Redigerer Trigonometrisk funksjon

{{trigonometri}}
I [[matematikk]]en er '''trigonometriske funksjoner''' [[funksjon (matematikk)|funksjon]]er av en [[vinkel]]. De er viktige i [[trigonometri|studien]] av [[trekant]]er og modellering av [[periodisk funksjon|periodiske fenomener]], blant mange andre anvendelser. Trigonometriske funksjoner er vanligvis definert som [[forhold]] mellom to sider i en rettvinklet trekant der vinkelen inngår, og kan på samme måte defineres som lengder av forskjellige linjestykker i en [[enhetssirkel]]. Mer moderne definisjoner uttrykker dem som [[rekke (matematikk)|uendelige rekker]] eller som løsninger av bestemte [[differensialligning]]er, noe som utvider dem til å bruke positive og negative vinkelverdier, og til og med [[komplekst tall|komplekse tall]].

I moderne bruk er det seks grunnleggende trigonometriske funksjoner, som er nevnt her sammen med ligningene for hvordan de forholder seg til hverandre. Spesielt i tilfellet med de siste fire er disse forholdene ofte ansett som ''definisjonene'' av de funksjonene, men man kan like godt definere dem geometrisk eller på andre måter, og så utlede disse forholdene.

== Definisjoner i en rettvinklet trekant ==
[[Fil:Trigonometry triangle.svg|right|thumb|Trigonometriske funksjoner kan defineres ut fra en [[rettvinklet trekant]]]]
For å definere de trigonometriske funksjonene for vinkelen ''A'' starter vi med en vilkårlig [[rettvinklet trekant]] der vinkelen ''A'' inngår.

Vi bruker følgende navn for de tre sidene i trekanten:
* ''[[Hypotenus]]en'' er den motstående siden til den rette vinkelen, eller definert som den lengste siden i en rettvinklet trekant, i dette tilfellet '''h'''.
* ''Motstående [[katet]]'' er den motstående siden til vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet '''a'''.
* ''Hosliggende katet'' er siden som er i kontakt med vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet '''b'''.

De trigonometriske funksjonene er oppsummert i tabellen under. Deretter kommer beskrivelser i detalj. Vinkelen ''&theta;'' er den samme som vinkel ''A'' på figuren.
{| class=wikitable style="margin-left:1em"
! style="text-align:left" | '''Funksjon'''
! style="text-align:left" | '''Forkortelse'''
! style="text-align:left" | '''[[Liste over trigonometriske identiteter|Identiteter]] (i [[radian]]er)'''
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Sinus'''
| sin
| <math>\sin \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}\,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cosinus'''
| cos
| <math>\cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Tangens'''
| tan<br />(eller tg)
| <math>\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\cot \theta} \,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cotangens'''
| cot<br />(eller ctg, cotg eller ctn)
| <math>\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\tan \theta} \,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Secans'''
| sec
| <math>\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta} \,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''Cosecans'''
| csc<br />(eller cosec)
| <math>\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta} \,</math>
|}

=== Sinus, cosinus og tangens ===
'''Sinus''' til en vinkel er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen. I vårt tilfelle
:<math>\sin A = \frac {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} {\textrm{hypotenus}} = \frac {a} {h}\,.</math>

'''Cosinus''' til en vinkel er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. I vårt tilfelle
:<math>\cos A = \frac {\textrm{hosliggende}} {\textrm{hypotenus}} = \frac {b} {h}\,.</math>

'''Tangens''' til en vinkel er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet. I vårt tilfelle
:<math>\tan A = \frac {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} {\textrm{hosliggende}} = \frac {a} {b}\,.</math>

=== Resiproke funksjoner ===
De tre gjenstående funksjonene defineres best ut fra de tre funksjonene over.

'''Cotangens''' cot ''A''  er det [[inverst tall|inverse tallet]] til tan ''A'', dvs. forholdet mellom hosliggende katet og motstående katet:
:<math>\cot A = \frac {\textrm{hosliggende}} {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} = \frac {b} {a}\,. </math>

'''Secans''' sec ''A''  er det inverse tallet til cos ''A'', dvs. forholdet mellom hypotenusen og hosliggende katet:
:<math>\sec A = \frac {\textrm{hypotenus}} {\textrm{hosliggende}} = \frac {h} {b}\,. </math>

'''Cosecans''' csc ''A''  er det inverse tallet til sin ''A'', dvs. forholdet mellom hypotenusen og motstående katet:
:<math>\csc A = \frac {\textrm{hypotenus}} {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} = \frac {h} {a}\,. </math>

== Definisjoner i enhetssirkelen ==
[[Fil:Ciclo.png|right|thumb|240px|[[Enhetssirkel]]en]]
De trigonometriske funksjonene kan også defineres ut fra en [[enhetssirkel]], en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Etter en slik definisjon kan alle [[reelt tall|reelle tall]] brukes som argumenter.

Vi tenker oss en vinkel med toppunkt i origo, og det ene vinkelbeinet langs ''x''-aksen. Der det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen får vi et punkt vi kaller vinkelpunktet. Cosinus til vinkelen er definert som ''x''-koordinaten til vinkelpunktet og sinus som ''y''-koordinaten. De andre funksjonene defineres ut fra sinus og cosinus som nevnt ovenfor.

For vinkler større enn <math>2\pi</math> eller mindre enn <math>-2\pi</math>, fortsetter man bare rundt sirkelen. På denne måten blir sinus og cosinus [[periodisk funksjon|periodiske funksjoner]] med periode <math>2\pi</math>:

:<math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)\,,</math>
:<math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)\,,</math>

for alle vinkler ''θ'' og alle [[heltall]] ''k''.

[[Fil:Circle-trig6.svg|right|thumb|300px|Alle de trigonometriske funksjonene til vinkelen ''θ'' kan konstrueres geometrisk ut fra en enhetssirkel]]
Alternativt kan alle de trigonometriske funksjonene defineres ut fra en enhetssirkel som vist i bildet til høyre, og tilsvarende geometriske definisjoner ble brukt i historien. For en [[korde]] ''AB'', der ''θ'' er halvparten av den utspente vinkelen, er sin&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;''AC'' (halve korden). cos&nbsp;''θ'' er den vannrette avstanden ''OC'', og versin&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;cos&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;''CD''. tan&nbsp;''θ'' er lengden av linjestykket ''AE'' som er tangenten gjennom ''A'', derfor ordet ''tangens''. cot&nbsp;''θ'' er linjestykket ''AF''. sec&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;''OE'' og csc&nbsp;''θ''&nbsp;=&nbsp;''OF'' er [[sekant]]linjene. ''DE'' er exsec&nbsp;''θ''&nbsp;= sec&nbsp;''θ''&nbsp;−&nbsp;1 (delen av sekanten som er utenfor, eller ''ex'', sirkelen).

== Rekkedefinisjoner ==
[[Fil:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|Sinusfunksjonen (blå) er godt tilnærmet ved [[taylorpolynom]]et av 7. grad (rosa) for et helt omløp]]

Ved å bruke bare geometri og [[grenseverdi]]er kan det vises at den [[derivasjon|deriverte]] av sin&nbsp;''x'' er cos&nbsp;''x'' og at den deriverte av cos&nbsp;''x'' er −sin&nbsp;''x''. (Her, og generelt i [[matematisk analyse]] / (differensialregning), er alle vinkler målt i [[radian]]er.) Man kan så bruke teorien for [[taylorrekke]]r for å vise at følgende identiteter holder for alle [[reelt tall|reelle tall]] ''x'':<ref>Se Ahlfors, sidene 43&ndash;44.</ref>

:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\  \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
= \sum_{\text{odd }m \ge 1} (-1)^{(m-1)/2} \frac{x^m}{m!}, \\  \\
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\  \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}
= \sum_{\text{even }m \ge 0} (-1)^{m/2} \frac{x^m}{m!}, \\  \\
\tan x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}\,,
\end{align}
</math>

der
: ''B''<sub>''n''</sub> er det ''n''-te [[Bernoulli-tall]]et
<!-- ''Det hadde vært fint om noen kunne skrive hvordan de uendelige rekkene utledes.'' -->

== Identiteter ==
<!-- {{utdypende|Liste over trigonometriske identiteter}} -->
Det finnes mange identiteter som gjelder mellom de trigonometriske funksjonene. Blant de oftest brukte er '''enhetssetningen,''' som sier at for alle vinkler, er kvadratet av sinus pluss kvadratet av cosinus alltid lik 1. Dette kan ses ved å lage en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1 og bruke [[Pythagoras’ læresetning]]. Enhetssetningen er slik:

:<math>\left(\sin x\right)^2 + \left(\cos x\right)^2 = 1\,,</math>
som vanligvis skrives slik, uten parenteser:
:<math>\sin^2 x  + \cos^2 x  = 1\,.</math>


Dersom en dividerer med <math>\cos^2 x\,</math> på begge sider av likhetstegnet får en:
:<math>\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\,.</math>
Dersom en dividerer med <math>\sin^2 x\,</math> på begge sider av likhetstegnet får en:
:<math>\cot^2 x + 1 = \csc^2 x\,.</math>


Andre viktige forhold er formlene for sinus og cosinus av summen og differansen mellom to vinkler.
{{col-start}}
{{col-2}}
:<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\,,</math>
:<math>\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y\,,</math>
{{col-2}}
:<math>\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y\,,</math>
:<math>\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y\,.</math>
{{col-end}}

=== Matematisk analyse ===
For [[integral]]er og [[derivasjon|deriverte]] av trigonometriske funksjoner, se de relevante avsnittene i [[tabell over deriverte]], [[tabell over integraler]] og [[liste over integraler av trigonometriske funksjoner]]. Under er listen over deriverte og integraler til de seks grunnleggende trigonometriske funksjonene.

:{| class="wikitable"
|-
| <math>\ \ \ \ f(x)</math>
| <math>\ \ \ \ f'(x)</math>
| <math>\int f(x)\,dx</math>
|-
| <math>\,\ \sin x</math>
| <math>\,\ \cos x</math>
| <math>\,\ -\cos x + C</math>
|-
| <math>\,\ \cos x</math>
| <math>\,\ -\sin x</math>
| <math>\,\ \sin x + C</math>
|-
| <math>\,\ \tan x</math>
| <math>\,\ \sec^{2} x = 1+\tan^{2} x</math>
| <math>-\ln \left |\cos x\right | + C = \ln \left |\sec x\right | + C</math>
|-
| <math>\,\ \cot x</math>
| <math>\,\ -\csc^{2} x = -1-\cot^{2} x</math>
| <math>\ln \left |\sin x\right | + C</math>
|-
| <math>\,\ \sec x</math>
| <math>\,\ \sec{x}\tan{x}</math>
| <math>\ln \left |\sec x + \tan x\right | + C</math>
|-
| <math>\,\ \csc x</math>
| <math>\,\ -\csc{x}\cot{x}</math>
| <math>-\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C</math>
|}

== Utregning ==

Utregningen av trigonometriske funksjoner er et komplisert emne som i dag kan unngås av de fleste, pga. raske [[datamaskin]]er og [[vitenskapelig kalkulator|vitenskapelige kalkulatorer]]. 

I dette avsnittet beskriver vi imidlertid flere detaljer om utregningen i tre viktige sammenhenger: historisk bruk av trigonometriske tabeller, de moderne teknikkene som brukes av datamaskiner, og eksakte verdier for noen bestemte vinkler.

<!-- {{utdypende|Utregning av trigonometriske tabeller}} -->
Før datamaskinene brukte man tabeller trykt i oppslagsbøker og fant mellomliggende verdier ved [[interpolasjon]]. Slike tabeller har vært tilgjengelige så lenge som trigonometriske funksjoner har vært beskrevet (se [[#Historie|Historie]] nedenfor), og ble vanligvis utregnet ved gjentatt bruk av formlene for halve vinkler og summen av vinkler (se [[Trigonometriske identiteter]]) ved å gå ut fra en kjent verdi (slik som <math>\sin(\pi/2) = 1</math>).

<!-- {{utdypende|Eksakte trigonometriske konstanter}} -->
For noen enkle vinkler kan verdiene utregnes for hånd ved hjelp av [[Pythagoras’ læresetning]], som i de følgende eksemplene. Eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens for alle multipler av <math>\pi / 60</math> [[radian]]er (3°) kan faktisk finnes [[Eksakte trigonometriske konstanter|for hånd]].

Vi tenker oss en rettvinklet trekant der de to andre vinklene er <math>\pi / 4</math> radianer (45°). Sidene ''b'' og ''a'' er like; vi kan velge <math>a = b = 1</math>. Verdiene av sinus, cosinus og tangens til <math>\pi / 4</math> radianer (45°) kan da finnes ved hjelp av Pythagoras’ læresetning:

:<math>c = \sqrt { a^2+b^2 } = \sqrt2\,.</math>

Derfor:

:<math>\sin \left(\pi / 4 \right) = \sin \left(45^\circ\right) = \cos \left(\pi / 4 \right) = \cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}\,</math>,
:<math>\tan \left(\pi / 4 \right) = \tan \left(45^\circ\right) = {{\sin \left(\pi / 4 \right)}\over{\cos \left(\pi / 4 \right)}} = {1 \over \sqrt2} \cdot {\sqrt2 \over 1} = {\sqrt2 \over \sqrt2} = 1\,.</math>

For å bestemme trigonomentriske funksjoner for vinkler på π/3 radianer (60°) og π/6 radianer (30°) starter vi med en likesidet trekant med sidelengde 1. Alle vinkler er π/3 radianer (60 grader). Ved å dele den i to får vi en rettvinklet trekant med vinkler på π/6 radianer (30°) og π/3 radianer (60°). Den korteste siden = 1/2, den nest lengste = (√3)/2 og hypotenusen = 1. Dette gir:

:<math>\sin \left(\pi / 6 \right) = \sin \left(30^\circ\right) = \cos \left(\pi / 3 \right) = \cos \left(60^\circ\right) = {1 \over 2}\,,</math>
:<math>\cos \left(\pi / 6 \right) = \cos \left(30^\circ\right) = \sin \left(\pi / 3 \right) = \sin \left(60^\circ\right) = {\sqrt3 \over 2}\,,</math>
:<math>\tan \left(\pi / 6 \right) = \tan \left(30^\circ\right) = \cot \left(\pi / 3 \right) = \cot \left(60^\circ\right) = {1 \over \sqrt3}\,.</math>
<!-- Vennligst ikke utvid dette avsnittet ved å legge til flere og flere formler for forskjellige vinkler, eller flere formler for de samme vinklene vi har en hel artikkel om [[Eksakte trigonometriske konstanter]], lenket til ovenfor. Utvid heller den. -->

De eksakte verdiene av sinus for vinklene 0°, 30°, 45°, 60° og 90° kan lett huskes som <math>\tfrac{1}{2}\sqrt{0},\tfrac{1}{2}\sqrt{1},\tfrac{1}{2}\sqrt{2},\tfrac{1}{2}\sqrt{3},\tfrac{1}{2}\sqrt{4}</math>. Den tilsvarende rekken for cosinus er rekken for sinus baklengs, og tangens er som nevnt sinus delt på cosinus.

Vanlige datamaskin-[[CPU]]er fra rundt 2000-2005 beregner oftest vha innebygde funksjoner basert på CORDIC-algoritmen (også kjent som Volders algoritme) i kombinasjon med relativt små innebygde oppslagstabeller. Resultatet blir en avansert interpolasjon mellom to tabellverdier med en ekstra desimal pr iterasjon. En <math>cos</math>-beregning kan slik gjøres på rundt 200 CPU-klokkeslag. På vanlige 2GHz CPU-kjerner tilsvarer det ca ti millioner <math>cos</math>-beregninger pr sekund. Hvis man senker kravet til antall desimalers nøyaktighet og setter av mer minne til oppslagstabeller kan beregningene gjøres raskere.

== Inverse funksjoner ==
<!-- {{utdypende|Inverse trigonometriske funksjoner}} -->
De trigonometriske funksjonene er periodiske, og derfor ikke [[injektiv]]e, så de har strengt tatt ikke en [[invers funksjon]]. For å definere en invers funksjon må vi begrense definisjonsmengden så den trigonometriske funksjonen blir [[bijeksjon|bijektiv]]. I det følgende er funksjonene til venstre ''definert'' ved ligningen til høyre; disse er ikke beviste identiteter. De viktigste inverse funksjonene er vanligvis definert som:

: <math> \begin{matrix}

 \mbox{for} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsin x & \mbox{hvis} & x = \sin y \,;\\ \\
 \mbox{for} & 0 \le y \le \pi,
 & y = \arccos x & \mbox{hvis} & x = \cos y \,;\\ \\
 \mbox{for} & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2},
 & y = \arctan x & \mbox{hvis} & x = \tan y \,;\\ \\
 \mbox{for} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0,
 & y = \arccsc x & \mbox{hvis} & x = \csc y \,;\\ \\
 \mbox{for} & 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsec x & \mbox{hvis} & x = \sec y \,;\\ \\
 \mbox{for} & 0 < y < \pi,
 & y = \arccot x & \mbox{hvis} & x = \cot y \,.

\end{matrix} </math>

For inverse trigonometriske funksjoner blir skrivemåtene sin<sup>−1</sup> og cos<sup>−1</sup> ofte brukt for arcsin, arccos osv.

Akkurat som sinus og cosinus, kan de inverse trigonometriske funksjonene også defineres som uendelige rekker. For eksempel,
:<math>
\arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\,.</math>
Disse funksjonene kan også defineres ved å bevise at de er antideriverte av andre funksjoner. Funksjonen arcsin kan for eksempel skrives som følgende integral:
:<math>
\arcsin z =
\int_0^z \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\,dx, \quad |z| < 1\,.
</math>
Analoge formler for andre funksjoner kan finnes på [[Inverse trigonometriske funksjoner]]. Ved å bruke den [[kompleks logaritme|komplekse logaritme]]n kan man generalisere alle disse funksjonene til komplekse argumenter:
:<math>
\arcsin z = -i \log \left( i z + \sqrt{1 - z^2} \right)\,,
</math>
:<math>
\arccos z = -i \log \left( z + \sqrt{z^2 - 1}\right)\,,
</math>
:<math>
\arctan z = \frac{i}{2} \log\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)\,.
</math>
<!-- (merk: disse bør sannsynligvis presenteres som bestemte integraler, som fjerner tvetydigheten av konstanten) -->

== Egenskaper og anvendelser ==
<!-- {{utdypende|Anvendelser av trigonometri}} -->

=== Sinussetningen ===
'''[[Sinussetningen]]''' sier at for en vilkårlig [[trekant]] med sider ''a'', ''b'' og ''c'' og vinkler ''A'', ''B'' og ''C'' der ''a'' er motstående til ''A'' osv.:

:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,,</math>

eller, på samme måte,

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\,,</math>

der ''R'' er radius til trekantens [[omskrevet sirkel|omskrevne sirkel]]

Den kan bevises ved å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter og bruke definisjonen av sinus.

=== Cosinussetningen ===
'''[[Cosinussetningen]]''' er en utvidelse av [[Pythagoras’ læresetning]]:

:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \,,</math>
også kjent som
:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,.</math>

I denne formelen er vinkel ''C'' motstående til side ''c''. Denne setningen kan bevises ved å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter og bruke Pythagoras’ læresetning.

For å bruke cosinussetningen må vi kjenne tre opplysninger (vinkler/sidelengder) om trekanten, deriblant minst én side.

=== Andre nyttige egenskaper ===
'''[[Tangenssetningen]]''' finnes også:

:<math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}\,.</math>

=== Periodiske funksjoner ===
[[Fil:Synthesis square.gif|thumb|350px|right|Animasjon av kunstig fremstilling av en [[firkantbølge]] med økende antall harmoniske bølger]]
Trigonometriske funksjoner er nyttige i studien av generelle [[periodisk funksjon|periodiske funksjoner]]. Disse funksjonene har karakteristiske bølgeformer som grafer, og er nyttige for å modellere gjentagende fenomener slik som lyd eller lys[[bølge]]r. Hvert signal kan skrives som en (vanligvis uendelig) sum av sinus- og cosinusfunksjoner av forskjellige frekvenser; dette er den grunnleggende ideen i [[fourieranalyse]]. [[Firkantbølge]]n kan for eksempel skrives som [[Fourier-rekke]]n

:<math> x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)}.</math>

I animasjonen til høyre fremgår det at bare noen få ledd allerede lager en ganske god tilnærming.

== Historie ==
<!-- {{utdypende|De trigonometriske funksjonenes historie}} -->

[[Korde]]funksjonen ble oppdaget av [[Hipparkhos]] fra [[Iznik|Nikea]] (180–125 f.Kr.) og [[Klaudios Ptolemaios|Ptolemaios]] fra [[Egypt]] (90–165 e.Kr.). Sinus- og cosinusfunksjonene ble oppdaget av [[Aryabhata]] (476–550) og studert av [[Varahamihira]] og [[Brahmagupta]]. Tangensfunksjonen ble oppdaget av {{Unicode|[[Al-Khwârizmî|Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]]}} (780–850), og secans-, cotangens- og cosecansfunksjonene ble oppdaget av [[Abū al-Wafā’ al-Būzjānī]] (940–998). Alle de seks trigonometriske funksjonene ble så studert av [[Omar Khayyám]], [[Bhaskara]], [[Nasir al-Din al-Tusi]], [[Ghiyath al-Kashi]] (14. århundre), [[Ulugh Beg]] (14. århundre), [[Regiomontanus]] (1464), [[Georg Joachim Rheticus|Rheticus]] og Rheticus’ student [[Valentin Otho]].{{tr}}

[[Madhava fra Sangamagramma]] (ca. 1400) gjorde tidlig arbeid i [[matematisk analyse|analyse]]n av trigonometriske funksjoner som [[rekke (matematikk)|uendelige rekker]].<ref name=mact-biog>{{Kilde www
 |url            = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
 |tittel         = Madhava of Sangamagrama
 |besøksdato    = 2007-09-08
 |forfatter      = J J O’Connor and E F Robertson
 |utgivelsesdato = 
 |utgiver        = School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
 |url-status    = død 
 |arkivurl       = https://web.archive.org/web/20060514012903/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
 |arkivdato      = 2006-05-14
}}
</ref> [[Leonhard Euler]]s ''Introductio in analysin infinitorum'' (1748) hadde stor betydning for at analytisk behandling of trigonometriske funksjoner i Europa ble påbegynt, og han definerte dem også som uendelige rekker og presenterte [[Eulers formel]] i tillegg til de nesten-moderne forkortelsene ''sin., cos., tang., cot., sec.,'' og ''cosec.''<ref name=boyer>Se Boyer (1991).</ref>

[[Etymologi]]sk sett stammer ordet ''sinus'' fra ordet ''jya-ardha'' ([[sanskrit]]), som betyr «halvkorde», forkortet til ''jiva''. Dette ble [[translitterasjon|translitterert]] i [[arabisk]] som ''jiba'', skrevet ''jb'', i det vokaler ikke ble skrevet på arabisk. Så ble denne translitterasjonen feiloversatt i det 12. århundre til [[latin]] som  ''sinus'', ved at ''jb'' ble antatt å stå for ordet ''jaib'', som betyr «bukt» eller «fold» på arabisk, som også ''sinus'' gjør på Latin.<ref>Se Maor (1998), kapittel 3, angående etymologien.</ref> Ordet ''tangens'' er latin og betyr «berørende», siden linjen «berører» enhetssirkelen, mens ''secant'' kommer fra ''secans'' &ndash; «kuttende» &ndash; siden linjen ''kutter'' sirkelen.

De moderne navnene på funksjonene tangens og secans ble innført av den danske matematikeren [[Thomas Fincke]] i hans ''Geometriæ rotundi'' ([[1583]]).

== Se også ==
* [[Utregning av trigonometriske tabeller]]
* [[Hyperbolsk funksjon]]
* [[Pythagoras’ læresetning]]
* [[Enhetsvektor]]
* [[Liste over trigonometriske identiteter]]
* [[Beviser for trigonometriske identiteter]]
* [[Eulers formel]]

== Referanser ==
<references/>

==Litteratur==

*Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]'', Dover, New York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
*[[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable'', second edition, [[McGraw-Hill Book Company]], New York, 1966.
*[[Carl Benjamin Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
*Joseph, George G., ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', 2nd ed. [[Penguin Books]], London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
* Kantabutra, Vitit, ”On hardware for computing exponential and trigonometric functions,” ''IEEE Trans. Computers'' '''45''' (3), 328–339 (1996).
*Maor, Eli, ''[https://web.archive.org/web/20040404234808/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights]'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
*Needham, Tristan, [https://web.archive.org/web/20040602145226/http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf ”Preface”] to ''[http://www.usfca.edu/vca/ Visual Complex Analysis]''. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
*O’Connor, J.J., and E.F. Robertson, [https://web.archive.org/web/20130120084848/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html ”Trigonometric functions”], ''[[MacTutor History of Mathematics Archive]]''. (1996).
*O’Connor, J.J., and E.F. Robertson, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html ”Madhava of Sangamagramma”] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html |date=20060226001644 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics Archive]]''. (2000).
*Pearce, Ian G., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html ”Madhava of Sangamagramma”] {{Wayback|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |date=20060505201342 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics Archive]]''. (2002).
*Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html ”Tangent”] from ''[[MathWorld]]'', accessed 21 January 2006.

== Eksterne lenker ==
* [http://www.visionlearning.com/library/module_viewer.php?mid=131&l=&c3= Visionlearning Module on Wave Mathematics]
* [https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's draggable diagram.] (Requires java browser plugin)
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Trigonometriske funksjoner| ]]