Redigerer Pauli-ligning

[[Fil:Wolfgang Pauli.jpg|thumb|[[Wolfgang Pauli]] på den tiden han utviklet teorien for partikler med spinn-1/2.]]

'''Pauli-ligningen''' ble stilt opp av [[Wolfgang Pauli]] i 1927 og er en utvidelse av [[Schrödinger-ligning]]en. Den beskriver partikler med [[spinn]] ''s'' = 1/2 som beveger seg mye langsommere enn [[lyshastighet]]en. I et [[magnetfelt]] gir den opphav til en kobling som ikke finnes i [[klassisk mekanikk]]. For [[elektron]]et tilsvarer dette et [[magnetisk moment]] med et gyromagnetisk forhold som er ''g<sub>e</sub>'' = 2 med god nøyaktighet. Denne egenskapen ble tydelig demonstrert i [[Stern-Gerlach eksperimentet]].

Arbeidet til Pauli ga den første, matematiske beskrivelse av spinn-1/2 partikler i [[kvantemekanikk]]en. Det inneholdt også en utledning av [[Pauli-matrise]]ne som senere har fått stor betydning i mange andre sammenhenger.

Ligningen til Pauli kan avledes som en approksimasjon til [[Dirac-ligning]]en ved lave hastigheter. Når elektronet beskrives ved denne relativistiske ligningen slik den inngår i [[kvanteelektrodynamikk]]en, kan dets ''g''-faktor beregnes med meget stor nøyaktighet i full overensstemmelse med alle eksperiment.

==Formulering==

[[Bølgefunksjon]]en som inngår i [[Schrödinger-ligning]]en for én partikkel, er en [[komplekst tall|kompleks]], [[skalar]] funksjon ''&psi;''('''r''',''t''). Når partikkelen har [[spinn]] ''s'' = 1/2, må den beskrives ved en [[Kvantisert dreieimpuls#Spinorer|spinor]] 

: <math> \psi = \begin{pmatrix} \psi_+(\mathbf{r},t) \\ \psi_- (\mathbf{r},t) \end{pmatrix} </math>

hvor begge komponentene er komplekse funksjoner. Av denne grunn vil [[Hamilton-operator]]en ''H&thinsp;'' i den tidsavhengige Schrödinger-ligningen

: <math>  i\hbar {\partial\over\partial t} \psi(\mathbf{r},t)  = H \psi(\mathbf{r},t) </math>

være en [[Matrise#Matrisetyper|hermitisk]], 2&thinsp;&times;&thinsp;2 [[matrise]]. Enhver slik matrise kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av [[Pauli-matrise]]r. På denne måten oppstår Pauli-ligningen.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

For en fri partikkel med masse ''m&thinsp;'' må Hamilton-operatoren forenkles til ''H'' = '''p'''<sup>2</sup>/2''m&thinsp;'' der impulsen er derivasjonsoperatoren {{nowrap|'''p''' {{=}} - ''iħ '''''&nabla;'''}}. Hvis partikkelen i tillegg har en [[potensiell energi]] ''V''('''r'''), kan man nå skrive 

: <math> H = {1\over 2m} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p})^2 + V(\mathbf{r}) </math>

der spinnvektoren '''&sigma;''' = (''&sigma;<sub>x</sub>'', ''&sigma;<sub>y</sub>'', ''&sigma;<sub>z</sub>''). Pauli-matrisene har den spesielle egenskapen at ('''&sigma;'''&sdot;'''p''')<sup>2</sup> = '''p'''<sup>2</sup>. Det betyr at hver komponent til spinoren i dette tilfellet vil utvikle seg uavhengig av den andre som om partikkelen ikke hadde noe spinn.

===Elektromagnetisk kobling===

Når partikkelen har en elektrisk ladning, kan den koble til [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]]. De kan uttrykkes ved et [[elektrisk potensial]] <math> \Phi </math> samt et [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|vektorpotensial]] som gir  [[magnetfelt]]et <math> \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}. </math> Kravet om invarians under [[gaugetransformasjon]]er medfører da at en partikkel med elektrisk ladning ''e&thinsp;'' har en  magnetisk kobling til feltet som kan finnes ved substitusjonen  <math> \mathbf{p}\rightarrow  \mathbf{p} - e\mathbf{A}. </math>  Det samme kravet om gaugeinvarians gjelder også i kvantemekanikken uavhengig av partikkelens spinn.<ref name = Sakurai> J.J. Sakurai, ''Modern Quantum Mechanics'', The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.</ref>

Hamilton-operatoren for en spinn-1/2 partikkel blir nå

: <math> H = {1\over 2m} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 + e\Phi </math>

hvor <math> \boldsymbol{\pi} = \mathbf{p} - e\mathbf{A} </math> og den potensielle energien er <math> V = e\Phi.</math> Her er '''p''' en operator og kommuterer generelt ikke med vektorpotennsialet. Direkte utregning gir

: <math> \left[\pi_i, \pi_j\right] = ie\hbar (\partial_i A_j - \partial_j A_i ) = ie\hbar\, \varepsilon_{ijk} B_k </math>

når høyre side uttrykkes ved [[Levi-Civita-symbol]]et. Da dette definerer et [[vektorprodukt]], har man dermed operatorrelasjon

: <math> \boldsymbol{\pi}\times\boldsymbol{\pi} =  ie\hbar\mathbf{B} </math>

Dette kan benyttes i Hamilton-operatoren som inneholder <math> (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}\cdot\boldsymbol{\pi}  + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{\pi}\times\boldsymbol{\pi}). </math> Pauli-ligningen tar dermed sin endelige form

: <math>  i\hbar {\partial\over\partial t} \psi = \left[ {1\over 2m} (\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2 - {e\hbar\over 2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}  + e\Phi \right]\! \psi </math>

I tillegg til det første leddet som følger fra klassisk mekanikk for partikler uten spinn, opptrer et nytt ledd som er rent kvantemekanisk da det er proporsjonalt med Plancks konstant. Det skyldes partikkelens spinn uttrykt ved Pauli-matrisene.<ref name = Pauli>W. Pauli, ''Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons'', Zeitschrift für Physik '''43''',  601-623 (1927). [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/4/3/6/34363841/pauli_-_the_magnetic_electron.pdf Engelsk PDF].</ref>

==Gyromagnetiske forhold==

Et gitt magnetfelt '''B''' kan uttrykkes ved forskjellige vektorpotensial '''A''' som er forbundet ved [[gaugetransformasjon]]er. Det gjør det mulig å forlange at det skal ha egenskapen '''&nabla;'''&sdot;'''A''' = 0. Da kan man skrive at '''p'''&sdot;'''A''' = '''A'''&sdot;'''p''' som ellers ikke ville være tillatt da '''p''' er en operator som virker på alt som står til høyre for seg. Når magnetfeltet '''B''' i tillegg er konstant, kan vektorfeltet skrives på den enkle måten

: <math> \mathbf{A} = {1\over 2}\mathbf{B}\times\mathbf{r} </math>

som er en annen fordel med denne «Coulomb-gaugen». Dermed blir 

: <math>  \mathbf{p}\cdot\mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = 2\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \mathbf{B}\cdot\mathbf{L} </math>

hvor <math> \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} </math> er [[Kvantisert dreieimpuls|dreieimpulsen]] til partikkelenn. Hamilton-operatoren i Pauli-ligningen blir nå

: <math> H = {1\over 2m} \mathbf{p}^2 - {e\over 2m}\mathbf{B}\cdot(\mathbf{L} + 2\mathbf{S}) + {e^2\over 8m}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})^2  </math>

der spinnoperatoren til partikkelen er <math> \mathbf{S} = (\hbar/2) \boldsymbol{\sigma} </math> og det elektriske potensialet er satt lik null.<ref name = Sakurai/>

Det midtre leddet viser at magnetfelt '''B''' kobler direkte til partikkelens dreieimpuls '''L''' og spinn '''S''' som [[Magnetisk moment|magnetiske moment]]. Bidraget fra spinnet alene er

: <math> \boldsymbol{\mu}  =  g {e\over 2m}\mathbf{S} </math>

med ''g'' = 2 for det gyromagnetiske forholdet. Derimot er ''g'' = 1 for det tilsvarende bidraget fra den orbitale bevegelsen. Begge disse bidragene kan kombineres i [[Landés g-faktor]]. Da egenverdiene til ''S<sub>z</sub>'' = &pm;&thinsp;''ħ''/2, blir størrelsen av det magnetiske momentet langs ''z''-retningen gitt i enheter av «Bohr-magnetoner» {{nowrap|''&mu;<sub>B</sub>'' {{=}} ''eħ''/2''m<sub>e</sub>''}} for elektronet med masse ''m<sub>e</sub>''.

Eksperiment viser at ''g''-faktoren til elektronet er veldig nær ''g'' = 2. Aviket fra denne verdien kan forklares ved [[kvanteelektrodynamikk]] der også det elektromagnetiske feltet blir kvantisert.<ref name = MS> F. Mandl and G. Shaw, ''Quantum Field Theory'', John Wiley & Sons, New York (1984). ISBN 0-471-90650-6.</ref>

[[Proton]]et har også spinn ''s'' = 1/2 og skulle i prinsippet også kunne beskrives ved Pauli-ligningen. Men dets gyromagnetiske forhold er ikke ''g'' = 2, men derimot ''g<sub>p</sub>'' = 5.59. Dette forstås i dag ved at protonet er en sammensatt partikkel bestående av [[kvark]]er. Hver kvark har ''g'' = 2, men ulike ladninger. Det forklarer også at [[nøytron]]et har et magnetisk moment med ''g<sub>n</sub>'' = - 3.83 selv om dets totale, elektriske ladning er null.<ref name = BM> J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==

* J.A, Støvneng, [http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4215_2020/lecturenotes/lecturenotes12.pdf Magnetic Moments and Spins], forelesning i TFY4215, NTNU (2020).

[[Kategori: Kvantemekanikk]]
[[Kategori: Magnetisme]]