Redigerer Spesifikk varmekapasitet

[[Fil:Grafico calori specifici gas.png|thumb|360px|Spesifikk varmekapasitet ''c<sub>V</sub>&thinsp;'' for noen gasser ved forskjellige [[absolutt temperatur|temperaturer]]. Den blå kurven er for [[luft]], den grønne for CO<sub>2</sub>.]]

'''Spesifikk varmekapasitet''' for et materiale angir dets evne til å ta opp [[varme]]. Er denne liten, vil selv en stor temperaturøkning medføre lite opptatt varme . Omvendt vil et stoff med stor, spesikk varmekapasitet kunne ta opp mye varme uten å bli så mye varmere. Dette gjelder for eksempel for vann. Spesifikk varmekapasitet blir i dagligtale noen ganger kalt for ''spesifikk varme'' eller «egenvarme» som ofte ble brukt tidligere.

Denne [[varmekapasitet]]en kalles ''spesifikk'' fordi den defineres i forhold til den stoffmengden som blir tilført varme. Da stoffmengde kan angis som [[masse]] målt i [[gram]] g eller [[kilogram]] kg, alternativt som antall [[mol (enhet)|mol]] den inneholder, vil derfor spesifikk varmekapasitet kunne oppgis i forskjellige måleenheter. I fleste praktiske sammenhenger angis den per kg, mens ved mer teoretiske betraktninger blir den angitt per mol.

Spesifikke varmekapasiteter for forskjellige materialer ble først systematisk undersøkt av [[Joseph Black]] på slutten av 1700-tallet. I årene som fulgte spilte deres eksperimentelle og teoretiske undersøkelser en viktig rolle i utviklingen av [[termodynamikk]] og [[statistisk mekanikk]]. Da [[Werner Heisenberg]] i 1932 fikk [[nobelprisen i fysikk]] for oppdagelsen av moderne [[kvantemekanikk]], ble hans forklaring av den spesifikke varmen for [[hydrogen]]gass gitt som viktigste begrunnelse.<ref name = Longair> M. Longair, ''Theoretical Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-52878-8.</ref>

==Definisjon==

Hvis et stoff utsettes for en liten temperaturøkning  &Delta;''T&thinsp;''  og dermed tar opp en tilsvarende liten [[varme|varmemengde]]  &Delta;''Q'', defineres [[varmekapasitet]]en ved forholdet

: <math> C_X = \left({\Delta Q\over\Delta T}\right)_X </math>

hvor størrelsen ''X&thinsp;'' angir andre forhold som holdes konstant under oppvarmingen. Dette kan være for eksempel ved konstant volum ''V'', ved konstant trykk ''P'' eller ved konstant [[magnetfelt]] ''B''.  Da varmekapasiteten til et materiale varierer med temperaturen, var det et viktig fremskritt da denne lot seg beregne med metoder fra [[statistisk mekanikk]].<ref name = Sears> F.W. Sears, ''An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</ref>

Har stoffet en total masse ''m'', er den «spesifikke varmekapasiteten» ''c''<sub>''X''</sub> =  ''C''<sub>''X''</sub>&thinsp;/''m''.  I [[SI-systemet]]  måles denne i enheten  J/kg K.  Alternativt kan man definere en «molar varmekapasitet» ''c''<sub>''X''</sub> =  ''C''<sub>''X''</sub>&thinsp;/''n&thinsp;'' hvis materialet består av en mengde ''n'' [[mol]]. Den vil ha måleenhet  J/mol K og brukes ofte i kjemiske sammenhenger eller mer teoretiske arbeider.<ref name = Atkins>P.W. Atkins, ''Physical Chemistry'', Oxford University Press, England (1988). ISBN 0-19-855186-X.</ref>

For en endelig oppvarming fra en temperatur ''T''<sub>1</sub> til ''T''<sub>2</sub> av en mengde ''m&thinsp;'' med materiale må det tilføres en varmemengde

: <math> Q = m c_X(T_2 - T_1)</math>

sålenge temperaturøkning ikke blir så stor at varmekapasiteten forandres. 

Tidligere ble varmeenergi ofte målt i antall [[kalori]]er med enhet '''cal'''. Denne ble definert som den energimengde som må til for å varme opp 1g vann ved [[standard trykk og temperatur]] med en grad. Ifølge denne definisjonen er derfor den spesifikke varmekapasitet til vann ''c<sub>P</sub>'' = 1.0 cal/g K = 1.0 kcal/kg K. Med  bruk av [[SI-systemet|SI-enheter]] tilsvarer 1 cal = 4.18 J.

==Termodynamikk==

Når temperaturøkningen &Delta;''T&thinsp;''er liten nok, vil den resulterende varmetilførselen  &Delta;''Q&thinsp;'' skje ved  [[termisk likevekt]]. Fra [[termodynamikkens andre hovedsetning]] følger da &Delta;''Q'' = ''T''&thinsp;&Delta;''S'' hvor &Delta;''S&thinsp;'' er økningen av [[entropi]]en. Dermed kan man skrive at ''C<sub>X</sub>&thinsp;'' = ''T''&thinsp;(&Delta;''S''/&Delta;''T)<sub>X</sub>''. I grensen hvor &Delta;''T&thinsp;'' blir infinitesemal liten, vil den erstattes med [[differensial (matematikk)|differensialet]] ''dT''. Dermed kan varmekapasiteten skrives som den termodynamiske deriverte

: <math> C_X = T\!\left({\partial S\over\partial T}\right)_X     </math>

På denne formen kan varmekapasiteter beregnes på forskjellige måter.

For et materiale som består av en viss mengde stoff med volum ''V'', trykk ''P&thinsp;'' og indre energi ''U'', sier [[termodynamikkens første hovedsetning]] på differensiell form at

: <math>  TdS  = dU + PdV  </math>

For en  varmetilførsel som skjer under konstant volum, vil derfor ''TdS = dU&thinsp;'' og den tilsvarende varmekapasiteten kan finnes fra

: <math> C_V = \left({\partial U\over\partial T}\right)_V    </math>

Skulle derimot oppvarmingen skje under konstant trykk, har man at  ''PdV = d(PV)&thinsp;'' og derfor ''TdS = dU + d(PV) = dH&thinsp;'' hvor {{nowrap|''H {{=}} U + PV''&thinsp;}} er [[entalpi]]en til materialet. Derfor er i dette tilfellet

: <math> C_P = \left({\partial H\over\partial T}\right)_P  </math>

Disse termodynamiske resultat er allmenngyldige og kan benyttes både for gasser, væsker og faste stoffer. De kan også lett generaliseres til andre forhold, som f.eks. [[magnet]]er som påvirkes av ytre [[magnetfelt]].<ref name = Sears/>

==Ideelle gasser==

[[Ideell gass|Ideelle gasser]] har tilstandsligningen

: <math> PV = nRT </math>

hvor ''n'' er antall [[mol]] partikler i gassen og ''R&thinsp;'' er den universelle [[gasskonstant]]en. Består den av partikler som er atomer, kan den indre energi ''U'' regnes ut i [[kinetisk teori]]. Resultatet er ''U'' = (3/2)''nRT&thinsp;'' som tilsvarer varmekapasiteten ''C<sub>V</sub>'' = (3/2)''nR''. Den spesifikke varmekapasiteten er derfor ''c<sub>V</sub>'' = (3/2)''R&thinsp;'' hvor verdien  til den universelle gasskonstanten ''R'' = 8,314 J/mol K bestemmer størrelsen.

Direkte fra tilstandsligningen følger nå at entalpien til gassen er ''H'' = (3/2 + 1)''nRT'' = (5/2)''nRT'' slik at den molare varmekapasiteten ved konstant trykk er ''c<sub>P</sub>'' = (5/2)''R''. Man har derfor at 

: <math> c_P - c_V = R </math>

som gjelder for alle ideelle gasser, uansett om gasspartiklene har indre frihetsgrader eller ikke.<ref name = Atkins/>

Tilsvarende kan den spesifikke varmekapasiteten  beregnes fra definisjonen ''c<sub>V</sub>'' = ''C<sub>V</sub>''&thinsp;/''m''. Her er massen til gassen ''m = nM'' hvor ''M'' er den [[molar masse|molare massen]] til gasspartiklene.  Dermed er ''c<sub>V</sub>'' = (3/2)''nR&thinsp;''/''nM'' = (3/2)&thinsp;''R<sub>s</sub>'' gitt ved den [[gasskonstant|spesifikke gasskonstanten]] ''R<sub>s</sub>'' = ''R''/''M''. Den varierer fra gass til gass. For luft har den [[gasskonstant|verdien]] ''R<sub>s</sub>'' = 287 J/kg K.

===Ekvipartisjonsprinsippet===

[[Luft]] består hovedsakelig av 2-atomige molekyler  O<sub>2</sub> og  N<sub>2</sub>. Hvert molekyl beveger seg fritt og gir opphav til den ideelle tilstandsligningen. Fra [[kinetisk teori]] gir denne frie bevegelsen i tre retninger en indre energi som er (3/2)''k<sub>B</sub>T'' per partikkel hvor ''k<sub>B</sub>'' er [[Boltzmanns konstant]]. Det er vanlig å si at bidraget (1/2)''k<sub>B</sub>T'' til den indre energien som skyldes bevegelse i en bestemt retning, tilsvarer  bidraget fra en «frihetsgrad». 

Et molekyl  har flere frihetsgrader enn de tre som skyldes fri  translasjon i tre retninger. Molekylet kan også rotere og vibrere. Disse bidragene kan regnes ut, men da med [[statistisk mekanikk]] hvor [[kvantemekanikk]] vil måtte brukes. Hver frihetsgrad kan da vises å bidra  (1/2)''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' til den indre energien. Dette resultatet kalles ofte for [[ekvipartisjonsprinsipp]]et.<ref name = Hemmer>P.C. Hemmer, ''Termisk Fysikk'', Tapir Forlag, Trondheim (1989). ISBN 82-519-0929-5.</ref>

For et 2-atomig molekyl er det bare to frihetsgrader som skyldes rotasjon. Disse oppstår ved at molekylet kan rotere rundt to akser, begge vinkelrett til aksen som forbinder de to atomene. Rotasjon om denne aksen er neglisjerbart da atomene er så små at [[treghetsmoment]]et om aksen kan sees bort fra.  Dermed vil den molare varmekapasiteten for slike molekyl bli ''c<sub>V</sub>'' = (3/2 + 2/2)''R'' = (5/2)''R''.  Først ved veldig høye temperaturer vil de to frihetsgradene som skyldes vibrasjon, bidra. Det er en konsekvens lav [[Boltzmann-fordeling]]en. Ved slike høye temperaturer blir da varmekapasiteten ''c<sub>V</sub>'' = (7/2)''R''.

For luft ved romtemperatur forventes nå en spesifikk varmekapasitet å være {{nowrap|''c<sub>V</sub>'' {{=}} (5/2)''R<sub>s</sub>''}} = 720 J/kg K. Da ''c<sub>P</sub> - c<sub>V</sub> = R<sub>s</sub>'', gir dette  ''c<sub>P</sub>'' = 1,00 kJ/kg K. Samtidig blir [[adiabateksponenten]] {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} ''c<sub>P</sub>''&thinsp;/''c<sub>V</sub>''}} = 7/5 = 1.4  som også stemmer godt med målinger.<ref name = Atkins/>

==Reelle gasser==

Ingen gasser er helt ideelle selv om det ofte er en god antagelse. Partiklene de inneholder, vil ha gjensidige vekselvirkninger og deres egenvarmer må beregnes ved bruk av [[statistisk mekanikk]]. Men uansett gass gjelder må den beskrives i overensstemmelse med [[termodynamikk]]en. Fra dens lover og definisjonene av de to varmekapasitetene, vil de da alltid måtte oppfylle [[Termodynamikk#Varmekapasiteter|sammenhengen]]

: <math>  C_P - C_V = T \left({\partial P\over\partial T}\right)_V \left({\partial V\over\partial T}\right)_P </math>

For en ideell gass gir den som forventet <math>  C_P - C_V = nR.</math>  For en reell gass kan man på høyre side uttrykke de to termodynamiske deriverte ved hjelp av koeffisientene for [[kompressibilitet]] og [[termisk ekspansjon]].  De kan også beregnes direkte fra gassens [[tilstandsligning]]. For eksempel, hvis denne er [[van der Waals tilstandsligning|van der Waals ligning]] 

: <math> P = {RT\over v - b} - {a\over v^2} </math>

der ''v'' = ''V''/''n&thinsp;''  er det [[Molart volum|molare volumet]], blir

: <math>  \left({\partial P\over\partial T}\right)_v =  {R\over v - b} </math>

: <math> R \left({\partial T\over\partial v}\right)_P =  P + {a\over v^2}  + (v - b)\left(-{2a\over v^3}\right) </math>

Det gir

: <math> \begin{align} c_P - c_V &=  {R\over 1 - 2a(v - b)^2/RTv^3} \\ &\approx R\left( 1 + {2a\over v^2P}\right) \end{align} </math>

hvor man I det siste leddet antar at avviket fra den ideelle gassloven er lite.<ref name = Sears/>

==Faste stoffer==
[[Fil:GraphHeatCapacityElements SelectedRange.png|thumb|360px|Målte verdier for spesifikke varmekapasiteter til faste stoffer synes å gruppere seg mellom 23 og 28&thinsp;J/mol&sdot;K.]]
Metaller og andre faste stoffer utvider seg lite under oppvarming, og det er derfor liten forskjell mellom ''c<sub>V</sub>&thinsp;'' og ''c<sub>P</sub>&thinsp;'' ved normale temperaturer. Molekylene i slike material ligger fast, og den spesifikke varmen får derfor ikke noe bidrag fra translasjonsenergi som er så viktig for gasser.<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>

===Dulong-Petits lov===

Allerede på begynnelsen av 1800-tallet ble det eksperimentelt konstatert at den spesifikke varmekapasiteten for mange faste stoffer syntes å ha en mer eller mindre konstant verdi {{nowrap|''c<sub>V</sub>'' {{=}} 3''R''}}. Da {{nowrap|''R'' {{=}} 8.3 J/mol&sdot;K,}} tilsvarer det spesifikke varmekapasiteter rundt 25&thinsp;J/mol&sdot;K. De fleste målte verdier syntes å ligge mellom 23 og 28&thinsp;J/mol&sdot;K bortsett fra varmekapasitetene for noen lettere stoffer.<ref name = Longair/>

Denne observasjonen ble snart omtalt som «Dulong-Petits lov» etter de to franske fysikerne som formulerte den. Selv om den hadde mange avvik, spilte den likevel en viktig rolle for den voksende forståelse for faste stoffer som ble etablert i årene som fulgte. Det skyldtes også at den var i overensstemmelse med ekvipartisjonsprinsippet som sier at partikler som kun kan oscillere rundt en likevektsposisjon, har 3 + 3 = 6 frihetsgrader og derfor en spesifikk varmekapasitet {{nowrap|''c<sub>V</sub>'' {{=}} 6 &times; ''R''/2}} = 3''R''.

På slutten av århundret var det også klart at faste stoffer inneholder [[elektron]]er. De kan bevege seg tilsynelatende uhindret i metaller på samme måte som partiklene i en gass. Deres kinetiske energi skulle ifølge ekvipartisjonsprinsippet bidra med (3/2)''R'' til varmekapasiteten, men det syntes å være helt fraværende i målinger.

===Einsteins modell===

På begynnelsen av 1900-tallet var det klart at Dulong-Petits lov ikke lenger er gyldig ved lavere temperaturer. Alle stoffer har da varmekapasiteter som er systematisk lavere enn den spesielle verdien 3''R''. Dette fikk sin forkllaring i 1907 da [[Albert Einstein]] foreslo en enkel [[Einsteins oscillatormodell| oscillatormodell]] hvor oscillasjone til et atom i et fast stoff ikke lenger er beskrevet ved klassisk mekanikk som ligger bak ekvipartisjonsprinsippet. På samme måte som egenskapene til [[sort stråling]] var blitt forklart av [[Max Planck]] noen år tidligere ved at slike [[harmonisk oscillator|oscillatorer]] bare kan oppta og avgi energi i diskrete [[kvant]], foreslo Einstein at det samme må skje under oppvarming. Hans modell forutsier også at den spesifikke varmen må gå mot null når den absolutte temperaturen til stoffet gjør det i overenstemmelse med eksperiment. Noen få år senere ble denne enkle modellen forbedret av [[Peter Debye]] og fikk den form den fremdeles har i dag.<ref name = Schroeder/>

En forklaring på hvorfor elektronene i et fast stoff ikke bidrar til varmekapasiteten, fikk først sin forklaring ved etableringen av moderne [[kvantemekanikk]] rundt 1925. Elektronene er [[fermion]]er og oppfyller [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] slik at de må beskrives ved [[Fermi-Dirac statistikk]] som viser at deres termiske energi kun er av betydning ved meget lave temperaturer. Den spesifikke varmen til [[boson]]er hadde Einstein beregnet et par år tidligere i forbindelse med formuleringen av [[Bose-Einstein statistikk]] for partikler med heltallig [[spinn]].

==Typiske verdier==

Ved romtemperatur kan typiske verdier for spesifikke varmekapasiteter for noen faste og flytende stoffer samt for luft, finnes i tabellen:

{| class="wikitable"
! Stoff !! ''c<sub>p</sub>'' &#91;kJ/(kg·K)&#93; !! ''c<sub>p</sub>'' &#91;J/(mol·K)&#93;
|-
| [[Jern]]      || ALIGN="right" | 0,45 || ALIGN="right" | 25,1
|-
| [[Aluminium]] || ALIGN="right" | 0,90 || ALIGN="right" | 24,2
|-
| [[Vann]]    || ALIGN="right" | 4,18 || align="right" | 75,3
|-
| [[Etanol]]    || ALIGN="right" | 2,44  || ALIGN="right" | 112,0
|-
| [[Luft]]   || ALIGN="right" | 1,00 || ALIGN="right" | 29,1 
|-
|}

==Referanser==
<references />

==Litteratur== 

* Ali Ghaderi: [https://www.researchgate.net/publication/266419962_Gten_om_spesifikk_varmekapasitet_%28The_specific_heat_riddle%29 Gåten om spesifikk varmekapasitet], Symmetri, 3,1/2, 12-16, 1996.

==Eksterne lenker==

* LibreTexts, [https://phys.libretexts.org/Courses/Joliet_Junior_College/Physics_201_-_Fall_2019/Book%3A_Physics_(Boundless)/12%3A_Heat_and_Heat_Transfer/12.2%3A_Specific_Heat ''Specific Heat''], detaljert presentasjon

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Fysikk]]
[[Kategori:Termodynamikk]][[ca:Calor específica]]