Redigerer Norm (matematikk)

En '''norm''' er i [[matematikk]]  en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] som tilordner en [[lengde]] til enhver vektor i et [[vektorrom]].  Lengden er en reell [[skalar]] og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.  

Et vektorrom er en spesiell type [[metrisk rom]], der en i tillegg til avstandsmålet i et metrisk rom også har formalisert begrepet lengde av individuelle elementer i rommet.  I og med at normen introduserer et avstandsmål i rommet, vil normen også introdusere en [[topologi]] i rommet.  

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et ''normert rom'' eller et ''normert vektorrom''.  Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet.  

Dersom alle [[Cauchyfølge]]r i rommet konvergerer mot en grense som også ligger i rommet, sies vektorrommet å være ''komplett''.  Et komplett normert vektorrom kalles et [[Banachrom]].  

== Formell definisjon ==
La <math>V</math> være et vektorrom over en kropp <math>\mathbb{K}</math>, der <math>\mathbb{K}</math> er enten <math>\mathbb{R}</math> eller <math>\mathbb{C}</math>. En ''norm'' på <math>V</math> er en funksjon <math>\lVert \cdot \rVert : V \to [0, \infty)</math> slik at

:# <math>\lVert x \rVert \geq 0 </math> for alle <math>x \in V</math> med likhet hvis og bare hvis <math>x = 0</math>;
:# <math>\lVert \alpha x \rVert = | \alpha | \lVert x \rVert </math> for alle <math>\alpha \in \mathbb{K}</math> og alle <math>x \in V</math>; 
:# <math>\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert </math> for alle <math>x, y \in V. </math>

Den siste ulikheten kalles ''trekantulikheten''.

== Egenskaper ==
En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

:<math>\|x-y\| \ge | \; \|x\| - \|y\|\; | \, </math>,
som kalles ''den omvendte trekantulikheten.'' 

To normer || ||<sub>1</sub> og || ||<sub>2</sub> definert i samme vektorrom sies å være [[ekvivalensrelasjon|ekvivalente]] dersom det eksisterer konstanter ''m'' og ''M'' slik at

:<math>m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2 \, </math>

== Den euklidske normen ==
En velkjent norm for vektorrommene '''R'''<sup>2</sup> og '''R'''<sup>3</sup> er den såkalte euklidske normen.  Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.  

For en vektor ''v'' = (''x'', ''y'') i planet '''R'''<sup>2</sup> er den euklidske normen definert ved

:<math>\|v\| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.

For en vektor ''v'' = (''x'', ''y'', ''z'') i det tre-dimensjonale rommet '''R'''<sup>3</sup> er den euklidske normen definert ved

:<math>\|v\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>.

Mer generelt kan en definere en euklidsk norm som en norm avledet fra et [[indreprodukt]]:

:<math>\|v\| = <v,v>^{1/2} \, </math>. 

Det [[euklidsk rom|euklidske rommet]] er utstyrt med en euklidsk norm, sammen med et indreprodukt.<ref name=RUDIN/>

== ''p''-normer i koordinatrom ==
[[Fil:Vector_norms.svg|thumb|140px|Enhetssirkler i '''R'''² mht. forskjellige normer.]]
For vektorrommet '''R'''<sup>k</sup>, der ''k'' er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

: <math>x = (x_1, x_2, ....., x_k)  \, </math>, 

der ''x''<sub>i</sub> er koordinatene i rommet.  For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt ''p-normer'' eller også ''Hölder-normer'':

: <math>\|x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^k |x_i|^p}    \qquad  p \ge 1 </math>.

Den euklidske normen er identisk med 2-normen.  Den følgende normen regnes som et spesilatilfelle i familien, ved å la ''p'' gå mot uendelig:

: <math>\|x\|_\infty = \max\{x_i\,|\,1\leq i\leq k\}</math>

Figuren til høyre viser området i '''R'''<sup>2</sup> definert av enhetssirkelen <math>\|x\|_n = 1</math> for ulike verdier av ''n''. 

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av [[Minkowskis ulikhet]]:<ref name=MILNE2/>

:<math>\left( \sum_{i=1}^k |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^k |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^k |y_i|^p \right)^{1/p}</math>

== p-normer i funksjonsrom ==
Vektorrommet av funksjoner ''f'' (''t'' ) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen 

:<math>\int_0^1 | f(t) |^p dt < \infty  \qquad 1 \le p <  \infty </math>

kan utstyres med normen

:<math>\| f(t) \|_p = \left [ \int_0^1 | f(t) |^p dt \right ]^{1/p} </math>

Det normerte rommet som defineres på denne måten betegnes ofte med L<sub>p</sub>[0,1].

== Operatornormen ==
En [[lineær transformasjon]] <math>T : V \to W</math> mellom normerte vektorrom sies å være ''begrenset'' dersom det eksistere en konstant <math>K</math> slik at

:<math>\|Tv\| \le K \|v\|  \quad \text{for alle } v \in V. </math>
 
Den minste mulige slike <math>K </math> kalles ''operatornormen'' til <math>T. </math> Definisjonen kan også uttrykkes ved

:<math>\|T\| = \sup_{v \ne 0} \frac{\| Tv\| }{\|v\|}  = \sup_{\|v\| = 1} \| Tv\|  </math>. 

== Matrisenormer ==
Siden en [[matrise]] representerer en linær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise.  Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn.  Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm,  Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:<ref name=HB/>

:<math>\|A\|_2 = \sqrt{tr(A^H A)} \, </math>

== Se også ==
* [[Euklidsk geometri]]
* [[Ikke-euklidsk geometri]]

== Referanser ==

<references>

<ref name=MILNE2>[[#MILNE|R.D. Milne: ''Applied functional analysis...'']], ''The Hôlder and Minkowski inequalities'', s.271</ref>

<ref name=HB>
{{Kilde bok
| forfatter= Helmut Lütkepohl
| redaktør= 
| utgivelsesår=1996 
| artikkel=
| tittel= Handbook of Matrices
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Chichester
| forlag= John Wiley and Sons
| side=
| isbn= 0-471-97015-8
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

<ref name=RUDIN>
{{Kilde bok
| forfatter= Walter Rudin
| redaktør= 
| utgivelsesår=1976
| artikkel=
| tittel= Principles of mathematical analysis
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Singapore
| forlag= McGraw-Hill
| side=
| isbn= 0-07-085613-3
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

</references>

== Litteratur ==

*{{Kilde bok
| ref=MILNE
| forfatter= Ronald Douglas Milne
| redaktør= 
| utgivelsesår=1980
| artikkel=
| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= London
| forlag= Pitman Publishing Limited
| side=
| isbn=0-273-08404-6
| id=
| kommentar= 
| url= }}

== Eksterne lenker ==
* {{Offisielle lenker}}

{{Lineær algebra}}
{{Matematikk}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematisk analyse]]
[[Kategori:Metrisk geometri]]