Redigerer Roterende referansesystem

Et '''roterende referansesystem''' er et [[referansesystem]] som roterer relativt til et [[treghetssystem]]. Et dagligdags eksempel  er overflaten på [[jorden]].

== Fiktive krefter ==
Alle ikke-treghetssystemer innehar [[fiktiv kraft|fiktive krefter]]. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter: 

* [[sentrifugalkraft]]
* [[corioliskraft]]
og for ikke-uniforme roterende referansesystem
* [[eulerkraft]]

Forskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne [[Léon Foucault]] vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke [[Foucaults pendel]]. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86&nbsp;sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende [[karusell]].

== Forhold mellom posisjoner i to referansesystem ==
For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene <math>\left( x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime} \right)</math> i det roterende referansesystemet og koordinatene <math>\left( x, y, z \right)</math> i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om <math>z</math>-aksen med [[vinkelfart]]en <math>\omega</math> og de to referansesystemene samsvarer ved tiden <math>t=0</math>, så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

:<math>x = x^{\prime}\ \cos\omega t + y^{\prime}\ \sin\omega t</math>
:<math>y = y^{\prime}\ \cos\omega t - x^{\prime}\ \sin\omega t</math>

og den reverse transformasjonen er 

:<math>x^{\prime} = x\ \cos\left(-\omega t\right) - y\ \sin\left( -\omega t \right)</math>
:<math>y^{\prime} = y\ \cos\left( -\omega t \right) + x\ \sin\left( -\omega t \right)</math>

Dette resultatet får man ved å bruke en [[rotasjonsmatrise]].

== Generell utledning i et roterende referansesystem ==
Dersom man har enhetsvektorene <math>i, j, k</math> til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten <math> \omega </math> så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:
:<math> \frac{dl}{dt}=\omega \times l</math>,
der <math> l=\{i,j,k\} </math>. Så om vi da har en funksjon , <math> f(t)=f_x(t) i+f_y(t) j+f_z(t) k</math> og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:
:<math>\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{di}{dt}f_x+\frac{df_y}{dt}j+\frac{dj}{dt}f_y+\frac{df_z}{dt}k+\frac{dk}{dt}f_z</math>
:<math>\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{df_y}{dt}j+\frac{df_z}{dt}k+[\omega \times (f_x i + f_y j+f_z k)]</math>
:<math>\frac{\delta f}{\delta t}+\omega\times f(t)</math>
Der <math>\frac{\delta}{\delta t}</math> er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom <math>f(t)</math> roterer med samme fart som enhetsvektorene (<math>\omega</math>) så er <math>\frac{\delta f}{\delta t}=0</math>.

== Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene ==
Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

:<math>\mathbf{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{d\mathbf{r}}{dt}</math>

Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

:<math> 
\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{roterende}} + 
\boldsymbol\omega \times </math>

der vektoren <math>\boldsymbol\omega</math> peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som [[vinkelfart]]en. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema: 

:<math> 
\mathbf{v}_{\mathrm{treghet}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{roterende}} + 
\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = 
\mathbf{v}_{\mathrm{roterende}} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}
</math>

=== Bevis for ligningen ===
La oss tenke oss en vektor '''a'''<sub>treghet</sub> i treghetssystemet, og '''a'''<sub>roterende</sub> er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. ''P''<sub>t</sub> er posisjonen til vektoren '''a''' ved tiden ''t'' i treghetssystemet, ''Q'' er et punkt som har samme startposisjon som ''P''<sub>0</sub> (''Q''<sub>0</sub> = ''P''<sub>0</sub>) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .

Etter svært kort tid ''δ'' ''t'', har vi at vektoren ''Q''<sub>0</sub> ''Q''<sub>δ t</sub> er
:<math>\boldsymbol\omega \times \mathbf {a}_{\mathrm{treghet}} \cdot \delta t</math>
ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi
:<math>\overline{P_0 P_{\delta t}} = \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} = \overline{P_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \overline{Q_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \boldsymbol\omega  \times \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} \cdot \delta t + \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}}</math>
deriverer vi på tid får vi
:<math>\mathbf{\dot a}_{\mathrm{treghet}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} + \mathbf{\dot a}_{\mathrm{rotasjon}}</math>
og ser at 
:<math>\boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}}</math>

== Forhold mellom akselerasjon i de to systemene ==
Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

:<math> 
\mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   
\left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left( \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left[  \left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + 
\boldsymbol\omega \times 
\right]
\left[
\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + 
\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} 
\right] 
</math>

Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

:<math> 
\mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = 
\mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} - 
2 \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}} - 
\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r}) - 
\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}
</math>

der <math>\mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\mathrm{rotasjon}}</math> er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet. 

De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke [[Newtons bevegelseslover|Newton sin andre bevegelseslov]] <math>F=ma</math>, får vi

* [[corioliskraft]] en

:<math>
\mathbf{F}_{\mathrm{Coriolis}} = 
-2m \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}}
</math>

* [[sentrifugalkraft]]en

:<math>
\mathbf{F}_{\mathrm{sentrifugal}} = 
-m\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r})
</math>

* [[eulerkraft]]en

:<math>
\mathbf{F}_{\mathrm{Euler}} = 
-m\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}
</math>

der <math>m</math> er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.

Treghetsakslerasjonen <math>\mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}}</math> kan man finne ut fra den totale fysiske kraften <math>\mathbf{F}_{\mathrm{tot}}</math> (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som [[elektromagnetisme]]) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.

:<math>
\mathbf{F}_{\mathrm{tot}} = m \mathbf{a}_{\mathrm{inertial}}
</math>
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Klassisk mekanikk]]
[[Kategori:Grunnleggende konsepter i fysikken]]