Redigerer Opphopningspunkt

Et '''opphopningspunkt'''  (akkumuleringspunkt, grensepunkt) er i [[matematikk]] et element i en [[mengde]] som har uendelig mange andre elementer i en mengde nær seg. Et opphopningspunkt kan dermed tilnærmes med andre elementer i mengden, og et opphopningspunkt kan betraktes som en generalisering av en [[grenseverdi]].

I en formell matematisk definisjon må en presisere hva en mener med «nær» og «tilnærme».  Dette lar seg gjøre i et [[metrisk rom]], der en har definert et avstandsmål, en [[metrikk]]. Opphopningspunkt er også grunnleggende i [[topologi]].  

Et opphopningspunkt til en delmengde trenger ikke selv være et element i mengden, men det eksisterer da uendelig mange elementer i delmengden nær punktet.  Prosessen å utvide en mengde ''S'' til å inneholde alle sine opphopningspunkter kalles en ''tillukning av S'' og skrives cl(''S''), Cl(''S''), <math>\scriptstyle\bar{S}</math> eller ''S''<math>^-</math>. En mengde som inneholder alle sine opphopningspunkter kalles [[lukket mengde | lukket]], og for slike mengder er cl(''S'') = ''S''.

== Formell definisjon ==
Både for metriske rom og for topologiske rom defineres opphopningspunkt formelt ved hjelp av begrepet [[omegn (matematikk)|omegn]]:

Et element ''p'' i mengden ''V'' er et opphopningspunkt for delmengden ''W'' i ''V'' dersom en hver punktert omegn om ''p'' inneholder et element ''q'' i fra ''W''.<ref name=RUDIN>{{Kilde bok|forfatter=Walter Rudin| utgivelsesår=1976| tittel=Principles of Mathematical Analysis| utgivelsessted=Auckland| forlag=McGraw-Hill Book Company| side=32| isbn=0-07-085613-3 }}</ref><ref name=TOP>{{Kilde bok|forfatter= John G. Hocking, Gail S. Young| utgivelsesår=1988| tittel=Topology| utgivelsessted=New York| forlag= Dover Publications| side=1ff| isbn= 0-486-65676-4}}</ref>

Et element som ligger i ''W'' og som ikke er et opphopningspunkt for ''W'', kalles for et ''isolert punkt''.  

== Bolzano-Weierstrass’ teorem ==

[[Bolzano-Weierstrass' teorem]] kan for [[reelt tall|reelle tall]] formuleres som at hver begrenset uendelig mengde av reelle tall har minst ett opphopningspunkt.
Satsen gjelder også i et generelt [[euklidsk rom]].<ref name=COLLINS1>{{Kilde bok| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein| utgivelsesår=1989| tittel=Dictionary of mathematics| utgivelsessted=Glasgow| forlag=Collins| side=58| isbn=0-00-434347-6}}</ref>

Teoremet er navnsatt etter [[Bernhard Bolzano]] (1781-1848) og [[Karl Weierstrass]] (1815-1897).

== Opphopningspunkt og topologi ==

En mengde ''S'' har en topologi (er topologisert) dersom det for et hvert element ''p'' i ''S'' er mulig å svare på spørsmålet ''Er p et opphopningspunkt i S?''<ref name=TOP/>  Som definisjon er denne imidlertid for generell til å være praktisk, fordi den ikke stiller krav til egenskapene til opphopningspunkt.  Det er for eksempel mulig for en gitt mengde å alltid svare «ja», slik at et hvert element i mengden er et opphopningspunkt.  Det er også mulig
å alltid svare «nei», slik at mengden ikke har noen opphopningspunkter.  Denne siste topologien kalles den diskrete topologien.  For å få et mer brukbart utgangspunkt defineres topologi som regel ved hjelp av begrepet åpne mengder.  

En [[homeomorfi]] er en [[bijeksjon|bijektiv]] transformasjon ''f'' mellom to topologiserte mengder ''S'' og ''V'', der transformasjonen har egenskapen at ''f(p)'' er et opphopningspunkt i ''V'' hvis og bare hvis
''p'' er et opphopningspunkt i ''S''.<ref name=TOP/>  Dersom det er mulig å definere en homeomorfi mellom to mengder, så vil de ha de samme topologiske egenskapene.  

== Referanser ==

<references/>


{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Dynamiske systemer]]
[[Kategori:Grenser (matematikk)]]