Redigerer Spinn

{{andrebetydninger}}
[[Fil:Symbol spin blue.svg|thumb|200px|Symbolsk fremstilling av en partikkel med spinn. Pilen indikerer retningen til en tenkt rotasjonsakse.]]
'''Spinn''' i [[kvantemekanikk]]en refererer til indre [[Kvantisert dreieimpuls|dreieimpuls]] for en partikkel som ikke skyldes dens egen bevegelse. I [[klassisk mekanikk]]  oppstår det ved [[rotasjon]] om en akse gjennom [[tyngdepunkt]]et. I kvanteemekanikken måles det i enheter av den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] ''ħ&thinsp;'' og er angitt ved et [[kvantetall]] som vanligvis betegnes med bokstaven ''s''. Typisk eksempel er [[elektron]]et som har ''s'' = 1/2 og [[foton]]et med ''s'' = 1. De fleste [[atomkjerne]]r har heltallig ''s'' = 0, 1, 2, ... eller halvtallig ''s'' = 1/2, 3/2, ... spinn og inneholder [[proton]]er og [[nøytron]]er. De har begge ''s'' = 1/2 og er igjen sammensatte partikler bestående av [[kvark]]er med  spinn ''s'' = 1/2. 

Partikler med heltallig spinn er [[boson]]er som oppfyller [[Bose-Einstein statistikk]]. Dette er i motsetning til partikler med halvtallig spinn om er [[fermion]]er og må adlyde [[Paulis eksklusjonsprinsipp|Pauli-prinsipp]]et.

En partikkel med spinn har et [[magnetisk moment]]. Hvis dens spinn er gitt ved [[vektor (matematikk)|vektoren]] '''S''', er dette

: <math> \boldsymbol{\mu}  =  g {e\over 2m}\mathbf{S} </math>

når den har [[elektrisk ladning]] ''e&thinsp;'' og masse ''m''. Her omtales størrelsen ''g&thinsp;'' som partiklens «''g''-faktor». For [[elementærpartikkel|elementærpartikler]] som elektroner og kvarker er denne tilnærmet lik med ''g'' = 2, mens protonet har en ganske annen verdi. Nøytronet har null elektrisk ladning, men har likevel et magnetisk moment. Det kan skrives på samme vis og skyldes kvarkene som det inneholder.

==Historie==

I den halv-klassiske [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]] til [[Niels Bohr]] og [[Arnold Sommerfeld]] måtte alle [[kvantetall]] være [[heltall]]ige. Det kom derfor som en stor overraskelse da [[Alfred Landé]] i 1921 kunne delvis forklare den anomale Zeeman-effekten ved å anta at den orbitale dreieimpulsen for et elektron i et atom også kunne anta halvtallige verdier.

Året etter lanserte  [[Werner Heisenberg]] som da var student, sin  [[Landés g-faktor#Heisenbergs Rumpf-modell|''Rumpf''-modell]] hvor et elektron med dreieimpuls ''kħ&thinsp;'' kunne avgi ''ħ''/2 til resten av atomet slik at det selv satt igjen med (''k'' - 1/2)''ħ''. Han hadde ingen god forklaring av hvordan dette kunne skje. Men med denne antagelsen kunne Landé i 1923 konstruere en formel for [[Landés g-faktor|''g''-faktoren til atomene]] som stemte med observasjonene.<ref name = Pais> A. Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>

På slutten av 1924 offentliggjorte [[Wolfgang Pauli]] et viktig arbeid hvor han viste at Heisenbergs ''Rumpf''-modell ikke kunne være riktig. At et elektron i et atom kunne få en halvtallig verdi for dreieimpulsen, kunne ikke ha noe med resten av atomet å gjøre. Den egenskapen måtte tilhøre elektronet alene, og han mente at det måtte ha en slags dobbelthet. Denne nye egenskapen karakteriserte han med et nytt kvantetall med verdiene ''m<sub>s</sub>'' = &pm;1/2 som opptrer i tillegg til kvantetallene ℓ og ''m''<sub>ℓ</sub> for vanlig, [[Kvantisert dreieimpuls|orbital dreieimpuls]]. Med denne nye antagelsen kunne han beholde de gode resultatene til Landé samtidig som den ga bedre forståelse av spektret till den [[Karakteristisk røntgenstråling|karakteristiske røntgenstrålingen]] og oppbygningen av det [[Periodesystemet|periodiske system]]. Det var i denne sammenhengen han innførte sitt nye [[Paulis eksklusjonsprinsipp|eksklusjonsprinsipp]].<ref name = Tomonaga> S.-I. Tomonaga, ''The Story of Spin'', University of Chicago Press, Chicago (19970. ISBN 0-226-80794-0.</ref>

Tidlig på året 1925 møtte Pauli tilfeldigvis studenten [[Ralph Kronig]] i [[Tübingen]] og ble fortalt at dette nye kvantetallet måtte bety at elektronet hadde en egenrotasjon. Pauli avviste denne muligheten, sannsynligvis fordi det ville bety at punkter på elektronets overflate da måtte rotere med en hastighet raskere enn [[lyshastighet]]en. Kronig gjorde  derfor ikke mer med dette forslaget.

Høsten samme år fikk [[Samuel Abraham Goudsmit|Samuel Goudsmit]] og [[George Uhlenbeck]] samme idé. De kunne dermed forklare detaljer ved [[finstruktur]]en i energinivåene til [[hydrogenatom]]et. Elektronet har spinn ''s'' = 1/2 slik at når det befinner seg i en bane med orbital dreieimpuls ℓ, vil det få en [[Kvantisert dreieimpuls#Addisjon av dreieimpulser|total dreieimpuls]] med kvantetall

: <math> j = \ell \pm 1/2 </math>

En matematisk beskrivelse av ikke-relativistiske partikler med spinn ''s'' = 1/2 utviklet Pauli i 1927. Den kalles for [[Paulii-ligning]]en og tilsvarer [[Schrödinger-ligning]]en for partikler med ''s'' = 0. Den kvantemekaniske spinnoperatoren kan da skrives som

: <math> \mathbf{S} = {\hbar\over 2}\boldsymbol{\sigma} </math>

hvor '''&sigma;''' utgjør de tre [[Pauli-matrise]]ne.<ref name= Griffiths> D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Ved etableringen av [[Dirac-ligning]]en året etterpå for partikler med vilkårlig høye hastighheter, ble det klart at elektronets spinn er en direkte konsekvens av [[Einstein]]s [[spesielle relativitetsteori]].

==Matematisk formulering==

Spinnet tiil en partikkel er gitt ved [[egenverdi]]ene til en [[kvantemekanikk#Kvantemekanikkens postulater|kvantemekanisk]] vektoroperator <math> \hat\mathbf{S} = (\hat{S}_x. \hat{S}_y, \hat{S}_z).</math> De tre komponentene [[kommutativ lov|kommuterer]] ikke med hverandre, men tilfredsstiller <math> \hat{S}_x \hat{S}_y  - \hat{S}_y \hat{S}_x = i\hbar \hat{S}_z </math> hvor ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Sammen med to andre kommutatorer  hvor indeksene er syklisk byttet om, kan de sammenfattes i den ene [[vektorprodukt]]et

: <math> \hat\mathbf{S} \times \hat\mathbf{S} =  i\hbar  \hat\mathbf{S} </math>

[[Kvantisert dreieimpuls#Egenvektorer|Egentilstandene]] for spinn kan skrives som <math> |s,m_s\rangle </math> hvor kvantetallet ''s&thinsp;'' kan ta en av verdiene 1/2, 1, 3/2 og så videre. Det angir størrelsen til det totale spinnet, mens  ''m<sub>s</sub>'' = (''s'', ''s'' - 1, ''s'' - 2, ...,  -''s'') er egenverdien langs ''z''-aksen,

: <math> \hat\mathbf{S}^2 |s,m_s \rangle = \hbar^2 s(s+1)|s,m_s\rangle </math>
: <math> \hat{S}_z |s,m_s\rangle = \hbar\, m_s|s,m_s\rangle </math>

Lineærkombinasjonene <math> \hat{S}_\pm = \hat{S}_x \pm i \hat{S}_y </math> er [[stigeoperator#Dreieimpuls og spinn|stigeoperatorer]] som forbinder disse  2''s'' + 1 egenvektorene i en slik '''spinnmultiplett'''. Disse operatorene virker ifølge

: <math> \hat{S}_\pm |s, m_s\rangle = \hbar\sqrt{s(s + 1) - m_s(m_s \pm 1)} \,|s, m_s \pm 1 \rangle </math>

og kan benyttes til å representere spinnoperatorene som [[matrise]]er.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

===Spinn-1/2===

Ved [[Stigeoperator#Addisjon av dreieimpulser|addisjon]] av mange spinn ''s'' = 1/2, kan tilstander med vilkårlig høye spinn beregnes. Derfor har beskrivelsen av spinn-1/2 en spesiell viktig plass både i [[elementærpartikkel]]fysikken og i [[teoretisk fysikk]] mer generelt. Man har da  å gjøre med bare to egenvektorer  som kan skrives på flere forskjellige måter,

: <math> |{\textstyle\frac 1 2}, + {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |+ {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |+ \rangle = | \uparrow \rangle  </math> 
: <math> |{\textstyle\frac 1 2}, - {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |- {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |- \rangle = | \downarrow \rangle </math>

som er ortogonale <math> \langle +|-\rangle = 0 </math> og hvor

: <math> \hat{S}_z |\pm \rangle = \pm {\hbar\over 2} |\pm \rangle </math>

Ved å kombinere to slike egentilstander kan man finne egenvektorer 

: <math> |\psi \rangle = \psi_+ |\uparrow\rangle +\, \psi_-  |\downarrow \rangle </math>  

for spinnet i vilkårlig andre retninger '''n''' tilsvarende operatoren <math>\hat\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}. </math>  Den har to komponenter <math> \psi_+ = \langle +|\psi \rangle </math> som kan fremstilles som en tokomponent [[Kvantisert dreieimpuls#Spinorer|spinor]]

: <math> \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} = \psi_+ \! \uparrow + \; \psi_- \! \downarrow </math>

hvor de to basisspinorene er

: <math>  \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} .</math>

Operatoren <math> \hat{S}_z </math> kan da representeres ved den diagonale [[matrise]]n

: <math> S_z = {\hbar\over 2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math>

På tilsvarende vis kan <math> \hat{S}_+ </math> fremstilles som en matrise fra dens definerende egenskaper  <math> \hat{S}_+ |\downarrow\rangle = \hbar\, |\uparrow \rangle </math>  og  <math> \hat{S}_+ |\uparrow\rangle = 0. </math> Det kan man gjøre på tilsvarende måte for <math> \hat{S}_- </math> og man får 

: <math> S_+ =  \hbar\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad S_- =  \hbar\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} . </math>

Herav kan man finne matrisene <math> S_x</math> og <math> S_y. </math>  Resultatet er at alle spinnmatrisene kan skrives som de tre [[Pauli-matrise]]ne (''&sigma;<sub>x</sub>'', ''&sigma;<sub>y</sub>'', ''&sigma;<sub>z</sub>'') multiplisert med ''ħ''/2.

===Singlett og triplett===

Når man  [[Stigeoperator#Addisjon av dreieimpulser|adderer sammen]] to spinn '''S'''<sub>1</sub> og '''S'''<sub>2</sub> hver med spinn ''s'' = 1/2, vil det resulterende spinn bli enten ''s'' = 1 eller ''s'' = 0. Den høyeste tilstanden er

: <math> |1, +1\rangle = | \uparrow \rangle |\uparrow\rangle </math>

Ved å anvende senkeoperatoren <math> \hat{S}_- = \hat{S_1}_-  + \hat{S_2}_- </math> på denne, genererer man to ny egentilstander med mindre egenverdier for <math> \hat{S}_z, </math>

: <math> |1, 0\rangle = \sqrt{1\over 2} \big(| \uparrow \rangle |\downarrow\rangle  + |\downarrow\rangle |\uparrow \rangle\big) </math>
: <math> |1, -1\rangle = | \downarrow \rangle |\downarrow\rangle </math>

Disse tre normerte tilstandene med ''s'' = 1 sies å utgjøre en «spinn triplett».<ref name = Griffiths/>

Av de opprinnelige fire tilstandene som legges sammen, er det én igjen. Det er kombinasjonen

: <math> |0, 0\rangle = \sqrt{1\over 2} \big(| \uparrow \rangle |\downarrow\rangle  - |\downarrow\rangle |\uparrow \rangle\big) </math>

som har spinn ''s'' = 0 og er ortogonal til de tre andre. Det er en «spinn singlett».

Disse sammensatte tilstandene spiller en viktig rolle i mange forskjellige sammenhenger fra [[magnetisme]] til metaller, [[kjemisk binding|kjemiske bindinger]] av atomer og molekyler til kreftene som virker i [[atomkjerne]]ne.<ref name = BM> J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==

* YouTube-video, [https://www.youtube.com/watch?v=5o0IVVyHvb8 What is Spin?]
* HyperPhysics, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/spin.html#c1 Electron Spin]

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kvantemekanikk]]