Redigerer Pi

{{Andrebetydninger}}
[[Fil:Pi-unrolled-720.gif|thumb|En sirkel med diameter lik 1 har en omkrets lik {{pi}}.]]
Den matematiske konstanten {{pi}} (symbol: [[pi (bokstav)|{{pi}}]] (minuskel '''pi'''), gresk bokstav) er definert som forholdet mellom [[omkrets]]en og [[diameter]]en til en [[sirkel]]: {{nowrap|1=Omkrets = {{pi}} × diameter}}. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til {{pi}} for hverdags bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange ikke-sykliske desimaler, dermed er {{pi}} et [[irrasjonalt tall]] eller mer spesifikt et [[transcendentalt tall]].

Man bruker tallet {{pi}}, som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av [[Sirkel|sirkler]] eller [[ellipse]]r. {{pi}} brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av [[kjegle]]r, [[sylinder|sylindre]] og [[kule (geometri)|kuler]]. Også i [[trigonometri]]en er {{pi}} en grunnleggende konstant.

En numerisk tilnærming til pi, er: {{pi}} ≅ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679<ref>{{Kilde www|url=http://www.gutenberg.org/files/50/50.txt|tittel=Pi to 1,000,000 places}}</ref> (100 desimaler).

I 2022 ble {{pi}} kalkulert til 100 billioner desimaler av [[Google]], noe som tok i overkant av fem måneder.<ref>{{Kilde www|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-100-trillion-digits-of-pi-on-google-cloud/|tittel=Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud|besøksdato=2022-06-10|språk=en|verk=Google Cloud Blog}}</ref>

[[Pi-dagen]] markeres den 14. mars etter amerikansk datering m-dd: 3.14, eller internasjonal datering den tredje dagen i uke 14 (2023: 5. april).

[[Fil:Greek lc pi icon.svg|thumb|[[Minuskel]]en {{pi}}.]]
[[Fil:Circle_Area.svg|thumb|Arealet til sirkelen er lik {{pi}} x r².]]

== Historie ==
{{pi}} har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

{| class="wikitable" border
| [[Babylon]]erne || ca. 2000 f.&nbsp;Kr. || 3,125 
|-
| [[Oldtidens Egypt|Egypterne]] || ca. 2000 f.&nbsp;Kr. || 3,160 45 
|-
| [[Salomo]] || ca. 950 f.&nbsp;Kr.{{fotnote|1}} || 3<ref>{{bibelvers|1. Kong 7,23}}</ref><ref>{{bibelvers|2. Krøn 4,2}}</ref>
|-
| [[Arkimedes]] || ca. 250 f.&nbsp;Kr. || 3,141 8 {{Nowrap|(223/71 < {{pi}} < 22/7)}} 
|-
| [[Liu Xin]] || ca. [[5]] f.&nbsp;Kr. || 3,125 (25/8)
|-
| [[Zu Chongzhi]] || ca. 480 e.&nbsp;Kr. || {{Nowrap|3,141 592 920}} (355/113)
|-
| Otho || [[1573]] || {{Nowrap|3,141 592 9}} 
|-
| Viete || [[1593]] || {{Nowrap|3,141 592 653 6}} 
|-
| [[Ludolph van Ceulen]] || ca. 1600 || {{Nowrap|3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88}} – 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes.
|-
| [[William Shanks]] || [[1873]] || Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil.
|-
| [[John von Neumann]] m.fl. || 1949 || 2037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen [[ENIAC]], kjøringen tok 70 timer.
|-
| [[Jean Guilloud|Guilloud]] og Bouyer || [[1973]] || {{Formatnum: 1001250}} desimaler.
|-
| [[Yasumasa Kanada|Kanada]] og Tamura || [[1989]] || {{Formatnum: 1073741799}} desimaler.
|-
| [[Yasumasa Kanada]] || [[2004]] || {{Formatnum: 1241100000000}} desimaler ved hjelp av en PC.
|-
| [[Fabrice Bellard]]<br/>Alexander Yee<br/>Shigeru Kondo || [[2009]]<br/>[[2013]] || {{Formatnum:2699999990000}} desimaler.<br/>{{formatnum:12100000000050}} desimaler.
|-
| [[Emma Haruka Iwao]]/[[Google]] || [[2019]] || {{formatnum:31415926535897}} desimaler.
|}

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i [[Leiden]] i [[Nederland]] i 1610.

I 1761 beviste [[Johann Heinrich Lambert]] at {{pi}} er [[irrasjonalt tall]]. [[Transcendentalt tall|Transcendensen]] til tallet ble bevist i 1882 av [[Ferdinand von Lindemann]].

== Beregning ==
=== Behovet for nøyaktighet av {{pi}} ===
Siden {{pi}} er et  irrasjonalt tall er det ikke grenser for hvor nøyaktig man kan beregne {{pi}}, men er det egentlig nødvendig? – NASA bruker i sine baneberegninger for interplanetære reiser 16 [[gjeldende sifre|signifikante sifre]].<ref>{{cite|title="Hvor mange desimaler i pi trenger vi virkelig?"|url=https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/|accessdate=3. mars 2018|publisher=NASA}}</ref> Det viser seg at 39 signifikante siffer er tilstrekkelig til å beregne de fleste [[kosmologiske konstanter]], siden du da kan beregne omkretsen av universet med en nøyaktighet på ett atom.<ref>{{cite|title=Pi and the size of the Universe|author=James Grime|publisher=Numberphile|url=https://www.youtube.com/watch?v=FpyrF_Ci2TQ}}</ref> Hvis man tar hensyn til avrundingsfeil vil noen få hundre siffer være nok til alle tenkelige vitenskapelige formål.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}}</ref><ref name="msnbc.msn.com">{{cite news|title=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi|first=Matt|last=Schudel|newspaper=The Washington Post|date=25. mars 2009|page=B5}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{cite news|title=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?|url=https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|newspaper=The Independent|date=8. januar 2010|accessdate=14. april 2012|location=London|first=Steve|last=Connor|url-status=live| archiveurl=https://web.archive.org/web/20120402220803/http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|archivedate=2. april 2012|df=dmy-all}} {{Kilde www |url=https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |tittel=Arkivert kopi |besøksdato=2018-03-03 |arkiv-dato=2012-04-02 |arkiv-url=https://web.archive.org/web/20120402220803/https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |url-status=unfit }}</ref> π er nok er matematikkens mest kjente konstant som historisk har vært vanskelig å beregne med høy presisjon, men det har også visse praktiske fordeler, slik som at beregningsalgoritmer for {{pi}} brukes til å teste [[superdatamaskin]]er, testing av [[numerisk analyse|numeriske algoritmer]] og i ren matematikk der man trenger data for å evaluere forutsigbarheten i {{pi}}.<ref name="Arndt_c">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=18}}</ref>

=== Algoritmer for beregning av {{pi}} ===
Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt (trenger 152 trinn før det beregnede tallet kan avrundes til 3,14) og som ofte blir kalt [[Gottfried Leibniz|Leibniz]]' formel er
:<math>{\pi \over 4} = \sum_{k = 0}^{\infty}{{(-1)^k} \over {2 k + 1}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots</math>

eller som en tilnærming
:<math>\pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406 </math>

I det ovenstående er {{pi}} angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren [[Srinivasa Aiyangar Ramanujan]] fra [[India]] mange nye formler for {{pi}}. Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn.<ref name="rad">{{Cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html|title=The constant π: Ramanujan type formulas|accessdate=2007-11-04}}</ref> Spesielt denne er berømt:

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>

Der <math>k!</math> er [[fakultet (matematikk)|fakultet]] av <math>k</math>; dvs. <math>0! = 1</math>, <math>1! = 1</math>, <math>2! = 2 \times 1</math>, <math>3! = 3 \times 2 \times 1</math>, <math>4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1</math>, osv.

Første iterasjon med <math>k = 0</math> gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler …
 
Et annet eksempel på en formel for {{pi}} som ikke konvergerer særlig raskt er denne:

<math>\pi = \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{m-1} \frac{8\sqrt{km-k^2}}{m^2} </math>

== Formler der {{pi}} opptrer ==

=== Geometri ===
{{Pi}} forekommer i mange [[geometri]]ske formler for [[sirkel|sirkler]], [[kule (geometri)|sfære]]r og andre runde objekter.

{| border="1" cellpadding="5" style="border-collapse: collapse; border-color:#cccccc;"
!<!--- Bild --->
!Geometrisk form
!Formel
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Geometri cirkel.png|75px|Sirkel]]
|[[Omkrets]]en av en sirkel med [[radius]] <math>r</math> og [[diameter]] <math>d</math>
|<math>O = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[Areal]]et av en sirkel med radien <math>r</math>
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|[[Fil:Elipse.svg|75px|Ellipse]]
|Arealet av en [[ellipse]] med halvaksene <math>a</math> og <math>b</math>
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Sphere wireframe.svg|75px|Sfære]]
|[[Volum]]et av en [[kule (geometri)|sfære]] (kule) med radius <math>r</math> og diameter <math>d</math>
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!</math>
|-
|[[Areal|Overflateareal]]et av en sfære med radius <math>r</math>
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Cylinder geometry.svg|50px|center|Sylinder]]
|Volumet av en [[sylinder]] med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|[[Areal|Overflateareal]]et av en sylinder med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Kon (geometry).png|75px|Kon]]
|Volumet av en [[kjegle]] med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|[[Areal|Overflateareal]]et av en kjegle med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}

=== Analyse ===
Tallet {{pi}} er tett forbundet med de [[Komplekst tall|komplekse tallene]], noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i [[Eulers formel]] for den komplekse [[eksponentialfunksjon]]en,
:<math>e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta.\,</math>

Et spesialtilfelle er [[Eulers likhet]],
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0,\,</math>
som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av [[Richard Feynman]] fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: <math>0</math>, <math>1</math>, [[e (matematikk)|<math>e</math>]] som er basisen for de [[Naturlig logaritme|naturlige logaritmene]], den [[Imaginær enhet|imaginære enheten]] <math>i</math> som de komplekse tallene defineres ut fra og {{pi}}. Videre følger for eksempel av [[residysatsen]] for [[kurveintegral]]er at
:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i.</math>

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>

=== Øvrig matematikk ===
* En [[integral (matematikk)|integral]]formel, (se ''[[normalfordeling]]''):
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

* [[Baselproblemet]], først løst av [[Leonhard Euler|Euler]] (se også ''[[Riemanns zeta-funksjon]]''):
:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
:Generelt er <math>\zeta(2n)</math> et rasjonelt multiplum av <math>\pi^{2n}</math> for det positive heltallet <math>n</math>.

* [[Gammafunksjonen]] utregnet ved ½:
:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

* [[Stirlings formel]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

* Egenskapen av [[Eulers phi-funksjon]] (se også ''[[Fareysekvens]]''):
:<math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>

== Omtrentlige verdier av π ==

*<math>22/7 = 3{,}14285714285714...</math> 2 desimalers nøyaktighet, er en av de [[Diofantiske approksimasjoner]]
*<math>355/113 = 3{,}14159292035398...</math> 6 desimalers nøyaktighet, funnet av en den kinesiske matematiker og astronom [[Zu Chongzhi]] rundt år 450 [[e.kr.]] Det tok ca 1000 år å finne den neste rasjonelle approksimasjonen med flere desimaler <math>86953/27678</math>.
*<math>\sqrt[4]{2143/22} = 3{,}1415926525...</math> 8 desimalers nøyaktighet, en av mange approksimasjoner funnet av [[Srinivasa Ramanujan]]

== {{Pi}} på avveier ==
I 1897 var [[kongress]]en i delstaten [[Indiana]], i USA, i ferd med å vedta en lov som bl.a. kunne tolkes som en avrunding av {{pi}} til 3,2 i stedet for 3,14.<ref name=":1">{{Kilde www|url=https://abcnews.go.com/US/happy-pi-day-indiana-define-pi-32-bill/story?id=61644614|tittel=What happened when one state tried defining pi as 3.2|besøksdato=2019-10-14|fornavn=A. B. C.|etternavn=News|språk=en|verk=ABC News}}</ref> Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket.<ref name=":1" />

Nordmannen [[Andreas Dahl Uthaug]] utga i [[1916]] en bok om et eget norsk {{pi}}, som var nøyaktig 3,125.<ref>[http://www.forskning.no/Artikler/2005/april/1114507179.04 Forskning.no] {{Wayback|url=http://www.forskning.no/Artikler/2005/april/1114507179.04 |date=20110812030010 |df=iso }}</ref>

== Bruk (utvalg) ==

* utregning av størrelsen på [[Fallskjerm|fallskjermen]] som er nødvendig til å lande en [[Rover (romfart)|rover]] på [[Mars (planet)|Mars]]<ref name=":0">{{Kilde avis|tittel=Woman smashes pi world record|url=https://www.bbc.com/news/technology-47524760|dato=2019-03-14|besøksdato=2019-03-15|språk=en-GB|fornavn=Zoe|etternavn=Kleinman}}</ref>
* utregning av hvor mange rektangulære kamerabilder er nødvendig for å kartlegge overflaten av en planet<ref name=":0" />
* få et [[romskip]] til å bremse til akkurat riktig tid når det skal gå inn i den fastlagte banen rund en planet<ref name=":0" />

== Fotnoter ==
#{{fotnote|1}} Tidsangivelsen kan være omstridt, det er her tatt utgangspunkt i tidsangivelsen slik den fremkommer i [[Nevi'im]] og ikke når Nevi'im er skrevet ned.

== Referanser ==
<references/>

== Diverse ==
* David Blatner: ''The Joy of Pi'', Walker & Company ([[1997]]), ISBN 0-8027-1332-7.
* I [[1998]] debuterte [[Darren Arnofsky]] med en film med navnet [[pi (film)|pi]] som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet {{pi}}.

== Eksterne lenker ==
* {{Språkikon|no|Norsk}} [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/ Norsk side om {{pi}}]
* {{Språkikon|en|Engelsk}} [https://web.archive.org/web/20100330165848/http://zenwerx.com/pi/ {{Pi}} med fire millioner desimaler]
* {{Språkikon|en|Engelsk}} [https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory]
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Transcendentale tall]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]
[[Kategori:Matematiske konstanter]]