Redigerer
Lorentz-kraft
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:Lorentzkraft.png|thumb|240px|Lorentz-kraften '''F''' virker på en ladning ''q'' som har hastighet '''v''' i en kombinasjon av elektrisk '''E''' og magnetisk '''B''' felt.]] '''Lorentz-kraften''' er den [[kraft]]en som virker på en [[elektrisk ladning]] som befinner seg i et [[elektromagnetisk felt]]. Mens den elektriske delen av kraften er uavhengig av ladningens bevegelse, er størrelsen til den magnetiske delen proporsjonal med ladningens hastighet og avhengig av retningen til bevegelsen. Kraften er oppkalt etter den nederlandske [[fysikk|fysiker]] [[Hendrik Antoon Lorentz]]. Betegnes det elektriske feltet med '''E''' og det magnetiske feltet med '''B''', er Lorentz-kraften '''F''' som virker på ladningen ''q'' gitt ved det matematiske uttrykket :<math>\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})</math> når ladningen har hastighet '''v'''. Da den elektriske kraften ''q'' '''E''' definerer det [[elektrisk felt|elektriske feltet]], blir ofte Lorentz-kraften forbundet med kun den magnetiske delen. Dens størrelse involverer et vektorielt [[kryssprodukt]] som betyr at kraften er maksimal i størrelse når ladningen beveger seg vinkelrett på magnetfeltet. Den er av samme grunn null når ladningen beveger langs dette feltet. Kraftens retning finnes ved bruk av [[høyrehåndsregelen]]. Formelen for kraften er også gyldig når feltene varierer med tiden. Lorentz-kraften er i overensstemmelse med [[Einstein]]s [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteori]]. Den kan der forklares som et resultat av hvordan [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] opptrer i et [[inertialsystem]] som beveger seg. Formelt beskrives denne situasjonen ved en [[Kovariant relativitetsteori#Kontravariante komponenter|Lorentz-transformasjon]]. I alle system hvor elektriske ladninger befinner seg i et magnetfelt, spiller Lorentz-kraften en avgjørende rolle. Den benyttes i gammeldagse TV-apparat til å fokusere elektronstrålen i [[bilderør]]et og avbøyer de ladete partiklene som akselereres i [[syklotron]]er og andre [[partikkelakselerator]]er. På samme måte blir [[elektron]]er fra [[Solen]] styrt inn mot nordlige breddegrader av det [[jordens magnetfelt|jordmagnetiske feltet]] slik at det dannes [[nordlys]] i de områdene. ==Historie== Sammenhengen mellom [[elektrisk strøm|elektriske strømmer]] og [[magnetfelt]] ble først systematisk undersøkt av [[Hans Christian Ørsted|Ørsted]] og [[André-Marie Ampère|Ampère]] på begynnelsen av 1800-tallet. Et [[magnetfelt]] '''B''' ble vist å utøve en kraft på en strømførende ledning. Hvis den fører strømmen ''I'' gjennom et lite stykke med lengde ''d'' '''s''' som befinner seg i feltet, kan kraften på dette strømelementet skrives som : <math> d\mathbf{F} = Id\mathbf{s} \times \mathbf{B} </math> Dette resultatet gir en kompakt sammenfatning av [[Ampères kraftlov]] som har en lang og omstendelig historie.<ref name = Tricker> R.A.R. Tricker, ''Early Electrodynamics'', Pergamon Press, London (1965).</ref> Det lyktes å finne denne loven selv om man på den tiden ikke hadde noen detaljert kunnskap om hva en elektrisk strøm besto av. Men etter mange år med arbeider, spesielt innen kjemisk [[elektrolyse]], ble det på slutten av århundret klart at strømmen besto av ladete [[elektron]]er. Den magnetiske kraften på en elektrisk strøm kunne da forstås som feltets virkning på hver av disse partiklene. Resultatet ble presentert av [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] i 1892 og kan utledes direkte fra Ampères kraftlov. Hvis en liten ladning ''dq'' i løpet av den korte tiden ''dt'' går gjennom et ledningselement ''d'' '''s''' med hastigheten '''v''', vil man ha at {{nowrap|''d'' '''s''' {{=}} '''v''' ''dt''.}} Men da strømmen i dette tilfellet er {{nowrap|''I'' {{=}} ''dq''/''dt''}}, vil uttrykket for kraften på strømelementet kunne omformes til {{nowrap|''d'' '''F''' {{=}} ''dq'' '''v''' × '''B'''}}. For en endelig stor ladning blir da formelen for den magnetiske kraften : <math>\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B} </math> Selv om samme resultat var funnet av [[Maxwell]] og [[Oliver Heaviside|Heaviside]] flere år tidligere,<ref name="Darrigol"> O. Darrigol, ''Electrodynamics from Ampère to Einstein'', Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.</ref> har dette uttrykket blitt oppkalt etter Lorentz som gjennom sine publikasjoner gjorde det kjent.<ref name = Lorentz> H.A. Lorentz, [https://archive.org/stream/electronstheory00lorerich#page/n3/mode/2up ''The Theory of Electrons''], B.G. Teubner, Leipzig (1916). </ref> En mer generell utledning av Lorentz-kraften ble presentert av [[Karl Schwarzschild|Schwarzschild]] i 1903.<ref> K. Schwarzschild, ''Zur Elektrodynamik''. I: ''Zwei Formen des Princips der kleinsten Action in der Elektronentheorie'', Gött. Nach., Math.-Phys. Kl. 126-131 (1903).</ref> Han baserte sin beregning på den [[potensiell energi|potensielle energien]] for et elektron som befinner seg i en kombinasjon av elektriske og magnetiske felt. Ved bruk av [[Lagrange-mekanikk]] kom han dermed frem til den generelle formen til kraftloven. Siden den elektromagnetiske vekselvirkningen han benyttet, viste seg å være invariant under [[Kovariant relativitetsteori#Kontravariante komponenter|Lorentz-transformasjoner]], er derfor også Lorentz-kraften i overensstemmelse med [[Einstein]]s [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteori]].<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref> ==Partikkeldynamikk== [[Fil:Lorentz force.svg|thumb|280px|En ladning ''q'' med hastighet '''v''' vil avbøyes oppover når den er negativ og nedover når den er positiv i et magnetfelt '''B''' som kommer ut av papirplanet.]] Når Lorentz-kraften virker på en partikkel med hastighet '''v''', vil den utføre et [[arbeid]] som er proporsjonal med '''v'''⋅'''F'''. Da den magnetiske delen '''v''' × '''B''' av kraften står [[vinkelrett]] på hastigheten, vil denne kraften derfor ikke bevirke noe arbeid slik at partikkelens energi forblir konstant. Mer formelt følger det fra [[Newtons lover|Newtons andre lov]]. Så lenge partikkelen med masse ''m'' beveger seg ikke-relativistisk, sier den at {{nowrap|''md'' '''v'''/''dt'' {{=}} '''F'''}}. Multipliseres denne ligningen med '''v''', blir dermed : <math> m\mathbf{v}\cdot{d\mathbf{v}\over dt} = {d\over dt}\Big({1\over 2}mv^2\Big) = q\mathbf{v}\cdot\mathbf{E} </math> Hvis det elektriske feltet '''E''' = 0, er derfor den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] ''K'' = ''mv''<sup>2</sup>/2  til partikkelen konstant. Men det forutsetter at det magnetiske feltet '''B''' ikke varierer med tiden. Hvis ikke, vil det skape et elektriske felt som en konsekvens av [[Faradays induksjonslov]] {{nowrap|'''∇''' × '''E''' {{=}} - ∂'''B'''/∂''t''.}} Et konstant, elektrisk felt kan uttrykkes ved et [[elektrisk potensial]] som '''E''' = - '''∇''' Φ. Da man har den matematiske sammenhengen {{nowrap|'''v'''⋅'''∇''' Φ {{=}} ''d'' Φ/''dt''}}, betyr det at : <math> {d\over dt}\Big({1\over 2}mv^2 + q\Phi\Big) = 0 </math> Den totale energien til partikkelen er derfor bevart i dette mer generelle tilfellet med elektriske og magnetiske felt som ikke forandrer seg med tiden. ===Syklotronbevegelse=== [[Fil:Lorentz force - mural Leiden 1, 2016.jpg|thumb|300px|left|Illustrasjon på en husvegg i [[Leiden]] av partikkelbevegelse forårsaket av Lorentz-kraften.]] I et konstant, magnetisk felt er bevegelsen til partikkelen gitt ved ligningen : <math> m{d\mathbf{v}\over dt} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B} </math> Da Lorentz-kraften virker normalt på retningen til '''B'''-feltet som kan tas å være langs ''z''-aksen, vil komponenten av hastigheten '''v''' langs denne retningen forbli uforandret. Derimot vil de to transverse komponentene {{nowrap|'''v'''<sub>''T''</sub> {{=}} (''v<sub>x</sub>'',''v<sub>y</sub>'')}} forandre retning på en måte som følger fra : <math> {d\mathbf{v}_T\over dt} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_T </math> hvor vektoren : <math> \boldsymbol{\omega} = -{q\over m}\mathbf{B} </math> er konstant. Denne sammenhengen viser at hastigheten '''v'''<sub>''T''</sub>  roterer om magnetfeltet '''B''' med '''syklotronfrekvensen''' ''ω'' = |'''''ω'''''| = ''qB''/''m''. Dette er prinsippet som benyttes i [[syklotron]]en og i andre [[partikkelakselerator]]er. Under denne rotasjonen forblir størrelsen av hastigheten den samme, bare dens retning forandres. Det kan sees mer direkte ved å innføre partikkelens posisjon '''r'''. Da kan dens hastighet skrives som '''v'''<sub>''T''</sub> = ''d'' '''r'''/''dt''. Bevegelsesligningen lar seg dermed direkte integereres og gir : <math> \mathbf{v}_T = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} </math> Hastigheten står derfor alltid [[vinkelrett|normalt]] på posisjonsvektoren, noe som viser at partikkelen beveger seg i en sirkel med [[vinkelfrekvens]] lik med ''ω''. Radius ''r'' til denne sirkelbevegelsen blir ofte omtalt som '''gyroradius'''. I et magnetfelt med en gitt størrelse bestemmer den energien til partikkelen da denne er proporsjonal med kvadratet av hastigheten. ===Kartesisk beskrivelse=== Ved å skrive ut bevegelsesligningene for de to kartesiske hastighetskomponentene ''v<sub>x</sub>''  og ''v<sub>y</sub>'', fremkommer de to første ordens [[differensialligning]]ene : <math> {dv_x\over dt} = \omega v_y, \;\;\; {dv_y\over dt} = - \omega v_x </math> Etter å ha tatt den tidsderiverte av den første ligningen hvor så den siste blir satt inn, står man igjen med : <math> {d^2v_x\over dt^2} + \omega^2 v_x = 0 </math>. som er ''svingeligningen'' for en [[harmonisk oscillator]]. Da den er av andre orden, vil dens løsning inneholde to integrasjonskonstanter. De kan man for eksempel fastsette ved å anta at partikkelen krysser ''x''-aksen ved tiden ''t'' = 0 med hastigheten ''v<sub>T</sub>''. Den betingelsen gir at {{nowrap|''v<sub>x</sub>'' {{=}} ''v<sub>T</sub> '' sin''ωt'' }} som igjen medfører at {{nowrap|''v<sub>y</sub>'' {{=}} ''v<sub>T</sub> '' cos''ωt''}}. Dermed er også kravet {{nowrap|''v<sub>x</sub>''<sup>2</sup> + ''v<sub>y</sub>''<sup>2</sup> {{=}} ''v<sub>T</sub>''<sup>2</sup> }} oppfylt. Begge hastighetskomponentene varierer derfor harmonisk med tiden med en periode gitt ved syklotronfrekvensen som {{nowrap|''T'' {{=}} 2''π'' /''ω''}}. Tilsammen beskriver de bevegelsen til partikkelen i en sirkulær bane normalt på magnetfeltet. ==Elektromagnetisk induksjon== [[Fil:Lorentzkraft und Induktion.svg|thumb|300px|Beveger lederen seg i magnetfeltet, flyttes ladningene slik at det induseres et elektrisk felt.]] Lorentz-kraften kan gi seg utslag på mange forskjellige måter. Et eksempel er [[elektromagnetisk induksjon]] hvor en ledning beveger seg med hastigheten '''v''' i et magnetfelt '''B''' slik at det oppstår en [[elektromotorisk spenning]] i den. Kraften vil påvirke ladningene i lederen slik at de forflyttes. Dermed oppstår det et elektrisk felt '''E''' i den. Når dette blir sterkt nok, vil forflytningen av ladning opphøre. Da har man likevekt i ledningen definert av at totalkraften {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''('''E''' + '''v''' × '''B''')}} = 0. Det betyr at det induserte, elektriske feltet er gitt som {{nowrap|'''E''' {{=}} - '''v''' × '''B'''.}} Står hastigheten og feltet vinkelrett på hverandre, er derfor den induserte spenningen <math> \mathcal{E} = vBL </math> over en lengde ''L'' av ledningen. Dette er samme resultat som kommer frem ved bruk av [[Faradays induksjonslov]] basert på forandringen av den magnetiske fluksen som lederen omslutter.<ref name = Griffiths/> [[Fil:Lorentzkraft und Lenzsche Regel.svg|thumb|240px|left|Lorentz-kraften forklarer [[Lenz' lov]] for en leder som beveges i et magnetfelt.]] Når ladningene i ledningen kan bevege seg fritt med hastighet '''v'''<sub>1</sub>, vil de påvirkes av Lorentz-kraften '''F'''<sub>1</sub> = ''q'' '''v'''<sub>1</sub>× '''B'''  som gir dem en indusert hastighet '''v'''<sub>2</sub> vinkelrett på '''v'''<sub>1</sub>. Den igjen gir opphav til en ny Lorentz-kraft '''F'''<sub>2</sub> = ''q'' '''v'''<sub>2</sub>× '''B'''  som har motsatt retning av den opprinnelige bevegelsen av lederen og prøver å motvirke denne. Dette er forklaringen på [[Lenz' lov]] i dette tilfellet. Dette er også samme mekanismen som virker i [[Hall-effekt]]en. Her ledes strøm gjennom et materiale vinkelrett på et magnetisk felt. Igjen vil det bygges opp i elektrisk felt i materialet med en retning som er avhengig av fortegnet til ladningsbærerne i materialet. Disse kan være elektroner med negativ ladning eller [[ladningsbærere|hull]] som oppfører seg som partikler med positiv ladning. I det ene tilfellet blir den induserte spenningen positiv og i det andre tilfellet negativ. På den måten har man påvist at [[ladningsbærere|ladningsbærne]] i [[kobber]] er elektroner, mens de i [[zink]] er hovedsakelig positive hull.<ref name="AM"> N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, ''Solid State Physics'', Holt-Saunders International Editions, Tokyo (1981). ISBN 0-03-049346-3.</ref> ===Relativitetsteori=== [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] uviklet sin ''Elektronteori'' basert på eksistensen av [[eter (fysikk)|eter]] som definerer et bestemt [[inertialsystem]] hvor [[Maxwells ligninger]] er gyldige.<ref name = elektronteori> Salmonsens Konversationsleksikon (1915-1930), [https://runeberg.org/salmonsen/2/7/0078.html ''Elektronteorien'', Bind VII], Projekt Runeberg elektronisk utgave. </ref> Noen år senere viste [[Einstein]] at man ikke behøver noen eter og at ligningene er gyldige i alle inertialsystem Det betyr også at uttrykket for Lorentz-kraften er gyldig i slike system når den uttrykkes ved hastigheter og felt som måles i det samme systemet. En konsekvens av hans [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteori]] er at et magnetfelt '''B''' som finnes i et inertialsystem, vil også observeres i et annet inertialsystem som beveger seg med hastigheten '''v''', men sammen med et nytt elektrisk felt '''E''' = '''v''' × '''B''' så lenge hastigheten ''v'' er mye mindre enn [[lyshastigheten]] ''c''. Dette induserte feltet vil flytte ladningen i en leder som befinner seg i ro i det bevegelige inertialsystemet og dermed bygge opp en elektromotorisk spenning i denne. På samme måte vil et elektrisk felt '''E''' i det første inertialsystemet gi opphav til et magnetisk felt '''B''' = - '''v''' × '''E'''/''c''<sup> 2</sup>  i det andre inertialsystemet. Det var ikke uten grunn at Einstein kalte den opprinnelige artikkelen om den spesielle relativitetsteorien for ''Zur Elektrodynamik bewegter Körper'' (''Elektrodynamikk til bevegte legemer''). Han viste her at det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske feltet]] vil være hovedsakelig elektrisk eller magnetisk avhengig av hvem som observerer det. ==Kontinuerlig ladningsfordeling== [[Fil:Lorentz force continuum.svg|200px|thumb|Lorentz-kraften som virker på et lite volumelement ''dV'' i en ladningsfordeling med tetthet ''ρ'' og strømtetthet '''J''' = ''ρ'' '''v''', kan uttrykkes ved volumkraften '''f''' = ''ρ'' '''E''' + '''J''' × '''B''']] Hvis man betrakter et system bestående av en kontinuerling fordeling av partikler med ladningstetthet {{nowrap|''ρ'' {{=}} ''ρ''('''x''',''t'')}}, vil ladningen i et lite volumelement ''dV'' være ''dq'' = ''ρdV''. Kraften som virker på partiklene i dette volumelementet er da {{nowrap|''d'' '''F''' {{=}} ''ρ''('''E''' + '''v''' × '''B''')''dV''}}  hvor {{nowrap|'''v''' {{=}} '''v'''('''x''',''t'')}} er [[kontinuitetsligning#Hastighetsfelt|hastighetsfeltet]] som sier hvordan partiklene beveger seg. Her vil nå '''J''' = ''ρ'' '''v'''  være [[elektrisk strøm|strømtettheten]] i ladningsfordelingen. Denne formen for den differensielle Lorentz-kraften gjør det naturlig å uttrykke den ved en '''volumkraft''' : <math> \mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} </math> som virker på hvert differensielt volumelement ''dV'' av ladningsfordelingen. Man kan her bruke [[Maxwells ligninger]] til å uttrykke ladningstettheten ''ρ'' og strømtettheten '''J''' ved de [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske feltene]] slik at volumkraften tar formen : <math> \mathbf{f} + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} = \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} </math> hvor '''S''' = '''E''' × '''H'''  er [[Poyntings vektor]] som angir strømmen av energi fra ladningsfordelingen når feltene varierer med tiden. I tillegg er <math> \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{ij})</math> [[Maxwells spenningstensor]] som gjør det mulig å beregne de elektromagnetiske kreftene som virker både inni og utenpå ladningsfordelingen.<ref name="Brau"> C.A. Brau, ''Modern Problems in Classical Electrodynamics'', Oxford University Press, Oxford (2004). ISBN 0-19-514665-4.</ref> Den totale Lorentz-kraften er gitt ved det tredimensjonale volumintegralet : <math> \mathbf{F} = \int\!dV (\rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}) </math> som går over hele rommet hvor ladningene befinner seg. Det spiller en viktig rolle innen [[Plasma (fysikk)|plasmafysikken]]. ==Matematisk utledning== Grunnen til at Lorentz-kraften er konsistent med Einsteins relativitetsteori, er at den kan utledes fra en [[kovariant relativitetsteori#Relativistisk bevegelsesligning|Lagrange-funksjon]] som er invariant under [[spesiell relativitetsteori|Lorentz-transformasjoner]]. For en relativistisk partikkel med hastighet '''v''' kan den skrives som : <math> L = -mc^2\sqrt{1 - v^2/c^2} - q(\Phi - \mathbf{v}\cdot\mathbf{A})</math> hvor Φ er det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] og '''A''' det [[magnetfelt|magnetiske vektorpotensialet]]. De inngår i den elektromagnetiske vekselvirkningen på en slik måte at den er invariant under gaugetransformasjoner. I [[Lagrange-mekanikk|Euler-Lagrange-ligningen]] : <math> {\partial L\over\partial\mathbf{x}} - {d\over dt}{\partial L\over\partial\mathbf{v}}= 0 </math> hvor '''v''' = ''d'' '''x'''/''dt'', inngår den kanoniske impulsen : <math> \mathbf{p} = {\partial L\over\partial\mathbf{v}} = {m\mathbf{v}\over\sqrt{1 - v^2/ c^2}} + q\mathbf{A} </math> sammen med : <math> {\partial L\over\partial\mathbf{x}} = -q \boldsymbol{\nabla}\Phi + q \boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}) </math> Ved å benytte at : <math> {d\mathbf{A}\over dt} = {\partial\mathbf{A}\over\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A} </math> sammen med [[vektoranalyse|vektoridentiteten]] : <math> \mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}) - (\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}, </math> kommer man dermed fram til bevegelsesligningen : <math> {d\over dt}{m\mathbf{v}\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}). </math> På venstre side inngår den tidsderiverte av den relativistiske impulsen til partikkelen som er ''m'' '''v''' ved lave hastigheter. Lorentz-kraften opptrer på høyre side av resultatet med det elektriske feltet {{nowrap|'''E''' {{=}} -'''∇''' Φ - ''∂'' '''A'''/''∂ t''}} og det magnetiske feltet {{nowrap|'''B''' {{=}} '''∇''' × '''A'''.}} == Se også == * [[Elektrisk potensial]] * [[Magnetisk felt]] * [[Maxwells likninger]] * [[Elektromagnetiske felt]] * [[Elektrodynamikk]] == Referanser == <references/> ==Eksterne lenker== * R.P. Feynman, [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_26.html ''Lorentz transformations of the fields''], Lectures on Physics, Volume II, Caltech, Pasadena (2013). * NCERT, [http://ncert.nic.in/ncerts/l/leph104.pdf ''Moving charges and magnetism''], del av indisk forelesningsserie om elektromagnetisme. {{Autoritetsdata}} [[Kategori:Elektromagnetisme]] [[Kategori:Magnetisme]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon