Redigerer Kubikktall

[[Fil:Rubiks cube solved.jpg|thumb|220px|[[Rubiks kube]] ser ut til å inneholde kubikktallet 3<sup>3</sup> = 27 mindre [[kube]]r.]]

Et '''kubikktall''' i [[aritmetikk]]en er det positive  [[heltall]]et som fremkommer ved å multiplisere et [[naturlig tall]] to ganger med seg selv. For eksempel kan man fra tallet 4 danne kubikktallet 64 = 4&sdot;4&sdot;4. Man sier vanligvis at dette er «kuben av fire» eller «fire i tredje potens» med tanke på at det kan skrives som en [[potens (matematikk)|matematisk potens]]  {{nowrap|4<sup>3</sup> {{=}} 64}}. De første kubikktallene er

:  1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, ...

Kubikktallene er en klasse av [[figurtall]] som er forbundet med en geometrisk [[kube]].  Har denne en sidelengde ''n'' uttrykt i en bestemt [[måleenhet]], kan den deles opp i ''n''<sup>&thinsp;3</sup>&thinsp; mindre kuber. Med bruk av samme måleenhet, ville dette også være [[volum]]et av kuben.

Da kuben er et av de fem [[platonsk legeme| platonske legemene]], tilhører kubikktallene en større klasse av [[polyedertall]] i tre dimensjoner og er en direkte utvidelse av [[kvadrattall]]ene i to dimensjoner.

==Summasjon av kubikktall==

Alle [[kvadrattall]] kan finnes som summer av [[oddetall]] fra ligningen

: <math> 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 </math>

Summen av de ''n'' første oddetallene er derfor lik med det ''n''-te kvadrattallet. Det vises lett ved [[induksjon (matematikk)|matematisk induksjon]],

: <math> 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) + (2n+1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 </math>

som betyr at når formelen er riktig for ''n'' = 2, er den også gyldig for alle større ''n''.

Helt fra [[antikken]] var det kjent at påfølgende delsummer av oddetall ville gi kubikktall. De enkleste eksemplene er

: <math>\begin{align} 1 &= 1^3 \\
3 + 5 = 8 &= 2^3 \\7 + 9 + 11 = 27  &= 3^3  \end{align}</math>

og så videre. Herav følger at 1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup> = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6<sup>2</sup> = 36. Disse sammenhengene knyttes spesielt til [[Nikomakhos fra  Gerasa|Nikomakhos]] og kan generelt skrives som

: <math> a_n + (a_n + 2) + \cdots + (a_n + 2n - 2) = n^3 </math>

der ''a<sub>n</sub>'' = ''n''<sup>&thinsp;2</sup> - ''n'' + 1. Hvis nå alle disse likhetene adderes sammen, får man summen

: <math> 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + (a_n + 2n - 2) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 </math>

Men nå er ''a<sub>n</sub>'' + 2''n'' - 2 =  ''n''<sup>&thinsp;2</sup> + ''n'' - 1 slik at man har resultatet

: <math> 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \Big({n^2 + n\over 2}\Big)^2 </math>

når man benytter uttrykket for summen av odde tall. Denne klassiske formelen kan alternativt uttrykkes ved det  ''n''-te [[trekanttall]]et

: <math>\Delta_n = 1 + 2 + 3 + \ldots  + n = \frac 1 2 n(n+1) </math>

slik at summen av de ''n'' første kubikktallene  er lik med kvadratet av dette tallet. Det betyr at formelen kan skrives som

: <math> 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + \ldots  + n)^2 </math>

På denne formen omtales resultatet for summen av kubikktalene vanligvis som [[Trekanttall#Formelen til Nikomachos|Nikomachos' formel]].

==Litteratur==
* A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk III for realgymnaset'',  Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
* A. Holme, ''Matematikkens Historie 1'',  Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Aritmetikk]]
[[Kategori: Figurtall]]