Redigerer Laplacetransformasjon

'''Laplacetransformasjon''' er en [[matematisk operasjon]] som overfører en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til [[analyse]] av forskjellige [[Andreordens dynamisk system|dynamiske systemer]]. Ved å bruke [[Lineær transformasjon|transformasjonen]] vil spesielt løsning av [[linearitet|lineære]], ordinære differensialligninger og dets relaterte [[initialverdiproblem]] – samt [[System (matematikk)|systemer]] av disse – kunne utføres lettere.

En ordinær [[differensialligning]] blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.


== Definisjon ==
Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:

<math>F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} = \int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \, dt</math>

der <math>s\!</math> er [[Variabel|variabelen]] man bruker i laplacedomenet og <math>f(t)\!</math> er funksjonen som skal transformeres. Her er <math>s\!</math> en [[Komplekst tall|kompleks]] variabel:

<math>\ s=\sigma + i\omega</math>
<br />
<br />

== Invers laplacetransformasjon ==
Den [[Invers funksjon|inverse]] laplacetransformasjonen er definert ved følgende
<br /><br />
<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{ \gamma - i T}^{ \gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds</math>
<br /><br />
Dette impliserer videre at
<br /><br />
<math>\mathcal{L}^{-1}\left\{ \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}\right\} = f(t)</math><br /><br />

og <br /><br />
<math>\mathcal{L}\left\{ \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s)\right\}\right\} = F(s)</math>
<br />
<br />

== Linearitet ==
Laplacetransformasjonen er en [[Lineær transformasjon|lineær operasjon]]; hvilket betyr at, for en hver funksjon <math>f(t)\!</math> og <math>g(t)\!</math> som har [[Eksistens (matematikk)|eksisterende]] transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:
<br />
<br />

<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + b \mathcal{L}\left\{g(t)\right\}</math>
<br />
<br />

== Vekstrestriksjon ==
Per definisjon har en funksjon <math>f(t)\!</math> en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en [[vekstrestriksjon]] for alle <math>t \geqq 0\!</math> på følgende måte:
<br />
<br />
<math>\left\vert f(t) \right\vert \leqq M e^{k t}</math>
<br />
<br />
der <math>M\!</math> og <math>k\!</math> er [[konstant|konstanter]]. Siden <math>f(t)\!</math> er stykkevis [[Kontinuerlig funksjon|kontinuerlig]], vil også <math>e^{-st}f(t)\!</math> være [[Integral (matematikk)|integrerbar]] over et hvert Intervall [[Intervall (matematikk)|intervall]] på t-[[Akse (geometri)|aksen]]. Fra forrige ligning, kan man da utlede [[Matematisk bevis|bevis]] for eksistens:

<math>\left\vert \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} \right\vert = \left\vert \int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \, dt \right\vert \leqq \int_{0}^\infty \left\vert f(t) \right\vert e^{-st} \, dt \leqq \int_{0}^\infty M e^{k t} e^{-st} \, dt = \frac{M}{s - k} </math>

Hvis en funksjon <math>f(t)\!</math> er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der <math>t \geqq 0\!</math> og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle <math>t \geqq 0\!</math> og konstantene <math>M\!</math> og <math>k\!</math> , vil laplacetransformasjonen <math>\mathcal{L}\left\{f(t) \right\}\!</math> eksistere for alle <math>s > k\!</math>.
<br />
<br />

==Transformasjoner av differensialkvotienter og integraler==
=== Laplacetransformasjon av første- og andreordens differensialkvotient ===
Transformasjonen av første- og andreordens [[differensialkvotient]] av <math>f(t)\!</math>, tilfredsstiller følgende:

*<math>\mathcal{L}\left\{f' \right\} = s \mathcal{L}\left\{f\right\} - f(0)</math>
*<math>\mathcal{L}\left\{f'' \right\} = s^2 \mathcal{L}\left\{f\right\} - sf(0) - f'(0)</math>
<br />

=== Laplacetransformasjon av differensialkvotienter i alle ordener===
Det kan bevises ved bruk av [[Matematisk induksjon|induksjon]] at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon <math>f\!</math> har <math>n - 1\!</math> antall kontinuerlige deriverte for <math>t \geqq 0\!</math>, og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av <math>f^{(n)}\!</math> tilfredsstille:

<math>\mathcal{L}\left\{f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\left\{f \right\} - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)</math>
<br />
<br />

=== Laplacetransformasjon av integraler ===
La <math>F(s)\!</math> være den laplacetransformerte av funksjonen <math>f(t)\!</math> som er stykkevis kontinuerlig for <math>t \geqq 0\!</math> og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for <math>s > 0\!</math>, <math>s > k\!</math> ( i forhold til vekstrestriksjonen), og <math>t > 0\!</math>, er
<br />
<br />
<math>\mathcal{L}\left\{\int\limits_{0}^{t}f(\boldsymbol{\tau})\, d\boldsymbol{\tau} \right\} = \frac{1}{s}F(s)</math>
<br />
<br />
som også gir:
<br />
<br />
<math>\int\limits_{0}^{t}f(\boldsymbol{\tau})\, d\boldsymbol{\tau}  = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}F(s)\right\}</math>
<br />
<br />

== Laplace og ODE'er ==
=== Prosess for løsing av lineære ODE'er ===
Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:
* '''Steg 1.''' Den oppgitte ODE transformeres til en [[algebraisk ligning]], ved bruk av Laplacetransformasjon. Denne er ofte referert som en [[hjelpeligning]].
* '''Steg 2.''' Denne hjelpeligningen løses deretter ved bruk av vanlige [[algebra|algebraiske]] manipuleringer.
* '''Steg 3.''' Løsningen i Steg 2 transformeres tilbake ved bruk av invers-laplacetransformasjon, som gir løsningen på den opprinnelige ODE.
<br />

=== Fordeler framfor vanlig framgangsmåte ===
* I. Problemene blir løst mer direkte: Initialverdiproblemer blir løst uten å først måtte bestemme en generell løsning. Inhomogene ODE'er blir løst uten å først måtte løse den korresponderende homogene ODE'en.
* II. Mer viktig: bruken av [[Heavisidefunksjonen|Heavisides stegfunksjon]] og [[Diracs deltafunksjon]] gjør metoden særlig mektig for problemer med [[inndata]] som er usammenhengende eller representerer korte [[impuls|impulser]] eller kompliserte [[Periodisk funksjon|periodiske funksjoner]].
<br />
<br />

== Tabell over noen kjente laplacetransformasjoner ==


{| class="wikitable"
|-
! Tidsdomene <br /> <math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}</math> || Laplace s-domene <br /> <math>F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}</math>
|- style="text-align:center;"
| <math> 1\!</math> || <math> \frac{1}{s}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> t\!</math> || <math> \frac{1}{s^2}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> t^2\!</math> || <math> \frac{2!}{s^3}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> t^n\!</math> <br /> <math>(n=0,1, \cdots)</math> || <math> \frac{n!}{s^{n+1}}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> t^a\!</math> <br /> positiv <math>a</math>|| <math> \frac{\Gamma (a + 1)}{s^{a + 1}}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> e^{at}\!</math> || <math> \frac{1}{s - a}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> cos(\omega t)\!</math> || <math> \frac{s}{s^2 + \omega^2}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> sin(\omega t)\!</math> || <math> \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> cosh(a t)\!</math> || <math> \frac{s}{s^2 - a^2}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> sinh(a t)\!</math> || <math> \frac{a}{s^2 - a^2}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> e^{a t} cos(\omega t)\!</math> || <math> \frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2}  </math>
|- style="text-align:center;"
| <math> e^{a t} sin(\omega t)\!</math> || <math> \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}  </math>

|}

==Se også==	 
* [[Fouriertransformasjon]]	 

==Kilder==	 
* {{citation|first=Erwin|last=Kreyszig|title=Advanced Engineering Mathematics|edition=10th|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=2011|isbn=978-0-470-64613-7}}.

{{stubb}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Transformasjoner]]
[[Kategori:Differensiallikninger]]
[[Kategori:Fourieranalyse]]
[[Kategori:Fysiske ligninger]]
[[Kategori:Eponymer]]