Redigerer
Kontinuitetsligning
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:Continuity eqn open surface.svg|thumb|Illustruasjon av hvordan fluksen av en størrelse ''q'' gjennom to flater S<sub>1</sub> og S<sub>2</sub> forårsakes av et [[vektorfelt|hastighetsfelt]] '''v''' som varierer i rommet.]] '''Kontinuitetsligning''' er en [[partiell differensialligning]] som lokalt uttrykker bevarelse av en [[fysikk|fysisk]] størrelse i et kontinuerlig system. Den beskriver hvordan forandringen med tiden til tettheten ''ρ '' av denne størrelsen er forbundet med forandringen i rommet til strømtettheten '''J'''  av samme størrelse. Matematisk kan den skrives som : <math> \frac {\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0</math> når man gjør bruk av [[nabla-operator]]en. I [[hydrodynamikk]]en finnes en slik bevarelsesligning for [[masse]], mens i [[elektrodynamikk]]en uttrykker den bevarelse av [[elektrisk ladning]]. I tillegg kan bevarelse av [[impuls]] og [[energi]] i begge disse systemene uttrykkes på samme måte.<ref name = Falkovich>G. Falkovich, ''Fluid Mechanics: A Short Course for Physicists'', Cambridge University Press, New York (2011). ISBN 978-1-107-00575-4.</ref> Som vist av [[Emmy Noether]] følger disse bevaringslovene fra forskjellige [[symmetri]]er som alltid er tilstede. Kontinuitetsligningen opptrer derfor også i moderne [[elementærpartikkel]]fysikk og uttrykker der bevarelse av [[kvantetall]]ene som karakteriserer disse fundamentale partiklene. ==Matematisk utledning== En bevart størrelse kan ikke oppstå eller bare forsvinne. Mengden av den på et sted kan bare forandres ved at deler av den strømmer til eller fra dette stedet. Er den beskrevet ved tettheten {{nowrap|''ρ  {{=}} ρ''('''x''',''t'')}}, er mengden av den ''Q '' innen et endelig volum ''V '' gitt ved integralet : <math> Q(t) = \int_V \!d^3x \rho(\mathbf{x},t) </math> Øker denne mengden, må det skyldes at det er strømmet noe inn. Omvendt vil noe ha strømmet ut hvis mengden ''Q '' er blitt mindre. Denne strømmen er gitt ved [[fluks]]vektoren {{nowrap|'''J''' {{=}} '''J'''('''x''',''t'')}}. Betrakter man et lite flateelement ''d'' '''S'''  med retning [[vinkelrett|normalt]] på flaten, vil mengden som strømmer gjennom det være gitt ved den differensielle [[fluks]]en '''J'''⋅''d'' '''S'''. Integrerer man dette derfor over hele overflaten ''S '' til volumet ''V'', vil det gi den totale mengden som har strømmet ut av volumet per tidsenhet. Derfor har man at : <math> {dQ\over dt} = - \oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math> som kan sies å være en global versjon av kontinuitetsligningen.<ref name = Falkovich/> Den lokale formen av ligningen fås ved å skrive venstre side som : <math> {dQ\over dt} = \int_V \!d^3x {\partial\rho\over\partial t}, </math> mens høyre side omformes ved bruk av [[divergensteoremet]]. Det gir : <math> \int_V \!d^3x\left({\partial\rho\over\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} \right) = 0 </math> Volumet som her er valgt, er ganske vilkårlig. Derfor må dette resultatet være gyldig for alle volum. Den eneste måten denne globale ligningen da alltid kan være gyldig, er at inneholdet i parentesen er null. Det gir kontinuitetsligningen på lokal form. Under stasjonære forhold når ladninger og strømmer er konstante, vil ''∂ρ''/''∂ t'' = 0 slik at strømtettheten må overalt oppfylle {{nowrap|'''∇⋅J''' {{=}} 0}}. Den vil derfor gå i en lukket kurve som tilsvarer en strømkrets. Gjennom overflaten til et endelig volum vil like mye strømme inn som det strømmer ut. ==Punktpartikler== Bevarte størrelser i fysikken kan vanligvis forbindes med egenskaper til enkelte partikler. I en kontinuerlig fordeling kan de ble beskrevet som '''punktpartikler''' uten utstrekning og med den bevarte egenskapen konsentrert i det punkt hvor partikkelen befinner seg. Dette kan matematisk beskrives ved [[Diracs deltafunksjon]].<ref name = Lamb>H. Lamb, ''Hydrodynamics'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 978-0-486-60256-1.</ref> For eksempel, en samling partikler hvor hver har ladning ''q<sub>a</sub> '' og beveger seg langs banene '''x'''<sub>''a''</sub>(''t''), gir opphav til ladningstettheten : <math> \rho(\mathbf{x},t) = \sum_a q_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) </math> og strømtettheten : <math> \mathbf{J}(\mathbf{x},t) = \sum_a q_a \mathbf{v}_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) </math> hvor '''v'''<sub>''a''</sub> = ''d'' '''x'''<sub>''a''</sub> /''dt''  er hastigheten til partikkel med merkelapp ''a''. Da dette er en klassisk beskrivelse hvor partiklene hverken kan spontant forsvinne eller oppstå, må deres totale ladning : <math> Q = \sum_a q_a </math> være konstant under deres bevegelse. Dette kommer igjen til uttrykk ved at kontinuitetsligningen er oppfylt. Det følger fra : <math> \begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} &= \sum_a q_a \nabla_k \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) {dx^k_a\over dt} = - \sum_a q_a {\partial\over\partial x^k_a} \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) {dx^k_a\over dt}\\ &= - \sum_a q_a {\partial\over\partial t}\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) = - {\partial\rho\over\partial t} \end{align} </math> etter å ha brukt [[Einsteins summekonvensjon]] i den romlige derivasjonen og tatt tidsderivasjonen utenfor summetegnet. Dette resultatet er uavhengig av hvilken type ladning som er bevart. Hvis man her hadde satt ''q<sub>a</sub>'' = 1, ville ''ρ''  ha gitt antallstettheten av partikler, det vil si antall partikler per volumenhet og ''Q''  ville vært det totale antall partikler i systemet. ===Hastighetsfelt=== Når tettheten av partikler er veldig stor, kan man erstatte de individuelle hastighetene '''v'''<sub>''a''</sub>(''t'')  med funksjonen '''v'''('''x'''<sub>''a''</sub>,''t'')  etter å ha innført et [[felt (fysikk)|hastighetsfelt]] '''v'''('''x''',''t'')  som angir hastigheten til en partikkel som befinner seg i posisjon '''x'''  ved tiden ''t''. Strømtettheten kan dermed forenkles til : <math> \begin{align} \mathbf{J}(\mathbf{x},t) &= \sum_a q_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t))\mathbf{v}(\mathbf{x}_a,t) = \sum_a q_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t))\mathbf{v}(\mathbf{x},t) \\ &= \rho(\mathbf{x},t)\mathbf{v}(\mathbf{x},t) \end{align}</math> Hadde dette vært en [[elektrisk strøm]]tetthet i en [[elektrisk leder|leder]], ville hastighetsfeltet være gitt ved «driftshastigheten» til ladningsbærerne. ==Hydromekanikk== En flytende væske er karakterisert ved en [[skalar]] massetetthet ''ρ''('''x''',''t'') og et [[vektorfelt|vektorielt]] hastighetsfelt '''v'''('''x''',''t''). Betrakter man nå et lite volum ''V''  som flyter med væsken, vil dette raskt endre form da overflaten består av partikler. I løpet av et svært lite tidsrom, beveger disse seg et lite stykke Δ'''x'''  slik at det medfølgende volumet forandres med : <math> \Delta V = \oint_{\partial V} d\mathbf{S}\cdot \Delta\mathbf{x} </math> hvor ''d'' '''S'''  er et lite flateelement på overflaten ''S'' = ''∂V''. Hastigheten til denne volumforandringen er derfor : <math> {dV\over dt} = \oint_{\partial V} d\mathbf{S}\cdot\mathbf{v} = \int_V\!d^3x\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = V\, \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} </math> når volumet er så lite at hastigheten i det kan anses som konstant. Betingelsen på hastighetsfeltet for dets størrelsen ikke skal forandres, er derfor at {{nowrap|'''∇'''⋅'''v''' {{=}} 0}}. En slik væske sies å være '''inkompressibel'''. Under en slik flyt må massen ''ρV''  i volumet alltid være konstant da det består hele tiden av de samme partiklene. Derfor må man ha at : <math> {d\over dt}(\rho V) = {d\rho\over dt}V + \rho{dV\over dt} = 0 </math> De deriverte her er «totalderiverte» eller '''materielt deriverte''' da de uttrykker forandringene fra et medfølgende observasjonspunkt i væsken. Da tettheten varierer både i tid og rom, det vil si med ''t'' og '''x''', er den materielt deriverte : <math> {d\rho\over dt} = {\partial\rho\over\partial t} + {\partial\rho\over\partial x^k}{dx^k\over dt} = {\partial\rho\over\partial t} + \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\rho </math> Den partielt deriverte ''∂ρ''/''∂t''  sier hvor mye tettheten forandrer seg med tiden i et gitt punkt, mens [[gradient]]en '''∇'''''ρ'' sier hvordan tettheten forandrer seg i rommet ved et gitt tidspunkt. Ved nå å sette inn dette i ligningen for bevarelse av masse i det medfølgende volumet, finner man : <math> \left({\partial\rho\over\partial t} + \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\rho \right)V + \rho V\, \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = 0 </math> eller : <math> \frac {\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\rho\mathbf{v} = 0</math> som igjen er kontinuitetsligningen med strømtettheten '''J''' = ''ρ'' '''v'''. For en inkompressibel væske er derfor {{nowrap|''dρ''/''dt'' {{=}} 0 }} slik at den medfølgende tettheten er konstant. ===Dynamikk=== [[Newtons andre lov]] for et væskeelement med volum ''V'', er ''ρV''(''d'''''v'''/''dt'') = '''F'''  hvor denne kraften er gitt som summen av alle krefter som virker på elementet. Hvis man ser bort fra ytre krefter og [[viskositet|viskøse effekter]], er denne gitt ved trykket ''p '' alene som '''F''' = -''V'' '''∇'''''p''. På den måten fremkommer den dynamiske [[Euler-ligningene|Euler-ligningen]] : <math> {d\mathbf{v}\over dt} = {\partial\mathbf{v}\over\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v} = - {1\over\rho}\boldsymbol{\nabla}p . </math> som beskriver en slik '''ideell væske'''. På komponentform kan denne bevegelsesligningen skrives som : <math> {\partial\rho v_i\over\partial t} + \partial_j(\rho v_iv_j) + \partial_ip = 0, </math> ved bruk av [[Einsteins summekonvensjon]] og kontinuitetsligningen. Det er her hensiktsmessig å innføre den hydrodynamiske [[spenningstensor]]en : <math> T_{ij} = p\delta_{ij} + \rho v_iv_j </math> ved å benytte [[Kronecker-delta|Kronecker-symbolet]]. Euler-ligningen tar da den mer kompakte formen : <math> {\partial\rho v_i\over\partial t} + \partial_jT_{ij} = 0 </math> som beskriver en slik ideell væske. Viskøse effekter kan tas med ved å bygge disse inn i spenningstensoren.<ref name = Lamb/> ==Kovariant formulering== Kontinuitetsligningen er også gyldig i [[spesiell relativitetsteori]] da den uttrykker bevarelse av en fysisk størrelse. Dette kommer tydelig frem ved å innføre [[kovariant relativitetsteori|Minkowski- koordinater]] {{nowrap|''x<sup>μ</sup> {{=}} (ct, x, y, z)'' }} og den tilsvarende kovariante [[gradient]]en ''∂<sub>μ</sub>'' = ''∂/∂x<sup>μ</sup> '' hvor ''c''  er lyshastigheten. Da kan ligningen skrives på formen : <math> \partial_\mu J^\mu = 0 </math> hvor [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|4-vektoren]] ''J<sup> μ</sup>'' = (''cρ'','''J'''). Tettheten ''ρ''('''x''',''t'')  inngår som nullte komponent i denne vektoren, og har en verdi som tilsvarer at den blir målt i et punkt '''x'''  ved tiden ''t''  hvor væsken har hastigheten '''v'''('''x''',''t''). Et lite volumelement vil derfor være redusert med [[spesiell relativitetsteori#Utledning av Lorentz-transformasjonen|Lorentz-faktoren]] : <math> \gamma = {1\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} </math> slik at tettheten er større enn tettheten ''ρ''<sub>0</sub>  i væskens hvilesystem med den samme faktor, det vil si ''ρ'' = ''γρ''<sub>0</sub>. Dette kommer automatisk frem ved å skrive : <math> J^\mu = \rho_0 u^\mu </math> hvor ''u<sup> μ</sup>''('''x''',''t'') = ''dx<sup>μ</sup>''/''dτ''  = ''γ''(''c'','''v''')  er 4-hastigheten til væsken. Da ''ρ''<sub>0</sub>  er en Lorentz-invariant konstant, viser denne formen tydelig at ''J<sup> μ</sup>'' = ''ρ''(''c'','''v''')  er en 4-vektor.<ref name = MTW>C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref> ===Energi-impulstensor=== I relativitetsteorien kan energi og impuls for en partikkel beskrives ved en 4-vektor. På samme måte kan disse størrelsene i en relativistisk væske beskrives ved en [[energi-impulstensor]]. Når væsken er ideell, har den formen : <math> T_{\mu\nu} = (\rho_0 + p_0/c^2)u_\mu u_\nu - p_0\eta_{\mu\nu} </math> hvor ''η<sub>μν</sub> '' er [[metrisk tensor|Minkowski-metrikken]] med de diagonale komponentnene (1, -1, -1, -1)  og ''ρ''<sub>0</sub>  og ''p''<sub>0</sub>  er massetetthet og trykk i væskens hvilesystem. Der har hastighetsfeltet verdien {{nowrap|''u<sup>μ</sup>'' {{=}} (''c'', 0, 0, 0) }} slik at komponenten {{nowrap|''T''<sub>00</sub> {{=}} ''ρ''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup> }} er energitettheten til væsken. For en vanlig, ikke-relativistisk væske er denne mye større enn det tilsvarende trykket ''p''<sub>0</sub>. Det medfører også at de romlige komponentene {{nowrap|''T<sub>ij</sub>'' {{=}} ''pδ<sub>ij</sub>'' + ''ρv<sub>i</sub>v<sub>j</sub>''}}  som definerer en ideell væske.<ref name = MTW/> Bevarelse av energi og impuls til væsken kan nå uttrykkes ved de kovariante bevarelsesligningene : <math> \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0 . </math> Her utgjør komponentene ''T<sup>μ0</sup>''  en 4-vektor for energitetthet og tilsvarende strøm, mens komponentene ''T<sup>μk</sup>''  utgjør en 4-vektor for impulstetthet og dens strøm. For en ikke-relativistisk væske hvor {{nowrap|''u<sup>μ</sup>'' {{=}} (''c'','''v'''), }} går {{nowrap|''∂<sub>μ</sub>T<sup>μ0</sup>'' {{=}} 0}}  over i den vanlige kontinuitetsligningen for masse, mens {{nowrap|''∂<sub>μ</sub>T<sup>μk</sup>'' {{=}} 0}}  gir de tre komponentene av den dynamiske Euler-ligningen. Det er som forventet da denne uttrykker akkurat bevarelse av impuls. ==Elektrodynamikk== Bevarelse av [[elektrisk ladning]] i [[elektrodynamikk]]en kan også skrives som en kontinuitetsligning. Den er en direkte konsekvens [[Maxwells ligninger|Maxwells ligning]] : <math> \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} .</math> Tar man [[divergens]]en av denne, blir : <math> 0 = \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} </math> da divergensen av en [[curl]] alltid er null. I det siste leddet kan man bytte om på derivasjonene i tid og rom slik at man her kan benytte [[Gauss' lov]] på den differensielle formen {{nowrap|'''∇'''⋅'''D''' {{=}} ''ρ''}}. Dermed fremstår kontinuitetsligningen på den vanlige formen : <math> \frac {\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0 . </math> Like direkte følger den fra den relativistiske formuleringen av elektrodynamikken ved å skrive Maxwell-ligningene på den [[Kovariant relativitetsteori#Kovariant bevegelsesligning|kovariante formen]] : <math> \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu </math> hvor ''F<sup> μν</sup>''  er Faraday-tensoren som inneholder de elektriske og magnetiske feltkomponentene og ''J<sup>μ</sup>''  er den elektriske 4-strømmen.<ref name = Griffiths>D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref> Ved å ta den kovariante gradienten av denne ligningen følger da direkte kontinuitetsligningen {{nowrap|''∂<sub>ν</sub>J<sup>ν</sup>'' {{=}} 0 }} da Faraday-tensoren er antisymmetrisk og operatoren ''∂<sub>μ</sub>∂<sub>ν</sub> '' er symmetrisk i de to indeksene. == Referanser == <references/> ==Eksterne lenker== * Suzanne Fielding, University of Durham, [https://community.dur.ac.uk/suzanne.fielding/teaching/BLT/sec1.pdf ''Lectures on fluid mechanics'']. {{Autoritetsdata}} [[Kategori:Fysiske ligninger]] [[Kategori:Fluiddynamikk]] [[Kategori:Elektromagnetisme]] [[Kategori:Partielle differensialligninger]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon