. Denne delen av gravitasjonspotensialet blir dermed

: <math> \Phi_N = - {GM\over r} + {GMa^2J_2\over 2r^3}(3\sin^2\lambda - 1) </math> 

hvor lengden ''a'' er definert som Jordens radius ved [[ekvator]] og ''J''<sub>2</sub> er en dimensjonsløs parameter som beskriver avviket fra en eksakt sfærisk symmetrisk massefordeling. Den kan uttrykkes ved [[treghetsmoment]]ene til Jorden som

: <math>  J_2 Ma^2 = C - A </math>

hvor  ''C'' er treghetsmomentet rundt rotasjonsaksen og ''A'' om en akse normalt på denne gjennom sentrum.

[[Fil:Afplatting.svg|thumb|300px|En flattrykt [[rotasjonsellipsoide]] med akser ''a'' og ''b''.]]
Formen til Jorden er nå bestemt ut fra kravet at det totale potensialet &Phi;(''r,&lambda;'') = &Phi;<sub>''N''</sub> + &Phi;<sub>''s''</sub> skal være konstant på overflaten. Mens ''a'' er radius ved ekvator, kan radius til en av polene kalles ''c''. Da må {{nowrap|&Phi;(''r {{=}} a'', ''&lambda;'' {{=}} 0<sup>&deg;</sup>)}} = {{nowrap|&Phi;(''r {{=}} c'', ''&lambda;'' {{=}} 90<sup>&deg;</sup>)}}. Det relative forholdet mellom disse to lengdene uttrykkes ved [[flattrykning]]en

: <math> f = 1 - {c\over a} </math>

som for Jorden er observert å være ''f'' = 3.35&times;10<sup>-3</sup> = 1/298. Formen til overflaten er en flattrykt [[rotasjonsellipsoide]] gitt ved ligningen

: <math> r = a (1 - f\sin^2\lambda) </math>

Denne ligger til grunn for «referanseellipsoiden» som brukes i [[World Geodetic System]].<ref name = TS/>

Kravet om konstant potensial på overflaten gir nå til laveste orden at

: <math> f = {3\over 2} J_2 + {1\over 2}m  </math> 

hvor forholdet {{nowrap|''m'' {{=}} ''&omega;''<sup>2</sup>''a''<sup>&thinsp;3</sup>/''GM''}} = 3.46&times;10<sup>-3</sup> . Da verdien til flattrykningen ''f'' er kjent, kan herav asymmetrien til massefordelingen ''J''<sub>2</sub> finnes.<ref name = TS/>

===Nøyaktigere tyngdeakselerasjon===

Tyngdeakselerasjonen som er gitt ved [[gradient]]en {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;}}, vil ha to komponenter hvorav den radielle - &part;&Phi;/&part;''r'' er dominerende. Den har en størrelse gitt ved

: <math> g = {GM\over r^2} - {3GMa^2J_2\over 2r^3}(3\sin^2\lambda - 1) - \omega^2r^2\cos^2\lambda </math>

Ved å benytte her ligningen {{nowrap|''r'' {{=}} ''r''(''&lambda;'')}} for rotasjonsellipsoiden, finner man formelen for tyngdeakselerasjonen. Til laveste orden i de små størrelsene ''f'', ''m'' og ''J''<sub>2</sub>  kan den skrives som

: <math> g(\lambda) = {GM\over a^2}\left(1 + {3\over 2}J_2 - m \right) \left[1 + \Big( 2m - {3\over 2}J_2\Big) \sin^2\lambda\right] </math>

Setter man inn de numeriske verdiene, gir den resultatet

: <math> g(\lambda) = (9.780 + 0.052\sin^2\!\lambda)\;\text{m}/\text{s}^2 </math>

Mens verdien ved ekvator er blitt redusert til 9.780&nbsp;m/s<sup>2</sup>, er den øket til 9.832&nbsp;m/s<sup>2</sup> ved polene. Det kan forstås ved at punkt langs ekvator er kommet litt lenger bort fra Jordens sentrum, mens polene er kommet tilsvarende nærmere. Enda nøyaktigere formler kan utledes ved å ta med høyere ordens ledd i denne beregningen.

===Konstant massetetthet===

Tyngdeakselerasjonen på hvert sted er avhengig av rotasjonshastigheten ''&omega;'' og massefordelingen til Jorden. Disse to størrelsene er generelt ikke uavhengig av hverandre. I det enkleste tilfellet kan man tenke seg at den har en konstant massetetthet ''&rho;''.  Med en bestemt form gitt ved ellipseaksene ''a'' og ''c'' = ''a''&thinsp;(1 - ''f''&thinsp;), er da dens masse gitt som

: <math> M = {4\over 3}\pi\rho a^2c </math>,

mens de to treghetsmomentene er

: <math> A = {4\over 15}\pi \rho a^2c(a^2 + c^2) \;   \;   \;  \text{og} \;   \;   \; C = {8\over 15}\pi \rho a^4c . </math>

Denne massefordelingen gir dermed asymmetriparameteren 

: <math> J_2 = {C - A\over Ma^2} = {1\over 5}\Big(1 - {c^2\over a^2}\Big) </math>

Siden flattrykningen ''f'' << 1, har man derfor at  ''J''<sub>2</sub> = 2''f''&thinsp;/5 som igjen betyr at  rotasjonsparameteren ''m'' =  4''f''&thinsp;/5. Dette stemmer ikke helt med de observerte verdiene, og man må konkludere at massetettheten i Jorden er mer komplisert.

==Referanser==
<references />

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Klassisk mekanikk]]
[[Kategori:Gravitasjon]]
[[Kategori:Akselerasjon]]