Redigerer Magnetisk moment

[[Fil:Magnetic moment.PNG|thumb|right|240px|En sirkelformet strøm ''I'' som omslutter et arael ''a'' har et magnetisk moment ''m = Ia''.]]

Det '''magnetiske momentet''' til en [[magnet]] er en størrelse som bestemmer [[dreiemoment]]et som et annet [[magnetfelt]] vil utøve på den. I tillegg til vanlige magneter, har en sløyfe med [[elektrisk strøm]], et [[elektron]] og andre [[elementærpartikkel|elementærpartikler]], [[atom]]er, [[molekyl]] og de fleste [[planet]]er alle magnetiske moment. Det gir opphav til et magnetfelt som kalles et [[magnetisk dipol]]felt. Vanligvis betegnes et magnetisk moment med symbolet '''m''' eller den [[gresk]]e bokstaven '''''&mu;'''''.

På samme måte som et generelt magnetfelt, er det magnetiske momentet en [[vektor (matematikk)|vektor]] som har både en størrelse og en retning. I en [[magnet]] er det lokalisert i dens indre med retning fra sørpol til nordpol, mens magnetens [[feltlinje]]r går utenfor fra nordpolen til sydpolen. Styrken til det magnetiske feltet som produseres av en magnet, er proporsjonalt med dens magnetiske moment.

Mer presist refererer begrepet magnetisk moment til det første leddet i en [[multipolutvikling]] av magnetfeltet fra et generelt system med elektrisk ladete partikler og strømmer. Denne [[dipol]]delen av magnetfeltet er [[symmetri]]sk om retningen til det magnetiske momentet og avtar som den inverse kube av avstanden fra systemet.

==Definisjon==

Et materielt system som i et ytre [[magnetfelt]] '''B''' blir utsatt for et [[dreiemoment]] '''T''' på formen

: <math> \mathbf{T} = \mathbf{m} \times \mathbf{B} </math>,

sies å inneha et magnetisk moment '''m''' som er en [[vektor (matematikk)|vektor]] tilhørende dette systemet.<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref> Da et slikt dreiemoment måles i N&sdot;m hvor N er [[newton (enhet)|newton]] og '''B'''-feltet angis i [[tesla]] med størrelse {{nowrap|1&thinsp;T {{=}} 1&thinsp;N/A&sdot;m}} hvor A er [[ampere]], uttrykkes det magnetiske momentet i enheter av A·m<sup>2</sup> = [[joule|J]]/[[tesla|T]].

==Modeller==
[[Fil:Magnetic field due to dipole moment.svg|thumb|right|240px|Magnetisk moment i Gilberts model. Mens nordpolen N har positiv, magnetisk ladning, er den negativ på  sydpolen S.]]
Da det ikke finnes magnetiske ladninger eller [[magnetisk monopol|monopoler]], vil ikke et magnetisk dipolmoment kunne oppstå på samme måte som en [[dipol|elektrisk dipol]] sammensatt av to motsatt ladete partikler. Men likevel kan man tenke seg eller ''modellere'' et magnetisk moment på denne måten som først foreslått av [[William Gilbert]] på begynnelsen av 1600-tallet. Dette bildet er ofte nyttig for å gi en enkel forklaring av noen magnetiske fenomen og er delvis støttet av moderne, [[elektromagnetisme|elektromagnetisk]] teori.

I denne enkle modellen kan en stavmagnet med [[magnetisering]] '''M''' langs lengdeaksen, tilskrives fiktive, magnetiske ladninger {{nowrap|''Q<sub>m</sub> {{=}} &plusmn; MA''}} på dens endeflater hvis hver av disse har arealet ''A''. Disse ladningene tilsvarer dens nord- og sydpol. På samme måte som for en elektrisk dipol, er da størrelsen av dens magnetiske moment lik med {{nowrap|''m {{=}} Q<sub>m</sub>&thinsp;L''}} = ''MV'' hvor ''L'' er lengden av magneten slik at dens volum er {{nowrap|''V {{=}} AL''}}. Dette er i overensstemelse med at magnetisering {{nowrap|''M {{=}} m/V''&thinsp;}} er magnetisk moment per volumenhet av magneten. Da dimensjonen til '''M''' er A/m  som for det magnetiske '''H'''-feltet, gir denne fenomenologiske betraktningen riktig dimensjon A·m<sup>2</sup> til det magnetiske momentet.<ref name = Griffiths/>

===Ampères modell===
[[Fil:Magnetic moment.svg|thumb|left|240px|Magnetisk moment {{math|'''μ'''}} for en sirkelformet strøm ''I'' som omslutter et arael ''S''.]]

En mer korrekt forklaring av magnetiske moment ga [[André-Marie Ampère]] på begynnelsen av 1800-tallet. Basert på egne eksperiment foreslo han at all [[magnetisme]] skyldes [[elektrisk strøm|elektriske strømmer]] som går i mikroskopiske sløyfer i materiens indre. Denne idéen ble i stor grad bekreftet om lag hundre år senere med [[atomfysikk]]en hvor disse [[magnetisme|ampèrske strømmer]] identifiseres med [[elektron]]enes runddans rundt [[atomkjerne]]ne.

En [[elektrisk leder]] som har form av et [[rektangel]] med sidekanter ''a'' og ''b'' og som fører en strøm ''I'', er et enkelt eksempel på en slik strømsløyfe. Befinner denne sløyfen seg i et ytre magnetfelt '''B''', vil hver side '''s''' bli påvirket av [[magnetisk felt|kraften]] {{nowrap|'''F''' {{=}} ''I''&thinsp;'''s'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''}} som derfor står [[vinkelrett]] på siden. Hvis man nå antar at magnetfeltet er rettet langs ''z''-aksen og sidene med lengde ''a'' er parallelle med ''x''-aksen, vil disse to sidene være påvirket av motsatt krefter rettet langs ''y''-aksen ifølge [[høyrehåndsregelen]] og med størrelse {{nowrap|''F {{=}} IaB''}}. I alminnelighet danner sløyfen vinkelen ''&theta;'' med ''xy''-planet slik at disse to kreftene tilsammen gir et [[dreiemoment]] med størrelse {{nowrap|''N {{=}} Fb&thinsp;''sin''&theta;''.}}  Kreftene på de to andre sidene i rektangelet virker langs samme linje og gir derfor ikke noe dreiemoment.

På vektorform kan dette resultatet skrives som '''N''' = '''m'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''' slik at det magnetiske momentet til sløyfen blir {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}}. Her har vektoren '''S''' samme størrelse som arealet {{nowrap|''S {{=}} ab''}} av sløyfen og en retning vinkelrett på denne bestemt ved retningen av strømmen og høyrehåndsregelen. Størrelsen til det magnetiske momentet er strømsløyfens areal multiplisert med strømmen den fører.

Man finner det samme resultat for en sirkulær strømsløyfe.<ref name="HLL">O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, ''Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.</ref> En [[spole (induktans)|spole]] med ''N'' vindinger og radius ''a'', kan betraktes som ''N'' slike sløyfer som fører samme strøm ''I''. Det totale, magnetiske moment til spolen er derfor {{nowrap|'''m''' {{=}} ''IN''&thinsp;'''S'''}} som er rettet langs dens akse og hvor nå {{nowrap|''S {{=}} &pi;&thinsp;a''<sup>2</sup>}}.

===Generell strømsløyfe===
I det generelle tilfellet kan dreiemomentet på en vilkårlig strømsløyfe finnes fra den differensielle kraften {{nowrap|''d''&thinsp;'''F''' {{=}}  ''Id''&thinsp;'''s'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''}} som virker på hver lite linjeelement ''d''&thinsp;'''s''' av sløyfen. Det totale dreiemomentet er dermed gitt ved lukkete [[integral#Linjeintegral|linjeintegralet]]

: <math> \mathbf{T} = I\oint\!\mathbf{r}\times(d\mathbf{s}\times\mathbf{B}) </math>

Når magnetfeltet er konstant, kan dette forenkles til formen '''T''' = '''m'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''' hvor nå det magnetiske momentet for strømsløyfen er gitt ved det generelle uttrykket

: <math> \mathbf{m} = {1\over 2}I\oint\!\mathbf{r}\times d\mathbf{s} </math>

Dette er igjen av formen {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} hvor nå komponentene til vektoren '''S''' er arealene til projeksjonene av sløyfen på de tre koordinatflatene.<ref name = RM>J.R. Reitz and F.J. Milford, ''Foundations of Electromagnetic Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).</ref>

==Atomer==

Går en partikkel med [[elektrisk ladning]] ''q'' rundt i en sirkelbane med radius ''r'' med [[periode (fysikk)|periode]] ''T'', vil dette utgjøre en lukket sløyfe med strømmen ''q/T''. Den vil dermed ha et magnetisk moment {{nowrap|''&mu;'' {{=}} (''q/T'')''&pi;&thinsp;r''<sup>&thinsp;2</sup>}}. Foregår denne bevegelsen med konstant hastighet ''v'', vil sirkelens omkrets {{nowrap|2''&pi;&thinsp;r'' {{=}} ''vT''}} slik at {{nowrap|''&mu;'' {{=}} ''qrv''/2.}} Dette kan uttrykkes ved partikkelens [[dreieimpuls]] {{nowrap|''L {{=}} mrv''}} når den har massen ''m''. Det magnetiske momentet for denne sirkulerende ladningen kan dermed skrives som

: <math> \boldsymbol{\mu} = {q\over 2m}\mathbf{L} </math>

der dreieimpulsvektoren '''L''' = ''m''&thinsp;'''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''v''' angir retningen til denne magnetiske dipolen.<ref name = HLL/> Dette resultatet kommer man også frem til ved å skrive {{nowrap|''d''&thinsp;'''s''' {{=}} '''v'''''dt''}} i det mer generelle uttrykket for det magnetiske momentet hvor så det lukkete linjeintegralet over ''dt'' settes lik perioden ''T''. I sammenhengen mellom magnetisk moment og dreieimpuls kalles  faktoreren {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} ''q''/2''m''&thinsp;}} for '''det gyromagnetiske forholdet'''.

I den første utgaven av [[Bohrs atommodell]] ble det antatt at elektronene går i stabile, sirkulære baner rundt atomkjernen med kvantiserte verdier {{nowrap|''L {{=}} nħ''}} hvor [[kvantetall]]et ''n'' = 1,2,3,.. og {{nowrap|''ħ {{=}} h''/2''π&thinsp;''}}  er den reduserte [[Plancks konstant]]. Da elektronet har masse {{nowrap|''m {{=}} m<sub>e</sub>&thinsp;''}} og ladning {{nowrap|''q'' {{=}} -''e''}}, vil dets bevegelse i atomet gi opphav til et magnetisk moment med størrelse ''&mu;'' = ''&mu;<sub>B</sub>&thinsp;n''&thinsp; hvor

: <math> \mu_B = {e\hbar\over 2m_e} = 9.274\,009\,994(57)  \cdot 10^{-24} \,\text{A}\text{m}^2 = 5.788\,381\,8012(26)\cdot 10^{-5}  \,\text{eV/T}</math>

kalles en '''Bohr-magneton'''.<ref>[[NIST]], [https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mub CODATA recommended values], (2014).</ref> Det magnetiske dipolmomentet '''''&mu;''''' har en retningen som er motsatt av dreieimpulsen '''L''' på grunn av elektronets negative ladning og en størrelse som er kvantisert da ''n'' er et heltall.  Dette resultatet for det orbitale, magnetiske momentet for elektronet i et atom ligger tett opp til hva som fulgte fra mer moderne [[kvantemekanikk]] noen få år senere.<ref name="Haken">H.Haken, and H.C. Wolf, ''The Physics of Atoms and Quanta'', Springer-Verlag, New York (2000). ISBN 3-540-67274-5.</ref>

==Elementærpartikler==
[[Fil:Neutron spin dipole field.jpg|thumb|200px|right|Illustrasjon av det magnetiske momentet til et [[elektron]] som peker i motsatt retning til dets [[spinn]] angitt med den sorte pilen.]]
Et klassisk bilde av elektronets rundgang i et atom kan minne om bevegelsen av en planet rundt [[Solen]]. Dette gjør det nærliggende å tenke seg at elektronet også kan rotere om sin egen akse. Dermed vil det også kunne ha et intrinsikt, magnetisk moment. En korrekt, [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] beskrivelse erstatter dette bildet av en «egenrotasjon» med å tilordne alle elementærpartikler et intrinsikt [[spinn]] '''S'''. For elektronet gir det opphav til et magnetisk moment

: <math> \boldsymbol{\mu}  =  -g_e {e\over 2m_e}\mathbf{S} </math>

hvor det '''gyromagnetisk forhold''' eller «''g''-faktoren» for elektronet  er ''g<sub>e</sub>'' = 2 med stor nøyaktighet. Dette ble først forstått ved etableringen av den relativistiske [[Dirac-ligning]]en for elektronet. Da størrelsen til spinnet for et elektron er ''ħ''/2, har det et magnetisk moment som er lik en Bohr-magneton.<ref name = Griffiths/>

Meget presise målinger har senere vist at denne ''g''-faktoren likevel ikke er helt korrekt. Dette kan nå forklares ved [[kvanteelektrodynamikk|kvanteelektrodynamiske]] effekter som til laveste orden gir
resultatet

: <math> g_e = 2 + {\alpha\over\pi} </math>

hvor ''&alpha;'' = 1/137 er [[finstrukturkonstant]]en. Til nå er slike korreksjoner beregnet til orden  ''&alpha;''<sup>&thinsp;5</sup> og funnet å være i full overensstemmelse med alle eksperimentelle verdier.<ref name = Haken/>

===Nukleoner===
Et [[proton]] har elektrisk ladning {{nowrap|''q'' {{=}} +''e''}} og spinn 1/2 som elektronet. Dets magnetiske moment skrives som

: <math> \boldsymbol{\mu}  =  g_p {e\over 2m_p}\mathbf{S} </math>

hvor nå ''g''-faktoren har verdien ''g<sub>p</sub>'' = 5.59. Dette overraskende resultatet ble gjort av [[Otto Stern]] i 1933 og viste at protonet ikke kunne være en virkelig elementær partikkel. 

Den naturlige enheten for dette nukleære, magnetiske momentet er

: <math> \mu_N = {e\hbar\over 2m_p} = 3.152\,451\, 2550(15) \times 10^{-8} \,\text{eV/T}  </math>

som kalles en '''nukleær magneton'''. Da {{nowrap|''m<sub>p</sub>'' {{=}} 1836&thinsp;''m<sub>e</sub>''}}, er denne nesten en faktor to tusen mindre enn en Bohr-magneton.<ref>[[NIST]], [https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?munev CODATA recommended values], (2014).</ref>

Selv om et [[nøytron]] er elektrisk nøytralt, har det et magnetisk moment som kan skrives på samme måte som for protonet. Men for denne partikkelen er ''g''-faktoren ''g<sub>n</sub>'' = - 3.83. Både denne verdien og den tilsvarende verdien for protonet kan forstås utfra at de er sammensatte partikler bestående av [[kvark]]er i motsetning til elektronet som virkelig kan sies å være elementært. I denne beskrivelsen av [[nukleon]]enes indre følger at ''g<sub>n</sub>''&thinsp;/''g<sub>p</sub>'' = -2/3 i laveste approksimasjon som stemmer bra med de målte verdiene. Dette var et av de første resultatene som bekreftet eksistensen av kvarker.<ref>D. Griffiths, ''Introduction to Elementary Particles'', John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-61544-7.</ref>

==Larmor-presesjon==
[[Fil:Präzession2.png|thumb|150px|Larmor-presesjon av en negativ ladet partikkel.]]
Et klassisk, magnetisk moment '''&mu;''' = ''&gamma;''&thinsp;'''L''' med det gyromagnetiske forholdet ''&gamma;'' = ''q''/2''m'' som befinner seg i et ytre, magnetisk felt '''B''', vil påvirkes av dreiemomentet {{nowrap|'''T''' {{=}} '''''&mu;'''''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''}}. Dette vil prøve å vri det magnetiske momentet og derved også dreieimpulsen '''L'''. Men denne tilfredsstiller bevegelsesligningen {{nowrap|''d''&thinsp;'''L'''&thinsp;/''dt'' {{=}} '''T'''}}&thinsp; som dermed kan omskrives til

: <math> {d\mathbf{L}\over dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B} = -{q\over 2m}\mathbf{B}\times\mathbf{L} </math>

Det betyr at dreieimpulsen [[presesjon|preseserer]] om '''B'''-feltet med den vektorielle [[vinkelhastighet]]en

: <math> \boldsymbol{\omega}_L = -{q\over 2m}\mathbf{B} </math>

Dette kalles '''Larmor-presesjon''' etter den engelske fysiker [[Joseph Larmor]]. Størrelsen til vinkelhastigheten kan skrives som {{nowrap|''&omega;<sub>L</sub> {{=}} &gamma;B''&thinsp;}} og bærer vanligvis også Larmors navn.<ref>H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).</ref>

===Kvantemekanikk===

Presesjon av kvantemekaniske [[spinn]] som befinner seg i et magnetfelt '''B''', kan beskrives ved [[Schrödinger-ligning]]en for dette systemet. Den relevante [[Hamilton-operator]]en kan finnes fra [[Magnetfelt#Magnetisk energi|vekselvirkningsenergien]] {{nowrap|''E'' {{=}} -'''''&mu;'''''&sdot;'''B'''}} for det magnetiske momentet {{nowrap|'''''&mu;''' {{=}} &gamma;''&thinsp;'''S'''}} med gyromagnetisk forhold ''&gamma;''. Hamilton-operatoren får derfor formen

: <math> \hat{H} = - \gamma\,\hat{\mathbf{S}}\cdot\mathbf{B} </math>

hvor hatten understreker at dette er en [[kvantemekanikk|kvantemekanisk operator]] på samme måte som spinnet er det. Ved å bruke kommutatorene mellom de tre spinnoperatorene, kan Schrödinger-ligningen løses med det resultat at Larmor-presesjonen gjenfinnes med samme frekvens som i det klassiske tilfellet.<ref>R. Shankar, ''Principles of Quantum Mechanics'', Plenum Press, New York (1980). ISBN 0-306-40397-8.</ref>

Dette kvantemekaniske fenomenet kan observeres i [[Zeeman-effekt]]en og danner grunnlaget for [[kjernemagnetisk resonans]] (NMR). I moderne [[medisin]] benyttes dette til undersøkelse av indre organer og omtales som [[magnetresonanstomografi]] (MRI).

==Se også==

* [[Magnetisk dipol]]
* [[Dipol]]

== Referanser ==
<references/>

{{portal|Vitenskap}}

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Magnetisme]]
[[Kategori:Fysiske størrelser]]
[[Kategori:Elektriske og magnetiske felt i stoff]]