Redigerer Trekant

:''For TV-programmet på NRK, se [[Trekant (TV-program)]]. For kjærlighets-/sexforholdet som involverer tre personer, se [[Ménage à trois]].''
[[Fil:Rettvinklet_trekant.png|thumb|En rettvinklet trekant med [[hypotenus]] og to [[katet]]er.]]
En '''trekant''' er et [[polygon]] med tre sidekanter og tre hjørner, en [[geometri]]sk figur sammensatt av tre [[linjestykke]]r.  I [[euklidsk geometri]] er dette den enkleste form for polygon.   I [[matematikk]] kan en trekant også omtales som en '''trigon'''.<ref name=BB1/>  Ordet '''triangel''' kan også brukes for å omtale en trekant.<ref name=OB1/>   En trekant med hjørner ''A'', ''B'' og ''C'' kan skrives som <math>\triangle ABC</math>. 

Trekantgeometri har vært studert siden matematikkens oldtid, ofte knyttet til [[landmåling]] og [[astronomi]].  Det eksisterer en stor og rik teori knyttet til trekanter, både på grunnleggende nivå og i høyere matematikk. Studiet av trekanter inngår som en viktig del av [[Matematikk i norsk skole|matematikkundervisningen]] i skolen.  [[Trigonometri]] er en gren av matematikk der en studerer forhold mellom sider og vinkler i en trekant.  

Trekanter kan klassifiseres etter egenskaper til sidekantene og etter egenskaper til [[vinkel|vinklene]].  I [[euklidsk geometri]] er summen av de indre vinklene i en trekant alltid 180&deg; eller &pi; [[radian]]er.  I [[ikke-euklidsk geometri]] kan vinkelsummen være både større og mindre enn 180 grader.  For eksempel, i [[sfærisk geometri]] på en [[kule (geometri)|kuleflate]] vil en trekant være begrenset av tre [[storsirkel|storsirkler]] hvor summen av de indre vinklene er større enn 180&deg;. Dette kalles en [[sfærisk trekant]].

Mange ulike geometriske former kan deles opp i et endelig antall trekanter, i en såkalt [[tesselering]].  Dette gjør trekanter anvendelig til mange typer beregninger og i [[datagrafikk]]. En oppdeling av et område på en [[flate]] i trekanter kalles ''triangulering'' som tilsvarer [[triangulering]] i landmåling.

Mens ordet «trekant» vektlegger antall sider i figuren, så uttrykker «trigon» og «triangel» at figuren har tre vinkler.  «Trigon» er en sammensetning av gresk «tri» = ''tre'' og «gonia» = ''vinkel''.  «Triangel» er en tilsvarende latinsk sammensetning av «tri» og «angulus».<ref name=SS1/>  Også adjektivet «trilateral» kan referere til en figur med tre sider. 

== Trekantbeskrivelse ==
[[File:Triangle.Centroid.svg|thumb|Medianene skjærer hverandre i tyngdepunktet]]
[[File:Triangle.Orthocenter.svg|thumb|Normalene skjærer hverandre i ortosenteret]]
Dersom en trekant er tegnet med en av sidene vannrett, så kan denne siden kalles ''grunnlinjen''.   Generelt kan grunnlinjen være en vilkårlig sidekant.  ''Høyden'' i trekanten er avstanden fra grunnlinjen til det motstående hjørnet, det vil si lengden av [[normal (geometri)|normalen]] fra hjørnet og ned på grunnlinjen.  

Linjestykket fra et hjørne og til midtpunktet av den motstående siden kalles en ''median''.  En normal gjennom midtpunktet på en side kalles en ''midtnormal''.  De tre medianene skjærer hverandre i et felles punkt, det såkalte [[massesentrum|tyngdepunktet]].  Trekanten kan balansere på en nål i dette punktet.  Tyngdepunktet i en trekant kan finnes fra [[Cevas setning]].

Normalene fra hjørnene ned til motstående sidekant møtes i det såkalte ''ortosenteret''.  Generelt kalles et linjestykke fra et hjørne i en trekant ned på den motstående siden for en ''cevian'', oppkalt etter den italienske ingeniøren [[Giovanni Ceva]].  

[[Omkrets]]en av trekanten er lik summen av de tre sidelengdene, og halvparten av omkretsen kalles ''semiperimeteren''.  Summen av to sidelengder i en trekant er alltid større enn lengden av den tredje siden, et utsagn kjent som [[trekantulikheten]].  

En ''indre vinkel'' i trekanten er en [[vinkel]] mellom to sidekanter, målt inne i trekanten.  Ofte omtales de indre vinklene bare som «vinklene i trekanten».  [[Nabovinkler|Nabovinkelen]] til en indre vinkel kalles en ytre vinkel.  I en trekant ''ABC'' betegnes den indre vinkelen med toppunkt i hjørnet ''A'' ofte som  <math>\angle A</math>.  Denne vinkelen er den ''motstående'' vinkelen til sidekanten ''BC''.

En trekant er entydig bestemt dersom 

* Alle tre sidene er kjent
* To sider og den mellomliggende vinkelen er kjent
* Én side og de to hosstående vinklene er kjent
* En grunnlinje, den tilhørende høyden, og en vinkel er kjent.

==Klassifikasjon av trekanter==

=== Etter egenskaper til sidekantene ===

* I en [[likesidet trekant]] er alle sidene like lange og alle vinklene 60&deg;.  En slik trekant kalles også ''regulær''.

* I en [[likebeint trekant]] er to av sidene like lange. Den tredje siden kalles gjerne ''grunnlinjen''. De to vinklene mellom de like lange sidene og grunnlinjen vil være like store.

* I en ''heltallstrekant'' er alle sidelengdene [[heltall]].  

* I en [[heronsk trekant]] er både sidelengdene og arealet heltall, eller mer generelt [[rasjonalt tall|rasjonale tall]].<ref name=MW3/>

=== Etter egenskaper til vinklene ===

* I en [[rettvinklet trekant]] er den ene vinkelen 90&deg;. Siden som er motstående til den rette vinkelen kalles [[hypotenus]]en og de to andre kalles [[katet]]er.  Ved hjelp av en rettvinklet trekant kan man definere [[trigonometriske funksjoner]]. 

* I en ''spiss'' eller ''spissvinklet'' trekant er all vinklene mindre enn 90&deg;. 

* I en ''stump'' eller ''stumpvinklet'' trekant er en av vinklene større enn 90&deg;. 

<gallery>
Fil:Equilateral Triangle.svg|Likesidet trekant
Fil:Isosceles-triangle.svg|Likebeint trekant
Fil:Triangle.Right.svg|Rettvinklet trekant
Fil:Triangle.Obtuse.svg|Stumpvinklet trekant
Fil:Triangle.Acute.svg|Spissvinklet trekant
</gallery>

==Pytagoras' læresetning==
:''Utdypende artikkel:'' [[Pytagoras’ læresetning]] 

[[Fil:Pythagorean.svg|thumb|Geometri for Pytagoras' læresetning]]
I euklidsk geometri gir Pytagoras’ læresetning en sammenheng mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant. La ''a'' og ''b'' være lengden av de to katetene, og la ''c'' være lengden av hypotenusen.  Da er

:<math>c^2 = a^2 + b^2.</math>

Med ord kan dette uttrykkes som at «''i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen''». Læresetningen er oppkalt etter den greske matematikeren [[Pytagoras]], selv om formelen var kjent før hans tid. Det kan ikke verifiseres at Pytagoras kjente til bevis for setningen.<ref name=CBB1/>

Dersom sidelengdene i en trekant oppfyller Pytagoras’ læresetning, så gjelder det også at trekanten er rettvinklet.

Et pytagoreisk trippel er et sett av tre positive heltall (''a'',''b'',''c'') som oppfyller Pytagoras’ læresetning.  En rettvinklet trekant der sidelengdene er heltall kalles en ''pytagoreisk trekant''.<ref name=MW1/>

;Eksempler:

* I en rettvinklet trekant med vinkler 30 og 60 grader vil lengden av hypotenusen være dobbelt så lang som den korteste kateten.  Den lengste kateten er lik kvadratroten av 3 ganger den korteste:

::<math>
\begin{alignat}{2}
c &= 2a \\
b &= a \sqrt{3}.
\end{alignat}
</math>

* (3,4,5) er en pytagoreisk trippel, og en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 vil være rettvinklet.

== Sidelengder og vinkler ==
Det eksisterer en rekke måter for å regne ut sidelengder og vinkler i en trekant.  Enklest er det i rettvinklede trekanter.  Forhold mellom sidelengder og vinkler danner grunnlaget for definisjon av trigonometriske funksjoner.

=== Trigonometri i en rettvinklet trekant ===
[[Fil:Rtriangle2.svg|right|miniatyr|150px|Rettvinklet trekant med hypotenusen ''c'' og katetene ''a'' og ''b''.]]
Trigonometriske funksjoner definerer forholdet mellom sidelengder i en rettvinklet trekant.  For vinkelen ''A'' gjelder følgende definisjoner:

*[[Sinussetningen|Sinus]] til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen.
::<math>\sin A = \frac{a}{c}</math>

*[[Cosinus]] til en vinkel er lik forholdet mellom den hosliggende kateten og hypotenusen.
::<math>\cos A = \frac{b}{c}</math>

*[[Tangens]] til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og den hosliggende kateten. 
::<math>\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}</math>

=== Sinussetningen ===
[[File:Triangle with notations 2.svg|thumb|En trekant med sidelengder ''a'', ''b'' og ''c'', og med vinkler α, β og γ]]
[[Sinussetningen]] er en viktig sammenheng mellom sidelengder og vinkler i en vilkårlig trekant:

:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.</math>

Størrelsene som inngår er definert på figuren til høyre.  Forholdet som inngår i sinussetningen er lik lengden av [[diameter]]en i den omskrevne sirkelen til trekanten.   

=== Cosinussetningen ===
Pytagoras’ læresetning kan generaliseres til å gjelde trekanter som ikke er rettvinklete, men man trenger da å vite vinkelen γ mellom sidene ''a'' og ''b'':

:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma</math>

Denne utvidete formen kalles for [[cosinussetningen]] eller ''den utvidede pytagoreiske læresetning''.
For rettvinklede trekanter er γ = 90&deg; og ''cos''&nbsp;90&deg; = 0, og cosinussetningen er lik 
Pytagoras’ læresetning.

=== Tangenssetningen ===
Den såkalte [[tangenssetningen]] kan bevises fra sinussetningen og [[Liste over trigonometriske identiteter|trigonometriske identiteter]]:

:<math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.</math>

[[Fil:Apollonius%27_theorem.svg|thumb|right|Geometri for Apollonios' teorem]]

=== Halveringslinjesetningen ===
Halveringslinjesetningen sier at i en trekant ''ABC'' vil en linje gjennom ''C'' dele sidekanten ''AB'' i et forhold lik ''AC''/''BC'' hvis og bare hvis linjen halverer vinkelen ''C''.<ref name=KR1/>

=== Apollonios' teorem ===
Apollonios' teorem gir en sammenheng mellom sidelengdene og en median ''AD'' i en vilkårlig trekant ''ABC'':

:<math>AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2)\,</math>

Teoremet har fått navnet fra den greske matematikeren [[Apollonios fra Perge|Apollonios]].  For en likebeint trekant reduserer teoremet seg til Pytagoras' læresetning.  Appolonios' teorem er et spesialtilfelle av det såkalte Stewarts teorem, som gir en sammenheng mellom sidelengdene og en cevian.

== Kongruente trekanter ==
To trekanter er [[kongruens (geometri)|kongruente]] dersom de har eksakt samme form og størrelse. De kan imidlertid ha ulik beliggenhet og orientering.  I to kongruente trekanter er sidevinklene parvis like store, og sidekantene er parvis like lange.  

To trekanter er kongruente dersom minst ett av de følgende vilkårene er oppfylt:

* To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som den samsvarende siden i den andre
* To av sidene er parvis like lange, og vinklene mellom de to sidene er like store 
* Alle tre sider i trekantene er parvis like lange. 

== Formlike trekanter ==
To trekanter er ''similære'' eller ''formlike'' dersom de har samme form, men muligens ulik størrelse.  I to similære trekanter er alle vinklene parvis like store.   To trekanter er formlike hvis minst ett av de følgende vilkårene er oppfylt:<ref name=KR2/>

* Trekantene har parvis like vinkler
* Trekanten har én lik vinkel, og de tilstøtende sidekantene er proporsjonale
* Sidekantene i de to trekantene er parvis proporsjonale
* Forholdet mellom lengdene i de to trekantene er det samme.

==Arealet av en trekant==
[[Areal]]et ''A'' av en trekant kan beregnes på en rekke forskjellige måter. En vanlig framgangsmåte er å bruke arealsetningen, den geometriske formelen

:<math>A = \frac{1}{2}gh, </math>

der ''g'' er lengden av grunnlinjen, og ''h'' er høyden.  Dette uttrykkes ofte som at arealet av en trekant er lik halve grunnlinjen ganger høyden.   

Arealet er altså halve arealet av [[parallellogram]]met man får om man kopierer trekanten, og speiler kopien om en av de to sidene som ikke er grunnlinjen.

Et ''kongruent tall'' er et tall som kan opptre som arealet i en rettvinklet trekant, når alle sidelengdene er [[rasjonalt tall|rasjonale tall]].  I en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 er arealet lik 6, slik at 6 er et kongruent tall.  De første kongruente tallene er 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 og 21.<ref name=FN1/>

=== Vektorform ===
Dersom [[Vektor (matematikk)|vektorene]] ''AC'' og ''AB'' definerer en trekant, så er arealet lik halvparten av [[kryssprodukt]]et mellom vektorene:

:<math>A = \frac{1}{2}|AB \times AC|</math>.

=== Koordinatform ===
I [[analytisk geometri]] kan en beskrive en trekant ved hjelp av [[koordinatsystem|koordinater]] til hjørnene.  Dersom et hjørne av trekanten er i [[origo]] ''O'' = (0,&nbsp;0), og de to andre hjørnene er i punktene  ''P''<sub>1</sub> = (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) og ''P''<sub>2</sub> = (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>), så  
er arealet av trekanten ''OP''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub> gitt ved [[determinant]]en

:<math>
A = \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}  = \frac{1}{2}\big(x_1y_2 - x_2y_1 \big) 
</math>

Fortegnet avhenger av om hjørnene er plassert med eller mot klokkeretningen.

For en trekant med tre vilkårlig plasserte hjørner ''A,B'' og ''C'' kan en bruke at dens areal er gitt ved summen av arealene til de tre trekantene ''OAB'', ''OBC'' og ''OCA''. Fra den forrige formelen følger det da at

: <math> A =  \frac{1}{2} \big(  x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_A - x_A y_C \big) </math>

Dette kan igjen skrives mer kompakt som en determinant,
:<math>
\begin{alignat}{2}
A 
&= \frac{1}{2} \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}  \\
&= \frac{1}{2} (x_A - x_C) (y_B - y_A) -  \frac{1}{2} (x_A - x_B) (y_C - y_A).
\end{alignat}
</math>

=== Herons formel ===
Formen til en trekant er bestemt entydig ut fra lengden av sidene.  Arealet kan derfor bestemmes ut fra sidelengdene alene, ved den såkalte [[Herons formel]]:<ref name=UIA2/>

:<math>A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

I formelen er ''s'' er semiperimeteren, altså den halve omkretsen.  De følgende formene er alternative versjoner av Herons formel:

:<math>
\begin{alignat}{2}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}  \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.
\end{alignat}
</math>

=== Trigonometrisk form ===
Når to sidelengder og vinkelen mellom dem er kjent, så er arealet gitt ved

:<math>A = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta</math>

Formelen framkommer ved å uttrykke hver av høydene i trekanten ved hjelp av en side og sinus til en vinkel.   

Da sin α = sin (''π'' − α) = sin (β + γ), og tilsvarende for de to andre vinklene, så gjelder også at 

:<math>A = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).</math>

Kjenner en to av vinklene og én av sidelengdene, så kan en bruke formelen

:<math>A = \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta}. </math>

== Sirkler knyttet til en trekant ==
[[File:Triangle.Circumcenter.svg|thumb|150px|Omsirkelen til en trekant]]
=== Omsirkelen ===
Enhver trekant har en entydig bestemt [[sirkel]] som går gjennom alle de tre hjørnene i trekanten.  Denne sirkelen kalles den ''omskrevne'' sirkelen til trekanten eller også ''omsirkelen''.<ref name=UIA1/>  Senter i den omskrevne sirkelen ligger i skjæringspunktet til de tre normalene som går gjennom midtpunktet til hver av sidekantene, og dette punktet kalles ''omsenteret''.  I en spiss trekant ligger omsenteret innenfor trekanten,  mens en stumpvinklet trekant har senteret utenfor trekanten.  I en rettvinklet trekant ligger omsenteret på hypotenusen.

Omvendt gjelder også at dersom en trekant ''ABC'' har en omsirkel med [[diameter]] langs ''AB'', da er vinkelen ''C'' rett.  Dette resultatet er en form for [[Thales' setning]].  

[[Radius|Radien]] i en omsirkel ''R'' er gitt ved

:<math>R = \frac{abc}{4A}. \, </math>

Her er ''a'', ''b'' og ''c'' sidelengder, og ''A'' er arealet. 

[[Image:Incircle and Excircles.svg|right|thumb|Trekant med innsirkel og ytre tangeringssirkler]]
=== Innsirkelen ===
En ''innskreven'' sirkel til en trekant eller ''innsirkelen'' er en sirkel som [[tangent (matematikk)|tangerer]] alle tre sidekantene i trekanten. Den har sentrum i skjæringpunktet mellom halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten.  Dette punktet kalles ''innsenteret'' til trekanten.<ref name=UIA3/>

Også i en innsirkel er radien relatert til arealet av trekanten.  Radien i innsirkelen ''r'' er gitt ved

:<math>r = \frac{2A}{o} \, </math>

der ''o'' er omkretsen av trekanten.  Ved å bruke Herons formel og sammenhengen 2''s'' = ''o'', så kan denne skrives som

:<math>r = \sqrt{ \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.</math>

Avstanden mellom innsenteret og omsenteret ''d'' er gitt ved ''Eulers trekantformel'':<ref name=MW7/>

:<math> d^2=R (R-2r) \,</math>

Fra denne følger også den såkalte ''Eulers ulikhet'', som relaterer radien i omsirkelen og radien i innsirkelen: 

:<math>R \ge 2r. </math>

=== Tangeringssirkler ===
Enhver trekant har tre ytre ''tangeringssirkler'', tre sirkler som hver for seg tangerer én sidekant og forlengelsen av de to andre.  Tangeringssirklene ligger utenfor trekanten.

Innsenteret til trekanten og sentrene i de tre tangeringssirklene danner sammen et såkalt [[ortosentrisk system]].  Dette er et system av fire punkter, der ett av punktene er ortosenter i en trekant med hjørner i de tre andre punktene. Systemet er symmetrisk, slik at uansett hvilke tre punkt en velger for å definere trekanten, så er det fjerde punktet ortosenteret.  

[[Image:Triangle.NinePointCircle.svg|200px|thumb|Nipunktsirkelen]]
=== Nipunktssirkelen ===
[[Nipunktssirkel]]en til en trekant går gjennom ni punkt som alle er knyttet til trekanten:

* På hver side, et midtpunkt
* På hver side, punktet der høyden treffer sidekanten
* På hver av de tre høydene, midtpunktet mellom hjørnet og ortosenteret.

Sirkelen kalles også ''Feuerbachs sirkel'', ''eulersirkelen'' og ''terquemsirkelen''.  Radien i nipunktssirkelen er lik halve radien i omsirkelen.  Senteret ligger på den såkalte [[Euler-linjen]].

Innsirkelen ligger inne i nipunktssirkelen og tangerer denne, og i tillegg vil nipunktssirkelen tangere alle de tre ytre tangeringssirklene.  Dette er et berømt resultat, kjent som [[Feuerbachs teorem]].  Punktet der innsirkelen og nipunktssirkelen tangerer kalles ''Feuerbach-punktet''.  

== Figurer innskrevet i en trekant ==
En figur er innskrevet i en trekant dersom figuren har felles punkt med trekanten og ingen punkt som ligger utenfor trekanten.  Et innskrevet polygon skal ha alle hjørnene på trekantsidene.<ref name=BB2/>.  Innsirkelen omtalt i avsnittet over er et eksempel på en figur innskrevet i en trekant.  Et klassisk problem i geometri forsøker å finne sidelengden i et [[kvadrat]] innskrevet i en gitt trekant.  

En innskrevet trekant definert ved at hjørnene ligger på tangeringspunktet mellom innsirkelen og trekanten kalles for ''kontakttrekanten''.<ref name=MW6/>

En ''innellipse'' er en [[ellipse]] innskrevet i en trekant.  I ''Steiners innellipse'' ligger senterpunktet til innellipsen i trekantens tyngdepunkt og ellipsen tangerer midtpunktet på hver av de tre sidene.<ref name=MW5/> 

En [[medialtrekant]] er en innskrevet trekant som har hjørner på midtpunktene til de tre sidekantene i den opprinnelige trekanten.<ref name=BB3/> Begrepet [[mediantrekant]] blir brukt delvis synonymt med medialtrekant,<ref name=BB3/> delvis om en trekant der sidekantene er parallelle med og like lange som medianene i en annen trekant.<ref name=MW4/>

== Euler-linjen ==
I en trekant som ikke er likesidet er den såkalte [[Euler-linjen]] en rett linje som går gjennom ortosenteret, omsenteret, tyngdepunktet, det såkalte [[Exeter-punkt]]et og i tillegg senteret i nipunktsirkelen.  Den sveitsiske matematikeren [[Leonhard Euler]] viste i 1765 at de tre førstnevnte punktene ligger på én og samme rette linje.  I en likebeint trekant ligger også innsenteret på Euler-linjen.  

[[File:Spherical triangle 3d.png|thumb|Sfærisk trekant]]

== Trekanter i ikke-euklidsk geometri ==
I [[ikke-euklidsk geometri]] gjelder ikke [[parallellaksiomet]], og trekantegenskaper velkjente fra klassisk geometri trenger ikke lenger være tilstede.  Ikke-euklidsk geometri vil opptre i geometri for generelle flater, for eksempel [[andregradsflate]]r.

[[File:Hyperbolic triangle.svg|thumb|left|Hyperbolsk trekant]]
Geometri på en [[kule (geometri)|kuleflate]] kalles [[sfærisk geometri]], og en trekant kalles tilsvarende en [[sfærisk trekant]].   I en sfærisk trekant er sidekantene [[bue (geometri)|sirkelbuer]].  I en slik trekant vil vinkelsummen være større enn 180°.<ref name=ST1/>  Det er for eksempel mulig å definere en trekant der alle tre vinklene er lik 90°! Jordkloden er tilnærmet lik en kuleflate, og rettvinklede sfæriske trekanter spiller en viktig rolle i [[navigasjon]].  

Sidelengdene i en sfærisk trekant måles vanligvis med vinkelmål, ikke lengeenheter.  En form for cosinussetningen gjelder også for sfæriske trekanter.  

I motsetning til en plan trekant, så vil en sfærisk trekant være entydig bestemt når de tre vinklene i trekanten er gitt.  En plan trekant er entydig bestem dersom en kjenner to sidelengder og de motstående vinklene, men dette er ikke tilfelle for en sfærisk trekant.<ref name=ST1/>

I [[hyperbolsk geometri]] vil det eksistere en trekant der vinkelsummen er mindre enn 180°.<ref name=HG1/>  Sidelengdene i et hyperbolsk triangel kan bli uendelig store, men arealet er alltid mindre enn &pi;.<ref name=HG2/>

== Bruk av trekantgeometri ==

[[File:Pratt truss.svg|thumb|right]]
[[File:Warren truss.svg|thumb|right|Fagverk med trkantgeometri]]
=== Trekanter i fagverk ===
Trekanter er mye brukt i ulike konstruksjoner, på grunn av formens evne til å ta imot trykk og strekk.  I et såkalt [[fagverk]] er trekanten et grunnleggende element.  Fagverk er et rammeverk brukt i brobygging, husbygging, tårn og heisekraner.   

=== Triangulering i landmåling ===
Ved [[triangulering]] i landmåling bestemmes avstanden til et punkt ved hjelp av trekantgeometri.  Vinkelen til punktet fra begge endene av en grunnlinje måles.  Posisjonen til det tredje punktet kan så bestemmes fra en trekant med kjent grunnlinje og to kjente vinkler.   

[[File:Dolphin triangle mesh.png|thumb|200px|left|Trekanter brukt til visualisering av en [[gulflankedelfin|delfin]].]]
=== Triangulering i datagrafikk ===
I [[datagrafikk]] kan triangler brukes til å beskrive legemer som skal visualiseres.  Legemet visualiseres så som en samling av trekanter.  Visualisering av trekanter kan gjøres svært raskt, og det eksisterer mange effektive algoritmer for beregninger som inngår.  Bruk av trekanter er et spesialtilfelle av polygonbasert visualisering.  

[[File:Finite element triangulation.svg|right|thumb|200px|Triangulering av sirkelflate for endelig-element-beregning]]
=== Triangulering i elementmetoder ===
[[Endelig-elementmetode]]r er [[numerisk analyse|numeriske]] metoder for tilnærmet løsning av [[partielle differensialligninger]].  Området der differensialligningene er definert kan trianguleres, og ligningene kan [[diskret matematikk|diskretiseres]] på den gitte trianguleringen.  Metodene bør være slik at dess mindre trekantene er, dess mer nøyaktig er den tilnærmede løsningen.    

Løsning av partielle differensialligninger med trekant-baserte endelig-element-metoder har svært mange anvendelsesområder innenfor teknikk og vitenskap, for eksempel i styrkeberegninger for konstruksjoner.

=== Ternærdiagram ===
Et [[ternærdiagram]] eller ternærplott er en grafisk framstilling i en likebeint trekant av forholdet mellom tre variable som alltid summerer seg til en konstant verdi.  En slik grafisk framstilling er vanlig for eksempel i [[kjemi]] og [[mineralogi]], når det er behov for å studere en sammensetning av tre komponenter.  De tre variablene kan for eksempel være andelen av hvert stoff, og summen er 1 eller 100%.  

De tre variablene ''a'', ''b'' og ''c'' skal alltid ha en fast sum ''K'', slik at ''a'' + ''b'' + ''c'' = ''K''.  Er to variable kjent, så er dermed den tredje også bestemt.  Siden systemet har to [[frihetsgrad]]er, så kan sammenhengen framstilles i planet.  Langs en sidekant i trekanten er en av variablene lik null.  

== Historie ==
Geometri, inkludert studiet av trekanter, har dype røtter i matematikkens oldtid.  Ifølge historikeren [[Herodot]] ble geometrien født i [[Egypt]], da man hadde behov for å måle opp jordbruksland som var blitt oversvømt av Nilen.  

[[Fil:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|right|thumb|200px|Problem R49→R55 i Rhind-papyrusen]]
=== Egypt og Mesopotamia ===
Den berømte [[Rhind-papyrusen]] fra Egypt omkring 1650 f.Kr inneholder blant mye annet en metode for å beregne arealet av en likebeint trekant.  I bygging av [[pyramide]]r var det behov for å bygge sidene med konstant stigningstall, og egypterne utviklet en primitiv form for trigonometri.  Det er blitt hevdet at egypterne kjente til Pytagoras' læresetning, men det finnes ikke direkte bevis for dette i etterlatte manuskript.

[[Fil:Plimpton 322.jpg|left|thumb|Plimpton 322 med pytagoreiske tripler]]
I en tavle med kileskrift fra [[Mesopotamia]] forekommer en rekke med tre og tre tall, som alle oppfyller Pytagoras' læresetning, såkalte pytagoreiske tripler  Tavlen går under navnet ''Plimpton 322'' og er tidfestet til å være fra tidsperioden 1900 - 1600 f.Kr.   Det finnes ikke indikasjoner på at babylonerne kjente beviset for læresetningen.  Både babylonerne og egypterne brukte egenskaper til formlike trekanter. 

=== Antikken fram til Euklid ===
Den greske filosofen [[Tales fra Milet]] levde omkring 600 f.Kr og blir tillagt å ha ført bevis for at vinklene ved grunnlinjen i en likebeint trekant er like.  Han skal også ha bevist at to trekanter med to parvis like store vinkler og to like sider er kongruente.  Thales arbeid er bare kjent indirekte, gjennom andres omtale.

Pytagoras var en gresk filosof, mystiker og matematiker i fra øya [[Samos]], født ca. 580 f.Kr.  I [[Crotone|Kroton]] i Italia grunnla han en skole der elevene måtte studere både matematikk, religion og filosofi.  Pytagoreerne var et fellesskap der renselse av sjelen skulle oppnås gjennom et strengt levesett og gjennom religiøse ritualer.  I ritualene inngikk elementer av både filosofi og matematikk.  
Antagelig fikk pytagoreerne kunnskap om det som i dag kalles for Pytagoras' læresetning fra Babylon.  I antikken ble Pytagoras gitt æren for å ha bevist denne læresetningen, men det finnes ikke direkte bevis på at dette var tilfelle.

Pytagoreerne rangerte aritmetikk over geometri, og bevegelsen fikk stor innflytelse på utvikling av matematikk i hundreårene som fulgte.  Trekantgeometri spilte likevel en viktig rolle i en rekke arbeid i fra denne perioden, ikke minst i studiet av [[proporsjon]]er.  [[Platon]] grunnla omkring 387 f.Kr et [[Platons akademi|akademi]] i Athen, kjent for innskriften  «La ingen som er uvitende i geometri komme inn her».

[[Fil:Scuola di atene 07.jpg|right|thumb|Euklid framstilt i «[[Skolen i Athen]]» av [[Rafael]]]]
Den greske matematikeren [[Evklid|Euklid]] blir ofte kalt «geometriens far».  Han var virksom i [[Alexandria]] omkring tre hundre år før Kristus.  Fem manuskript er kjent fra Euklid, og i arbeidet ''Deling av figurer'' drøfter han et problem der en vilkårlig trekant skal deles i to av en linje parallell med grunnlinjen, slik at arealet av trekanten blir delt i nøyaktig to like deler.  Mest kjent er imidlertid Euklid for verket ''[[Euklids Elementer|Elementer]]'', der han som den første matematikeren bygger opp teorien fra et sett av [[aksiom]]er.  De første seks kapitlene er dedikert til plangeometri.  Her gir Euklid blant annet et bevis for Pytagoras' læresetning, og også for det «inverse» teoremet.  Senere har en rekke andre former for bevis blitt utledet.
I ''Elementer'' bok II, problem 13, gir Euklid også en form for cosinussetningen.  

Sammen med Euklid regnes [[Arkimedes]] og [[Apollonios fra Perge]] som de tre store matematikerne i perioden 300 - 200 f.Kr.  Apollonios er spesielt kjent for arbeid i geometri.  Teoremet som er oppkalt etter han er første gang beskrevet i verket [[Almagest]], skrevet av [[Klaudios Ptolemaios]] omkring to hundre år etter Kristus. 

=== Antikken etter Euklid ===
I studiet av geometri som fulgte Euklid vokste det også langsomt fram former for trigonometri - teori for sammenheng mellom trekantsider og vinkler.  Bidragene kom fra en rekke matematikere, men [[Hipparkus fra Nikea]] (ca. 180-ca. 125 f.Kr) har fått tilnavnet  «trigonometriens far», som den første som satte sammen en trigonometrisk tabell.  Den tidlige trigonometrien var i hovedsak knyttet til korder i en sirkel, ikke til trekanter.  Hipparkus var motivert av problem i astronomi, og også den videre utviklingen av trigonometri var i svært lang tid tett knyttet til astronomi, landmåling og navigasjon.  Først på 1600-tallet innså en at trigonometri kunne ha et langt videre bruksområde, for eksempel i fysikk. 

[[Heron av Alexandria|Heron]] levde som Euklid i Alexandria, men tre til fire hundre år senere, omkring 10-70 e.Kr.  Han var både ingeniør og matematiker, og som det siste er han mest kjent for formelen for å beregne arealet av en trekant fra sidelengdene.  Formelen opptrer for første gang i Herons arbeid ''Metrica'', men var antageligvis kjent også før Herons tid.  Heron er den første som er kjent for å bruke [[piktogram]]met Δ som symbol for en trekant i tekst.<ref name=FC1/>  

Blant matematikerne fra Alexandria var også [[Menelaos]], som i verket ''Sphaerica'' studerte trekantgeometri på en kuleflate.  Dette er det eneste arbeidet som er bevart etter Menelaos, som levde omkring 100 e.Kr. 

Ptolemaios' verk ''Almagest'' er en svært viktig kilde til kunnskap om gresk geometri og trigonometri.  Verket er skrevet omkring 200.  Som Hipparkus var Ptolemaios motivert av astronomi.  

Også [[Pappos fra Alexandria|Pappos]]  (3. - 4. århundre) var fra Alexandria, og han regnes som en av de siste store greske matematikerne.  I det mest kjente arbeidet ''Synagoge'' («Samling» ) gir han et bevis for en utvidet form for Pytagoras' læresetning, for en vilkårlig trekant.

=== Kina og India  ===
Del eldste kinesiske matematiske skriftene indikerer at også kinesisk geometri er vokst fram fra praktiske problem i landmåling.  I verket [[Ni kapitler om den matematiske kunst]] (Jiǔzhāng Suànshù) omhandler det siste kapittelet geometri for rettvinklede trekanter.  Verket er ikke nøyaktig tidfestet, men er antagelig satt sammen før 200 f.Kr. Her forekommer det såkalte «Brukne-bambus-problemet»:  En rett bambusplante 10 enheter lang er brukket, slik at toppen av treet danner en hypotenus i en trekant og treffer bakken 3 enheter fra foten av treet.  Problemet er å bestemme høyden opp til bruddstedet, og løsningen krever bruk av Pytagoras' læresetning.  

Basert på gresk matematikk videreutviklet indiske matematikere trigonometri, og sinusfunksjonen ble introdusert i det indiske astronomiske verket ''Siddhanta'' fra omkring 400.

=== Etter antikken ===
Etter den greske storhetstiden lå det meste av geometri lenge nede, utenfor interesseområdet til vitenskapen.  Arabiske matematikere tok imidlertid vare på interessen for trigonometri og astronomi, og ble formidlere av både indiske, gresk og egen kunnskap til Europa.  [[Thābit ibn Quarra]] (826-901) ga flere alternative bevis for Pytagoras' læresetning og også en generalisering av læresetningen til generelle trekanter.  Perseren [[Nasir al-Din al-Tusi]] (1201-1274) var den første som behandlet trigonometri uavhengig av astronomi og skrev et systematisk fem-binds verk om plan- og sfæriske trigonometri.    

[[Leonardo Fibonacci]] (1170-1250) er kjent for å ha introdusert arabiske tall i vesten, i verket [[Liber Abaci]].  Han utga i 1220 også boka ''Practica Geometriae'', der han blant annet beviser at medianene i en trekant deler hverandre i forholdet 1:2.  Boka inneholder også en analog til Pytagoras' læresetning i tre dimensjoner.  

Boka ''De triangulis omnimodus'' («Om trekanter av alle slag»), av den tyske matematikeren, astronomen og biskopen [[Regiomontanus]] (1436-1476), var et av de første rene verkene om trigonometri i Europa. Boka ble utgitt i 1533, etter Regiomontanus' død, men verket er skrevet omkring 1464.  Arbeidet til Regiomontanus ble gjort kjent ikke minst på grunn av videreformidling av astronomen [[Nikolaus Kopernikus]] (1473-1543).  [[Georg Joachim Rheticus]] (1514-1574) var elev hos Kopernicus, og i tobindsverket ''Opus palatinum de triangulis'' fortsatte han arbeidet til Regiomontanus og Kopernikus: Her ble trigonometri for første gang knyttet til en rettvinklet trekant og ikke til en sirkelkorde.  

Først på 1600-tallet begynte interessen for geometri å ta seg opp for fullt i Europa.  [[René Descartes]] (1596-1650) innførte med verket ''La Géométrie'' [[analytisk geometri]], en kombinasjon av geometri og algebra.  Arkitekten og ingeniøren [[Girard Desargues]] (1591-1661) arbeidet med problemer knyttet til [[perspektiv (kunst)|perspektiv]] og kan regnes som en grunnlegger av [[projektiv geometri]], studiet av geometriske egenskaper som er bevart under transformasjon av figurer.  Arbeidet ble ikke forstått og langt på vei neglisjert i samtiden.  [[Desargues' teorem]] gir vilkår for at to trekanter skal være i perspektiv og ble først publisert av Abraham Bosse etter Desargues' død.  Boss var en venn og elev av Desargues.   

Giovanni Ceva (1648-1734) var en italiensk professor i matematikk ved universitetet i [[Mantova]].  Han var spesielt interessert i geometri og er i dag mest kjent for å bevise teoremet som bærer navnet hans.  Han gjenoppdaget og publiserte også det såkalte [[Menelaos' teorem]] for en trekant.

Bruk av bokstavene ''a'', ''b'' og ''c'' for trekantlengdene og ''A'', ''B'' og ''C'' for de motstående hjørnene ble introdusert av den sveitsiske matematikeren [[Leonhard Euler]] (1707-1783).  Han brukte også bokstavene ''r'', ''R'' og ''s'' for henholdsvis radien i en innsirkel, radien i en omsirkel og semiperimeteren.  Formelen for radien i en omsirkel ble først utledet av Euler.

De to franskmennene [[Gaspard Monge]] (1746-1818) og [[Lazare Carnot]] (1753-1823) regnes som grunnleggere av moderne geometri.  Fransk var også [[Jean-Victor Poncelet]] (1788-1867) som  etter at arbeidet til Desargues var gått i glemmeboken kan sies å ha «gjenfødt» projektiv geometri. Sammen med [[Charles Brianchon]] (1785-1864) publiserte han i 1820-21 et artikkel som for første gang omtaler nipunktssirkelen.  Når sirkelen ofte blir gitt navn etter [[Karl Wilhelm Feuerbach]] (1800-1834), så
skyldes dette at Feuerbach publiserte mer omfattende teori i 1822.  Imidlertid beskrev også han bare seks av punktene knyttet til sirkelen.  Det såkalte ''Feuerbachs teorem'' knytter sammen nipunktssirkelen, innsirkelen og de tre ytre tangeringssirklene forbundet med en trekant, et resultat som er blitt karakterisert som «det vakreste teorem i elementær geometri som er blitt oppdaget siden Euklid».<ref name=CBB2/>   Et alternativt bevis for dette teoremet ble gitt i 1842 av [[Olry Terquem]] (1782-1862), som også utvidet antall karakteristiske punkt knyttet til nipunktssirkelen fra seks til ni.    

Nipunktssirkelen ble uavhengig av andre arbeid også oppdaget av Jakob Steiner (1796-1863), som i tillegg har gitt navnet til «Steiners innellipse». Steiner var født i Sveits, men var utdannet og arbeidet i Tyskland.  Han regnes som en av de betydeligste matematikerne innenfor fagområdet geometri i moderne tid.  

Den tyske matematikeren [[Moritz Pasch]] (1843-1930) ga i 1882 ut ''Vorlesungen über neuere Geometrie'', der han blant annet viser at Euklid implisitt brukte geometriske egenskaper som ikke var dekket av postulatene han ga.  Det som senere er blitt kalt ''Pasch' aksiom'' ble lansert for å komplettere Euklid.  Løst kan dette formuleres som at når en linje krysser en trekantside, så må linjen også krysse en av de andre to sidene i trekanten.  I 1899 publiserte [[David Hilbert]] (1862-1943) ''Grundlagen der Geometrie'', der han bygger opp geometri aksiomatisk.  Aksiomene skal gi et moderne fundament for euklidsk geometri. Ett av aksiomene omhandler kongruens av trekanter.  
 
==Se også==

* [[Gyllen trekant]], en likebeint trekant der forholdet mellom grunnlinjen og en sidekant er relatert til det gyldne snitt
* [[Keplertrekant]], en rettvinklet trekant der forholder mellom sidelengdene er relatert til det gyldne snitt
* [[Pascals trekant]], en trekantformet grafisk framstilling av binomialkoeffisienter
* [[Penrosetriangel]], en «umulig» tredimensjonal trekant
* [[Trekanttall]], et tall som kan angi antall objekter brukt til å lage en likesidet trekant
* [[Triangel (heraldikk)]], en likesidet trekant i heraldikk
* [[Triangel]], et trekantet musikkinstrument

== Referanser ==

<references>

<ref name=BB1>{{Kilde bok
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør= 
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Glasgow
| forlag= Collins
| side=602
| isbn= 0-00-434347-6
| id=
| kommentar=Trigon
| url= }}</ref>

<ref name=OB1>[http://ordbok.uib.no/perl/ordbok.cgi?OPP=triangel&ordbok=bokmaal ordbok.uib.no] Bokmålsordboka - ''Triangel''.  Besøkt 30.desember 2012</ref>

<ref name=UIA1>[[#UIA|B. Birkeland, T. Breiteig, Hans E. Borgersen:  MA-132 Geometri...]], s.45</ref>
<ref name=UIA2>[[#UIA|B. Birkeland, T. Breiteig, Hans E. Borgersen:  MA-132 Geometri...]], s.46</ref>
<ref name=UIA3>[[#UIA|B. Birkeland, T. Breiteig, Hans E. Borgersen:  MA-132 Geometri...]], s.47</ref>
<ref name=KR1>[[#KR|K. Ranestad: Geometri...]], s.7</ref>
<ref name=KR2>[[#KR|K. Ranestad: Geometri...]], s.2</ref>
<ref name=CBB1>[[#CBB|C.B.  Boyer: A history ..]], s.54</ref>
<ref name=SS1>{{Kilde bok
| forfatter= Steven Schwartzman
| redaktør= 
| utgivelsesår=1994
| artikkel=
| tittel=The words of mathematics.  An etymological dictionary of mathematical terms used in English
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Washington, DC
| forlag= The Mathematical Association of America
| side=
| isbn= 0-88385-511-9
| id=
| kommentar= 
| url= }}</ref>
<ref name=FN1>[http://www.forskning.no/artikler/2009/september/230095 www.forskning.no] {{Wayback|url=http://www.forskning.no/artikler/2009/september/230095 |date=20121030084732 |df=iso }} Bjørnar Kjensli:  ''Vanvittig mange trekanter''.  Besøkt 30. januar 2012</ref>

<ref name=MW1>[http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriangle.html mathworld.wolfram.com] ''Pythagorean Triangle.''. Besøkt 13. januar 2013</ref>

<ref name=MW3>[http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html mathworld.wolfram.com] ''Heronian Triangle.''. Besøkt 13. januar 2013</ref>

<ref name=MW4>[http://mathworld.wolfram.com/MedianTriangle.html mathworld.wolfram.com] ''Median Triangle.''. Besøkt 13. januar 2013</ref>

<ref name=MW5>[http://mathworld.wolfram.com/Steinerinellipse.html mathworld.wolfram.com] ''Median Triangle.''. Besøkt 13. januar 2013</ref>

<ref name=MW6>[http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html mathworld.wolfram.com] ''Contact Triangle.''. Besøkt 13. januar 2013</ref>

<ref name=MW7>[http://mathworld.wolfram.com/EulerTriangleFormula.html mathworld.wolfram.com] ''Euler Triangle Formula''. Besøkt 25. januar 2013</ref>

<ref name=BB2>{{Kilde bok
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør= 
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Glasgow
| forlag= Collins
| side=297
| isbn= 0-00-434347-6
| id=
| kommentar=Inscribed
| url= }}</ref>

<ref name=BB3>{{Kilde bok
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør= 
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Glasgow
| forlag= Collins
| side=297
| isbn= 0-00-434347-6
| id=
| kommentar=Median triangle or medial triangle
| url= }}</ref>

<ref name=FC1>{{Kilde bok
| forfatter=Florian Cajori
| redaktør=
| utgivelsesår=2007
| artikkel=
| tittel=A history of mathematical notations 
| bind=1
| utgave=
| utgivelsessted=New York
| forlag=Cosimo 
| side=401
| isbn=978-1-60206-684-7
| id=
| kommentar= 
| url= }}</ref>

<ref name=ST1>[http://ansatte.uit.no/bjorn.davidsen/MatteNotater/Sv_Trig/Hoveddokument.pdf  uit.no]{{Død lenke|dato=mai 2021 |bot=InternetArchiveBot }} Bjørn Davidsen: ''Sfærisk geometri''.  Universitetet i Tromsø,  2007.  Besøkt 17. januar 2013</ref>

<ref name=HG1>Bjørn-Terje Gylder Smestad:  ''Hyperbolsk geometri i historisk perspektiv.'' Masteroppgave, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet, Trondheim, 2009.</ref> 

<ref name=HG2>[http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2006/valaasla.pdf whitman.edu] {{Wayback|url=http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2006/valaasla.pdf |date=20140823200735 }} Laura Valaas:  ''Triangles in hyperbolic geometry''.  Whitman College, 2006.  Besøkt 17. januar 2013.</ref>

<ref name=CBB2>[[#CBB|C.B. Boyer: A history of mathematics...]], s.574</ref>

</references>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=UIA
| forfatter=Byrge Birkeland, Trygve Breiteig, Hans Erik Borgersen
| redaktør=
| utgivelsesår=2009
| artikkel=
| tittel=MA-132 Geometri.  Kompendium
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted=Kristiansand
| forlag=Universitetet i Agder
| side=
| isbn=
| id=
| kommentar=
| url=https://kurs.uia.no/ma-132/Kompendium2009_171208.pdf
| bot=
| besøksdato=2019-12-06
| arkiv-dato=2019-12-06
| arkiv-url=https://web.archive.org/web/20191206105911/https://kurs.uia.no/ma-132/Kompendium2009_171208.pdf
| url-status=yes
}}

*{{Kilde bok
| ref=KR
| forfatter=Kristian Ranestad
| redaktør= 
| utgivelsesår=2007
| artikkel=
| tittel=Geometri i planet
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Oslo
| forlag=Universitetet i Oslo
| side=
| isbn=
| id=
| kommentar= 
| url=http://www.mn.uio.no/math/personer/vit/ranestad/foredrag-norske/geoevu06.pdf }}

*{{Kilde bok
| ref = CBB 
| forfatter= C.B.Boyer
| redaktør= 
| utgivelsesår=1968
| artikkel=
| tittel=A history of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Princeton, USA
| forlag= John Wiley & Sons, Inc
| side=
| isbn= 0-691-02391-3 
| id=
| kommentar= 
| url= }}


{{Polygoner}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Trekanter]]
[[Kategori:3 (tall)]]