Redigerer Kvadratrise

[[Fil:Quadratrix animation.gif|thumb|right|En del av kvadratrisen (i rødt) fremkommer som skjæringspunktet mellom to bevegelige linjestykker.]]
'''Kvadratrise''' er en matematisk [[kurve]] som opprinnelig ble konstruert i [[antikkens Hellas]] for å løse problemet med [[vinkelens tredeling]]. Dette tilskrives [[Hippias fra Elis]] slik at den opprinnelig ble kalt '''trisektrisen til Hippias'''. Noe senere ble det vist at den kunne også løse problemet med [[sirkelens kvadratur]], det vil si å konstruere et kvadrat med samme areal som innenfor en sirkel. Det var denne anvendelsen som ga kurven navnet '''kvadratrise'''. Etter [[linje]]n og [[sirkel]]en var dette den tredje kurven som fikk sitt eget navn.

Kurven fremkommer ved å betrakte to [[linjestykke]]r i planet. Det ene roterer med jevn hastighet om et fast punkt ''A'', mens det andre beveger seg med konstant hastighet parallelt til et annet linjestykke ''AB'' og [[vinkelrett]] på dette. Skjæringspunktet ''F'' mellom disse to linjestykkende genererer kvadratrisen  når begge linjestykkende når den horisontale posisjonen samtidig. Det roterende linjestykket beskriver en kvart sirkelbue ''DB'' etter at det har rotert 90&deg; fra utgangspunktet.

==Matematisk beskrivelse==

For en matematisk beskrivelse av kvadratrisen er det enklest å tenke seg at den fremkommer ved den motsatte bevegelsen hvor de begge beveger seg fra en horisontal utgangsposisjon. Det roterende linjestykket vil da i hvert tidspunkt ''t'' danne en vinkel ''&phi; = &omega;t'' med den horisontale aksen hvor ''&omega;'' er den konstante rotasjonshastigheten. Punktet ''F'' vil samtidig ha beveget seg et stykke ''y = vt'' i vertikal retning når begge bevegelsene starter ved tiden {{nowrap|''t {{=}} 0''.}}

Etter en viss tid ''T'' er rotasjonen på 90&deg; fullført. Da dette tilsvarer ''&pi;/2'' [[radian]]er, må derfor vinkelhastigheten være slik at {{nowrap|''&pi;/2 {{=}} &omega;T''.}} Den parallelle bevegelsen av linjestykket ''AB'' må da være slik at ved samme tidspunkt ''T'' har det tilbakelagt en strekning {{nowrap|''a {{=}} vT''}} hvor ''a'' er lengden av sidene {{nowrap|''AB {{=}} AD''.}}  Det betyr at {{nowrap|''&omega;/v {{=}} &pi;&thinsp;/2a''}} slik at kvadratrisen er gitt ved den matematiske betingelsen

: <math> {y\over a} = {2\over\pi}\phi </math>

som alltid må være oppfylt. En fullstendig ligning for kurven avhenger av hvilke [[koordinater]] man vil benytte.

Ved bruk av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] innfører man avstanden ''r'' = |''AF''&thinsp;| som en ny koordinat. Da er {{nowrap|''y {{=}} r''&thinsp;sin''&phi;''}}. Dermed kan ligningen for kvadratrisen i [[koordinatsystem]]et ''(r,&phi;)'' skrives som

: <math> {r\over a} = {2\over\pi}{\phi\over\sin\phi} </math>

Når helningsvinkelen ''&phi; &rarr; 0'', vil sin''&phi; &rarr; &phi;'' slik punktet ''F'' blir liggende på den horisontale aksen i en avstand {{nowrap|''r/a {{=}} 2/&thinsp;&pi;&thinsp;''}} fra ''A''. Denne ligningen er nå gyldig for {{nowrap| ''- &pi; < &phi; < &pi;''&thinsp;.}} I grensen {{nowrap|''&phi; &rarr; &plusmn;&thinsp;&pi;&thinsp;''}} vil punktet ''F&thinsp;'' bevege seg uendelig langt ut til venstre i diagrammet.

[[Fil:Quadratrixkurve.svg|thumb|left|Kvadratrisen for ''a = 1'' plotted med ''x''-aksen rettet i horisontal retning mot høyre og ''y''-aksen pekende oppover.]]
Hvis man i stedet benytter et [[kartesisk koordinatsystem]] ''(x,y)'' med ''x''-aksen langs ''AB'', [[origo]] i det faste punktet ''A'' og med ''y''-aksen langs ''AD'', vil man ha at {{nowrap|''x {{=}} r''&thinsp;cos''&phi;''}} i tillegg til at {{nowrap|''y {{=}} r''&thinsp;sin''&phi;''}}. Derfor er {{nowrap|''x/y'' {{=}} cot''&phi;''}} som etter innsettelse for ''&phi;'' gir den kartesiske ligningen for kurven,

: <math>  x = y\cot{\pi y\over 2a} \, .</math>

Når ''y'' øker, går ''x'' mot null for ''y = a''. For større verdier av ''y'' blir ''x'' stadig mer negativ og går mot minus uendelig når {{nowrap|''y &rarr; 2a''.}} Det tilsvarer at ''y'' går mot grensen {{nowrap|''&phi; {{=}} &pi;&thinsp;''.}}

På denne formen kan kurveligningen nå også plottes for ''y > 2a''. Man finner da en ny gren av funksjonen når ''y'' øker i intervallet {{nowrap|''2a < y < 4a'',}} mens ''x'' avtar fra positiv uendelig til minus uendelig. Slik vil kvadratrisen i kartesiske koordinater fremstå som en kurve bestående av uendelig, ikke-sammenhengende grener som vist i figuren til venstre.

==Sirkelens kvadratur==
[[Fil:Circle_quadrature_quadratix_hippias2.svg|thumb|right|upright=1.25|Hvordan kvadratrisen med ''a = 1'' kan brukes til å løse problemet med [[sirkelens kvadratur]].]]
Den [[gresk]]e [[filosof]] [[Proklos]] skriver at det var [[Hippias fra Elis]] som konstruerte denne kurven for å løse problemet med [[vinkelens tredeling]]. Noe senere gjorde en annen, gresk matematiker [[Dinostratos]] bruk av den til å løse problemet med [[sirkelens kvadratur]]. Han var bror til [[Menaikhmos]] og begge hadde vært elever av [[Platon]]. Siden den tid er kurven blitt omtalt som '''kvadratrisen'''.

Sirkelens kvadratur går ut på å bestemme siden i et kvadrat som har like stort areal som innenfor en sirkel. I moderne notasjon betyr det å bestemme verdien på konstanten [[Pi|''&pi;'']] eller mer nøyaktig, bestemme &radic;&pi;&thinsp;. Løsningen til [[Hippias fra Elis|Hippias]] tilsvarer den geometriske konstruksjonen vist i figuren til høyre. Hvis man setter lengden til siden ''AB'' lik med {{nowrap|''a {{=}} 1'',}} vil lengden ''AJ'' være lik {{nowrap|''2/&pi;''}}&thinsp; ut fra hvordan kvadratrisen er definert. Det gir i praksis allerede verdien på ''&pi;''&thinsp;.

En mer eksplisitt verdi fås ved å trekke et linjestykke ''JK'' med lengde {{nowrap|''a {{=}} 1'',}} parallelt til siden ''BC'' og dens forlengelse. Skjæringspunktet ''L'' med denne og forlengelsen av ''AK'' gir da linjestykket ''BL'' med lengde ''&pi;/2''. Dette linjestykket sammen med et av lengde ''1/2'' brukes så som [[diameter]] ''NQ'' i en halvsirkel. Normalen ''OR'' på denne diameteren vil dermed bli ''mellomproporsjonalen'' eller den [[geometrisk gjennomsnitt|geometriske middelverdien]] av lengdene ''NO'' og ''OQ''. Og det er ''&radic;&pi;/2'' som inneholder løsningen på problemet.

==Litteratur==
* A. Holme, ''Matematikkens historie, vol. 1'', Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
* C. B. Boyer, ''A History of Mathematics'', Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

==Eksterne lenker==
* E.W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/QuadratrixofHippias.html Quadratrix of Hippias], MathWorld.
* MacTutor, [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Quadratrix.html Quadratrix of Hippias], University of St. Andrews, Scotland.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Matematiske problemer]]
[[Kategori:Areal]]
[[Kategori:Kurver]]