Redigerer Maxwells forskyvningsstrøm

[[Fil:Current continuity in capacitor.svg|thumb|280px|Gjennom isolasjonen til en kondensator i en [[elektrisk krets]] som fører en [[elektrisk strøm|strøm]] ''I'', går en forskyvningsstrøm ''I<sub>D</sub>&thinsp;'' mellom platene. ]]
'''Maxwells forskyvningsstrøm''' oppstår når et [[elektrisk felt]] varierer med tiden. Selv om den ikke er en vanlig [[elektrisk strøm]] som beskriver transport av fysiske ladninger, skaper den likevel et [[magnetisk felt]] på samme måte som denne. Ved kjennskap til det [[Dielektrisk materiale#Forskyvningsfeltet|elektriske forskyvningsfeltet]] {{nowrap|'''D''' {{=}} '''D'''('''r''',''t'')}} kan den beregnes fra den [[partielle differensialligninger|partialderiverte]]

: <math>  \mathbf{J}_D  = {\partial\mathbf{D}\over\partial t} </math>

som gir den tilsvarende strømtettheten i hvert punkt. Forskyvningsstrømmer kan derfor forekomme overalt hvor tidsvariable, elektriske felt opptrer og derfor også i [[vakum]].

[[Maxwell]]  innså nødvendigheten av forskyvningsstrømmen  i 1861, og den fikk sin endelige form i 1864 i hans ferdigstilling av [[Maxwells ligninger]]. Det er denne strømmen som gir opphav til [[elektromagnetiske bølger]] og dermed forklarer hva [[lys]] og mange andre [[elektromagnetisme|elektromagnetiske fenomen]] er.

==Matematisk utledning==
For en stasjonær strømtetthet {{nowrap|'''J''' {{=}} '''J'''('''r''')}} kan det [[magnetfelt|magnetiske feltet]] '''B''' = ''&mu;''&thinsp;'''H''' hvor ''&mu;'' er [[permeabilitet (fysikk)|permeabiliteten]],  beregnes i hvert punkt '''r''' fra [[Ampères sirkulasjonslov]]<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref>

: <math> \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J} </math>

Da [[divergens]]en av [[curl]] er null, betyr denne ligningen at  divergensen til strømtettheten '''J''' må være null. Under stasjonære forhold danner strømmen derfor en lukket, [[elektrisk krets]]. Men når strømmen varierer med tiden, er ikke dette tilfelle lenger. Da vil derimot  '''J'''('''r''',''t'')&thinsp; oppfylle [[kontinuitetsligning]]en

: <math>  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} + \frac {\partial \rho}{\partial t} = 0 </math>

hvor ifølge [[Gauss' lov]]  ''&rho;'' = '''&nabla;'''&sdot;'''D'''&thinsp; er den elektriske ladningstettheten i hvert punkt. Ved å benytte denne sammenhengen, kan derfor sirkulasjonsloven utvides til

: <math> \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + {\partial\mathbf{D}\over\partial t} </math>

slik at kontinuitetsligningen er automatisk oppfylt da '''&nabla;'''&sdot;('''&nabla;''' &times; '''H''') = 0. Her er siste ledd på høyre side Maxwells forskyvningsstrøm '''J'''<sub>''D''</sub>. Den opptrer på akkurat samme måte som strømmen '''J''' av [[Elektrisk ladning|elektriske ladninger]].

Generelt kan man skrive forskyvningsfeltet som '''D''' = ''&epsilon;''<sub>0</sub>'''E''' + '''P'''&thinsp; hvor ''&epsilon;''<sub>0</sub>&thinsp; er den [[permittivitet]]en til vakum og  '''P''' er den elektriske polarisasjonen i materialet feltene befinner seg i.<ref name = Griffiths/> Forskyvningsstrømmen tar da formen

: <math> \mathbf{J}_D = \varepsilon_0{\partial\mathbf{E}\over\partial t} + {\partial\mathbf{P}\over\partial t} </math>

Mens siste leddet på høyre side representerer strømmen som skyldes forskyvning av bundne ladninger i det polariserte materialet, er det første leddet uavhengig av slike ladninger og er direkte gitt ved det elektriske feltet. Det er den avgjørende delen av forskyvningsstrømmen og den som det er vanskeligst å ha en fysisk forståelse av.

==Fysisk begrunnelse==
I sine første betraktninger rundt nødvendigheten av en forskyvningsstrøm, benyttet han seg av en mekanisk model for det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske feltet]]. I denne modellen var det magnetiske feltet tenkt som [[virvelbevegelse|virvler]] i gjensidig rotasjon som drev elektriske strømmer mellom seg. Forskyvningsstrømmen er da et tillegg til disse som tilsvarer at virvlene er elastiske og kan derfor til en viss grad deformeres.<ref name="Siegel">D.M. Siegel, ''Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current and Light'', Cambridge University Press, Cambridge (2003). ISBN 0-521-53329-5.</ref>

[[Fil:Displacement current in capacitor.svg|thumb|280px|[[Flate]]ne ''S<sub>1</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>2</sub>&thinsp;'' har samme grense ''C'' {{=}} &part;''S''. Mens det gjennom  ''S<sub>1</sub>&thinsp;'' går en ren ledningsstrøm ''I'', går det gjennom ''S<sub>2</sub>&thinsp;'' en ren forskyvningsstrøm ''I<sub>D</sub>''.]]
Senere i sitt store arbeid ''A treatise on electricity and magnetism'' fra 1873 hadde han i stor grad forlatt denne modellen og beholdt bare ligningene som han tidligere hadde utledet ved dens hjelp. Her ble det i stedet gitt en mer fysisk begrunnelse for eksistensen av forskyvningsstrømmen.

Ved benyttelse av [[Ampères sirkulasjonslov]] for å beregne magnetfeltet fra en elektrisk strøm, skal den omsluttes av en lukket integrasjonskurve ''C'' som er randen til en [[flate]] ''S'', noe som skrives som {{nowrap|''C'' {{=}} &part;''S''}}. Men for en gitt kurve ''C'' finnes det en uendelighet av forskjellige flater som har denne som rand. Og loven sier ikke noe om hvilken av disse som skal benyttes. Det betyr at alle må være like gode.

Med dette for øye kan man betrakte oppladning av en [[kondensator (elektrisk)|kondensator]] bestående av to parallelle plater. Den blir da tilført en strøm ''I'' som øker med tiden. Det medfører at elektriske ladninger bygges opp på platene slik at det elektriske feltet mellom dem øker. Man kan nå beregne magnetfeltet rundt den elektriske ledningen utenfor kondensatoren fra sirkulasjonsteoremet ved å omgi den med en integrasjonssirkel med radius ''r''. Hvis denne sirkelen er omkretsen til en sirkelformet flate ''S<sub>1</sub>'', vil det gjennom flaten gå en total strøm som er akkurat ''I''. Magnetfeltet er derfor bestemt ved ligningen {{nowrap|2''&pi;&thinsp;rB'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''I''}} som gir

: <math> B = {\mu_0 I\over 2\pi r} </math>

Men hvis man i stedet velger en annen flate  ''S<sub>2</sub>&thinsp;'' som går gjennom rommet mellom kondensatorplatene og med samme sirkel som rand, går det ingen ladningsstrøm gjennom denne. Det er her forskyvningsstrømmen kommer inn. Hvis hver plate har arealet ''A'' og en økende ladning ''Q'', er det elektriske forskyvningsfeltet mellom dem ''D = Q/A'' fra [[Gauss' lov]]. Det gir forskyvningsstrømmen {{nowrap|''I<sub>D</sub>'' {{=}} ''A''&part;''D''/&part;''t''}} = ''dQ''/''dt''&thinsp; som er akkurat strømmen ''I&thinsp;'' i ledningen. Denne alternative flaten i sirkulasjonsteoremet gir derfor samme resultat for magnetfeltet.<ref name="HLL">O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, ''Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.</ref>

Herav følger også at magnetfeltet ikke bare utenfor ledningen har denne verdien, men at det også eksisterer et  sirkulært magnetfelt utenfor kondensatoren med samme verdi. Mellom platene er det ikke konstant, men kan beregnes ved å anta at det elektriske feltet der er uniformt konstant. Har platene radius ''a'', er den delen av forskyvningsstrømmen som en sirkel med radius ''r < a'' omslutter, gitt som {{nowrap|''I<sub>r</sub> {{=}} I<sub>D</sub>''&thinsp;(''r/a'')<sup>2</sup>}}. Sirkulasjonloven gir da på samme måte magnetfeltet

: <math> B = {\mu_0 Ir\over 2\pi a^2},  \; \; \;  r \le a </math>

mellom platene. Det er null i sentrum ''r'' = 0 av kondensatoren og går kontinuerlig over i feltet utenfor. Når kondensatoren er fullt ladet, opphører strømmen og magnetfeltet blir null.

==Elektromagnetiske bølger==
I [[vakum]] uten elektriske strømmer og ladninger gjelder [[Faradays induksjonslov]] {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''E''' {{=}} - &part;'''B'''/&part;''t''&thinsp;}} sammen med '''&nabla;'''&sdot;'''E''' = {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;'''B''' {{=}} 0}}. Ved å ta [[curl]] av den første ligningen hvor man kan benytte den [[vektoranalyse|vektoranalytiske]] identiteten {{nowrap|'''&nabla; '''&times; ('''&nabla;''' &times; '''E''') {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;('''&nabla;'''&sdot;'''E''') - &nabla;<sup>&thinsp;2</sup>'''E'''}}&thinsp; sammen med Maxwell-ligningen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}} &part;'''D'''/&part;''t''&thinsp;}} som inneholder forskyvningsstrømmen hvor {{nowrap|'''B''' {{ =}} ''&mu;''<sub>0</sub>'''H'''&thinsp;}} og {{nowrap|'''D''' {{ =}} ''&epsilon;''<sub>0</sub>'''E'''&thinsp;}}, blir resultatet [[bølgeligning]]en

: <math> \left(\nabla^2 - \varepsilon_0\mu_0{\partial^2\over\partial t^2} \right)\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = 0 </math>

hvor

: <math>  \sqrt{1\over\varepsilon_0\mu_0} = 299\,792\,458\;\text{m}/\text{s} </math>

er [[lyshastigheten]] i vakum. Det magnetiske feltet oppfyller samme ligning. At elektromagnetiske bølger skulle bevege seg med lysets hastighet, overbeviste Maxwell at hans ligninger var korrekte og at han hadde funnet en forklaring på hva lys virkelig er.<ref name = Siegel/>

Et tilsvarende verdi for hastigheten til elektromagnetiske bølger var funnet noe tidligere av [[Gustav Kirchhoff]] som ikke kjente til forskyvningsstrømmen. Men da han benyttet seg av ladningsbevarelse i form av [[kontinuitetsligning]]en som er ekvivalent med denne, kunne han likevel komme frem til et lignende resutat.<ref name="Darrigol">O. Darrigol, ''Electrodynamics from Ampère to Einstein'', Oxford University Press, Oxford (2000). ISBN 0-19-850593-0.</ref>

==Se også==
* [[Elektrisk strøm]]
* [[Elektromagnetisk felt]]
* [[Maxwells ligninger]]

== Referanser ==
<references/>

==Eksterne lenker==

* R. Fitzpatrick, U. Texas, [http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node46.html ''The displacement current'',] web-forelesninger om elektromagnetisme.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Elektrisitet]]
[[Kategori:Elektromagnetisme]]
[[Kategori:Elektromagnetisk stråling]]