Redigerer Kriging

[[Fil:Example krig.png|thumb|300px|Figur 1. Eksempel på endimensjonal datainterpolering ved kriging av bestemte intervaller. Firkantene indikerer lokaliseringen av data. Interpolering med kriging i rødt. Intervaller i grønt.]]
'''Kriging''' er et internasjonalt fagbegrep for en gruppe av [[Geostatistikk|geostatistiske]] teknikker for å [[Interpolasjon|interpolere]] verdien av tilfeldig felt (eksempelvis høyden, z, av landskapet som en funksjon av det geografiske lokalitet) ved en ikke-observert lokalitet basert på undersøkelser av nærliggende lokaliteter. Selv om kriging opprinnelig ble utviklet utelukkende for geostatistikk, er det en generell metode for [[Statistikk|statistisk]] [[interpolering]] som kan bli benyttet for et hvert fag med det mål å benytte data fra tilfeldige felt som tilfredsstiller hensiktsmessige [[Matematikk|matematiske]] forutsetninger.

Teorien bak [[Interpolasjon|interpolering]] og [[Ekstrapolasjon|ekstrapolering]] ved kriging ble utviklet av den franske matematikeren [[Georges Matheron]]. Det var basert på en avhandling av [[Daniel Gerhardus Krige]], en pioner innenfor å plotte distanse og gjennomsnittlig grad av gullforekomster ved [[Witwatersrand]] i [[Sør-Afrika]]. Det [[engelske]] [[verb]]et «to krige» og dets mest vanlige substantivet er begge uttalt med en hard [[g]] som følge av uttalen av navnet Krige. På [[norsk]] benyttes utelukkende substantivet «kriging» i denne særskilte mening, men er likevel utsatt for forveksling med det langt eldre begrepet [[krig]] i betydning militær konflikt.<ref>Bokmålsordboka: [http://ordbok.uib.no/perl/ordbok.cgi?OPP=krig&bokmaal=+&ordbok=bokmaal Krig]{{død lenke|dato=juli 2017 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

==Interpolasjon ==
Kriging tilhører familien av lineære [[minste kvadraters metode]] ved beregning av [[algoritme]]r. Som illustrert i figur 1 er målet med kriging å beregne verdien av en ukjent funksjon av [[Reelt tall|reell verdi]], <math>f</math>, ved et punkt, <math>x^*</math>, gitt verdiene av funksjonen ved andre punkter, <math>x_1,\ldots, x_n</math>. En beregning ved kriging sies å være «lineær» ettersom den beregnede verdien <math>\hat f(x^*)</math> er en [[lineær kombinasjon]] som kan bli skrevet som
:<math>\hat f(x^*) = \sum_{i=1}^n \lambda_i(x^*) f(x_i)</math> .
Mengdene <math>\lambda_i</math> er løsninger av et system av lineære utjevninger som er oppnådd ved å anta at <math>f</math> er en stikkprøve-spor i en ''[[Stokastisk prosess|tilfeldige (stokastiske) prosesser]]'' <math>F(x)</math>, og forutsigelsefeil
:<math>\varepsilon(x) = F(x) - \sum_{i=1}^n \lambda_i(x) F(x_i) </math>
er minimalisert i en del måter. Eksempelvis, forutsetningen i såkalt «enkel kriging» er at midlere (gjennomsnittlig) og [[kovarians]] av <math>F(x)</math> er kjent og krigingens uavhengige variabel er deretter den ene som minimaliserer standardavviket eller spredningsfeil i forutsigelsen.

== Anvendelser ==
Selv om kriging ble opprinnelig utviklet for anvendelser i geostatistikk, er det som nevnt over en generell metode for statistisk interpolering som kan bli benyttet innenfor et hvert fag for å ta stikkprøvedata fra tilfeldige felt som tilfredsstiller hensiktsmessige matematiske forutsetninger.

I dag har kriging blitt benyttet for en rekke fag, blant annet:
* Svartboks-modellering i dataeksperimenter <ref>Sacks, J. & Welch, W.~J. & Mitchell, T.~J. & Wynn, H.~P. (1989): «Design and Analysis of Computer Experiments». ''4. Statistical Science''. ss. 409–435.</ref>
* Miljøvitenskap <ref>Hanefi Bayraktar & F. Sezer. Turalioglu (2005): «A Kriging-based approach for locating a sampling site—in the assessment of air quality» i: ''SERRA'', v.19, n.4, DOI 10.1007/s00477-005-0234-8, s. 301-305</ref>
* [[Hydrogeologi]] <ref>Chiles, J.-P. & P. Delfiner (1999): «Geostatistics, Modeling Spatial uncertainty», Wiley Series in Probability and statistics.</ref><ref>Zimmerman, D.A. et al. (1998): «A comparison of seven geostatistically based inverse approaches to estimate transmissivies for modelling advective transport by groundwater flow» i: ''Water Resource''. Res., v.34, n.6, s.1273-1413</ref>
* [[Gruvedrift]] <ref>Journel, A.G. & C.J. Huijbregts (1978): ''Mining Geostatistics'', Academic Press London</ref><ref>Andrew Richmond (2003): «Financially Efficient Ore Selection Incorporating Grade Uncertainty» i: ''Mathematical Geology'', v. 35, n.2, ss. 195-215</ref>
* [[Naturressurs]]er <ref>Goovaerts (1997): ''Geostatistics for natural resource evaluation''</ref><ref>X. Emery (2005): «Simple and Ordinary Kriging Multigaussian Kriging for Estimating recovevearble Reserves» i: ''Mathematical Geology'', v. 37, n. 3, ss. 295-319)</ref>
* [[Fjernanalyse]] <ref>A. Stein, F. van der Meer, B. Gorte (red.) (2002): ''Spatial Statistics for remote sensing''</ref>
* Eiendomsvurdering <ref>Barris, J. (2008): ''An expert system for appraisal by the method of comparison''. PhD Thesis, UPC, Barcelona</ref>

== Referanser ==
<references/>

== Litteratur ==
* Sacks, J. & Welch, W.~J. & Mitchell, T.~J. % Wynn, H.~P. (1989): «Design and Analysis of Computer Experiments». ''4. Statistical Science''. ss. 409–435.
* Hanefi Bayraktar & F. Sezer. Turalioglu (2005): «A Kriging-based approach for locating a sampling site—in the assessment of air quality», ''SERRA'', v.19, n.4, DOI 10.1007/s00477-005-0234-8, ss. 301-305
* Chiles, J.-P. & P. Delfiner (1999): ''Geostatistics, Modeling Spatial uncertainty'', Wiley Series in Probability and statistics.
* Zimmerman, D.A. et al. (1998): «A comparison of seven geostatistically based inverse approaches to estimate transmissivies for modelling advective transport by groundwater flow» i: ''Water Resource. Res.'', v.34, n.6, s. 1273-1413
* Tonkin M.J. Larson (2002): «Kriging Water Levels with a Regional-Linear and Point Logarithmic Drift», ''Ground Water'', v. 33, no 1., s. 338-353,
* Journel, A.G. & C.J. Huijbregts (1978): ''Mining Geostatistics'', Academic Press London
* Andrew Richmond (2003): «Financially Efficient Ore Selection Incorporating Grade Uncertainty» i: ''Mathematical Geology'', v. 35, n.2, ss. 195-215
* Goovaerts (1997): ''Geostatistics for natural resource evaluation''
* X. Emery (2005): «Simple and Ordinary Kriging Multigaussian Kriging for Estimating recovevearble Reserves» i: ''Mathematical Geology'', v. 37, n. 3, ss. 295-319
* A. Stein, F. van der Meer, B. Gorte (red.) (2002): ''Spatial Statistics for remote sensing''
* Barris, J. (2008): ''An expert system for appraisal by the method of comparison''. PhD Thesis, UPC, Barcelona
* Grace Wahba (1990): «Spline Models for Observational Data» i: ''59. SIAM''. ss. 162.
* Williams, Christopher K.I. (1998): «Prediction with Gaussian processes: From linear regression to linear prediction and beyond» i: Jordan, M. I.: ''Learning in graphical models.'' MIT Press. ss. 599–612.

== Eksterne lenker ==
* [https://web.archive.org/web/20111218201755/http://gaussianprocess.com/ GaussianProcess.com: Theory and Applications of Gaussian Processes]
* [http://www.ai-geostats.org/ An information server about geostatistics and spatial statistics]
* [http://cg.ensmp.fr/ On-Line Library of the ''Centre de Geostatistique'' at the ''Ecole des Mines de Paris'']
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Geostatistikk]]
[[Kategori:Multivariat interpolasjon]]