Redigerer
Konform avbilding
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:Conformal map.svg|thumb|220px|En konform avbildning ''f '' trans-formerer linjer som skjærer hverandre med 90° til kurver som skjærer hverandre med den samme vinkel.]] En '''konform avbilding''' gir et bilde av en [[flate]] eller [[Riemanns differensialgeometri|metrisk rom]] på en tilsvarende [[mangfoldighet]] slik at vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre, forblir den samme. Derfor sies avbildningen å være ''vinkeltro''. En tilstrekkelig liten figur, vil få samme form ved avbildningen og har derfor gitt opphav til betegnelsen konform. Derimot vil en endelig [[polygon]] avbildes som en ny polygon med de samme hjørnevinklene, men generelt med en ganske annen form. I alminnelighet vil alle lengder bli forandret ved denne transformasjonen. Et lite [[metrisk tensor#Riemannske rom|linjeelement]] ''dσ'' vil få lengden ''ds'' i bildet. Matematisk er den konforme avbildningen definert ved sammenhengen : <math> d\sigma = k(x) ds </math> hvor skalafaktoren ''k''(''x'') varierer fra punkt til punkt og er uavhengig av retningen til linjeelementet. Det betyr for eksempel at koordinatlinjene i et [[kartesisk koordinatsystem]] vil bli [[krumning|krumme]] [[kurve]]r som står vinkelrett på hverandre i bildet. Når skalafaktoren ''k'' = 1, sies avbildning å være ''isometrisk''. Translasjoner og rotasjoner i et [[euklidsk rom]] er eksempel på slike spesielle transformasjoner. Derimot er [[sirkelinversjon|inversjoner]] konforme transformasjoner med variabel skalafaktor. Ved fremstilling av [[kart]] ønsker man ofte at avbildningen skal være konform. Både [[Mercator-projeksjon]]en og den [[stereografisk projeksjon|stereografiske projeksjonen]] oppfyller dette kravet i motsetning til den [[gnomonisk projeksjon|gnomoniske projeksjonen]]. Likedan kan konforme transformasjoner benyttes til å løse problem innen [[hydrodynamikk]], [[elektromagnetisme]] og andre grener innen [[teoretisk fysikk]]. ==Matematisk beskrivelse== For en ''N''-dimensjonal [[mangfoldighet]] ''Σ'' med [[metrisk tensor]] ''g<sub>μν</sub>'' og koordinater ''u<sup>μ</sup>'' kan man skrive det kvadrerte [[Metrisk tensor#Riemannske rom|linjeelementet]] som : <math> d\sigma^2 = g_{\mu\nu}du^\mu du^\nu </math> Her benyttes [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summer fra 1 til ''N'' over alle par med like indekser. Denne mangfoldigheten skal nå avbildes på en annen ''Σ' '' med samme dimensjon.<ref name = TL-2>R. Tambs Lyche, ''Matematisk Analyse'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).</ref> For enkelhets skyld kan man anta at dette er et [[euklidsk rom]] med koordinater ''x<sup>α</sup>'' og metrikk som kan settes lik med [[Kronecker-delta]]et ''δ<sub>αβ</sub>''. Hvis denne avbildningen er konform, må det da finnes ''N'' [[derivasjon|deriverbare]] funksjoner ''u<sup>μ</sup>''(''x'') mellom koordinatene på disse to mangfoldighetene slik at man har : <math> d\sigma^2 = k^2(x)\delta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta </math> der ''k''(''x'') er en skalafaktor. Her er ''ds''<sup> 2</sup> = ''δ<sub>αβ</sub>'' ''dx<sup>α</sup> dx<sup>β</sup>'' = (''dx''<sup>1</sup>)<sup>2</sup> + (''dx''<sup> 2</sup>)<sup>2</sup> + ... + (''dx''<sup>''N''</sup>)<sup> 2</sup> det kvadrerte linjeelement på den euklidske mangfoldigheten ''Σ' ''. En [[vektor (matematikk)|vektor]] med komponenter ''A<sup>μ</sup>'' på mangfoldigheten ''Σ'' vil avbildes på ''Σ' '' med komponenter ''A'<sup> μ</sup>''. De er forbundet ved ligningene : <math> A^\mu = {\partial u^\mu\over\partial x^\alpha}A'^{\alpha} </math> som følger fra transformasjonen mellom disse to [[koordinatsystem]]ene. [[Indreprodukt]]et mellom to slike vektorer blir dermed : <math> \begin{align} \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} &= g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu = g_{\mu\nu}{\partial u^\mu\over\partial x^\alpha}{\partial u^\nu\over\partial x^\beta}A'^{\alpha}B'^{\beta}\\ &= k^2(x)\delta_{\alpha\beta}A'^{\alpha}B'^{\beta} = k^2(x) \mathbf{A'}\cdot\mathbf{B'} \end{align}</math> Indreproduktene mellom vektorene kan uttrykkes ved deres lengder ''A'' og ''B'' og vinkelen ''θ'' mellom dem som {{nowrap|'''A'''⋅'''B''' {{=}} ''AB'' cos''θ''}}. Da skalafaktoren ''k''(''x'') også opptrer mellom lengden ''A'' og ''A' '' før og etter transformasjonen, må cos''θ'' = cos''θ' ''. Avbildningen forandrer derfor ikke vinkelen mellom de to vektorene slik at den er konform.<ref name = Blair> D.E. Blair, ''Inversion Theory and Conformal Mapping'', Student Mathematical Library. No. 9, AMS (2000).</ref> Det samme gjelder for vinkelen mellom to [[kurve]]r som skjærer hverandre. Vinkelen mellom dem er da definert som vinkelen mellom deres [[tangent (matematikk)|tangentvektorer]] i skjæringspunktet. Denne vil på samme måte forbli uforandret ved en slik konform transformasjon. ===Eksempel: Sirkelinversjon=== Kanskje det eldste og mens kjente eksempel på en konform avbildning er [[sirkelinversjon|inversjon]] i en sirkel.<ref name = CG> H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, ''Geometry Revisited'', Mathematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.</ref> Den befinner seg i et todimensjonalt plan, og man kan her sette dens radius {{nowrap|''R'' {{=}} 1}}. Hvert punkt '''r''' med koordinater (''x,y'') blir transformert til det inverse punktet {{nowrap|'''r''' → '''r'''/''r''<sup> 2</sup>}} med koordinater (''u,v'') hvor : <math> \begin{align}x &\rightarrow u = {x\over x^2 + y^2} \\ y &\rightarrow v = {y\over x^2 + y^2} \end{align} </math> Det transformerte linjeelementet er ''dσ''<sup> 2</sup> = ''du''<sup> 2</sup> + ''dv''<sup> 2</sup> hvor de to [[differensial (matematikk)|differensialene]] blir : <math> \begin{align} du &= {x^2 - y^2\over (x^2 + y^2)^2} dx - {2xy\over (x^2 + y^2)^2} dy \\ dv &= {y^2 - x^2\over (x^2 + y^2)^2} dy - {2xy\over (x^2 + y^2)^2} dx \end{align} </math> Dermed er : <math> d\sigma^2 = {dx^2 + dy^2\over (x^2 + y^2)^2} </math> slik at transformasjonen er konform. Den er derfor vinkelbevarende som man også kan bevise med rent geometriske metoder.<ref name = CG/> Inversjon kan vises på samme måte å være konform når den foretas mellom to euklidske rom med dimensjon ''N'' > 2. Et geometrisk bevis er ikke enkelt i dette generelle tilfellet.<ref name = Blair/> ==Komplekse funksjoner== [[Fil:Biholomorphism illustration.svg|right|thumb|240px|Under en typisk, kompleks avbildning som ''z'' → ''e<sup>z</sup>'' bevares vinkler mellom linjer.]] Konforme transformasjoner i ''N'' = 2 dimensjoner er av spesiell stor betydning. Det kommer klart frem ved å betrakte en slik transformasjon {{nowrap|''x<sup>μ</sup>'' → ''u<sup>μ</sup>''(''x'')}} som involverer koordinater {{nowrap|''x<sup>μ</sup>'' {{=}} (''x,y'')}} og {{nowrap|''u<sup>μ</sup>'' {{=}} (''u,v'')}} i to euklidske plan.<ref name = TL-2/> Da er : <math>\begin{align} d\sigma^2 &= du^2 + dv^2 \\ &= \left[\Big({\partial u\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial x}\Big)^2\right]dx^2 + \left[\Big({\partial u\over\partial y}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial y}\Big)^2\right]dy^2\\ &+ 2 \left({\partial u\over\partial x}{\partial u\over\partial y} + {\partial v\over\partial x}{\partial v\over\partial y}\right) dx dy \end{align} </math> For at dette skal være proporsjonalt med ''ds''<sup> 2</sup> = ''dx''<sup> 2</sup> + ''dy''<sup> 2</sup>, må derfor de to funksjonene {{nowrap|''u'' {{=}} ''u''(''x,y'')}} og {{nowrap|''v'' {{=}} ''v''(''x,y'')}} oppfylle betingelsene : <math> \Big({\partial u\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial x}\Big)^2 = \Big({\partial u\over\partial y}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial y}\Big)^2 = k^2(x,y) </math> sammen med : <math> {\partial u\over\partial x}{\partial u\over\partial y} + {\partial v\over\partial x}{\partial v\over\partial y} = 0 </math> I denne siste ligningen kan man sette {{nowrap|''∂u'' /''∂x'' {{=}} ''ε'' ''∂v'' /''∂y''}} hvor ''ε'' er en ukjent størrelse. Den gir da at {{nowrap|''∂v'' /''∂x'' {{=}} -''ε'' ''∂u'' /''∂y''}}. Kombineres dette med de to første betingelsene, ser man at {{nowrap|''ε''<sup> 2</sup> {{=}} 1}}. Det finnes derfor uendelig mange konforme transformasjoner i to dimensjoner kun gitt ved disse to kravene til deres deriverte.<ref name = TL-2/> ===Cauchy-Riemanns ligninger=== Når ''ε'' = 1, er kravet for en konform avbildning at : <math> {\partial u\over\partial x} = {\partial v\over\partial y}, \;\;\; {\partial u\over\partial y} = - {\partial v\over\partial x} </math> Dette er [[Cauchy–Riemanns ligninger]] for en [[kompleks analyse|kompleks funksjon]] ''w''(''z'') = ''u''(''x,y'') + ''iv''(''x,y'') hvor ''z'' = ''x'' + ''iy'' er den [[komplekst tall|komplekse]] variable. Enhver slik analytisk funksjon {{nowrap|''w'' {{=}} ''f''(''z'')}} gir derfor opphav til en konform avbildning i det komplekse planet. En spesielt viktig rolle har [[Möbius-transformasjon]]er som overfører linjer og sirkler på linjer og sirkler. I det motsatte tilfelle med {{nowrap|''ε'' {{=}} -1}} vil man på samme vis ha en konform transformasjonen <math> z \rightarrow f(z^*) </math> hvor den kompleks konjugerte variable er <math> z^* = x - iy </math>. Dette er en antiholomorf transformasjon som tar en figur med en viss orientering til en tilsvarende figur med motsatt orientering. Dette skjer for eksempel ved [[Sirkelinversjon#Komplekse koordinater|sirkelinversjon]] i planet. De to funksjonene ''u'' = ''u''(''x,y'') og ''v'' = ''v''(''x,y'') som gir konforme avbildninger i to dimensjoner, er [[harmonisk funksjon|harmoniske funksjoner]]. Det følger direkte fra Cauchy–Riemanns ligninger som gir at : <math> {\partial^2 u\over\partial x^2}= {\partial^2 v\over\partial y\partial x} = - {\partial^2 u\over\partial y^2}</math> Derfor oppfyller begge funksjonene [[Laplace-ligningen]] <math> \nabla^2\Phi = 0 </math> i to dimensjoner. Den opptrer også i mange forskjellige anvendelser, for eksempler innen [[elektrostatikk]]en for det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]]. Beregnes dette i et bestemt område i to dimensjoner, kan man da med en kompleks transformasjon finne det i et annet område med en forskjellig, geometrisk form.<ref name = Churchill> R.V. Churchill, ''Complex Variables and Applications'', McGraw–Hill, New York (1974). ISBN 978-0-07-010855-4.</ref> ===Kompleks avbildning er vinkeltro=== En [[kurve]] i det komplekse planet kan generelt skrives som ''z''(''t'' ) = ''x''(''t'' ) + ''iy''(''t'' ) der ''t'' er dens reelle parameter. Under en kompleks transformasjon ''z'' → ''f''(''z'' ) vil den avbildes på en ny kurve ''w''(''t'' ) = ''f''(''z''(''t'' ). Dens retning er gitt ved [[tangent (matematikk)|tangentvektoren]] : <math> {dw\over dt} = f'(z) {dz\over dt} </math> Hvis man skriver den opprinnelige tangenten som <math> dz/dt = |dz/dt| e^{i\theta}, </math> har den en vinkel ''θ'' med ''x''-aksen. Kalles den tilsvarende vinkelen for den transformerte tangenten for ''θ' '', vil derfor denne være {{nowrap|''θ' '' {{=}} ''θ'' + ''ψ''}} når man på samme vis skriver <math> f'(z) = |f'(z) | e^{i\psi}. </math> Retningen til den opprinnelige tangentvektoren blir dermed dreidd en vinkel ''ψ'' som er uavhengig av kurven og gitt ved transformasjonen alene. Skjærer to kurver derfor hverandre i et punkt ''z''<sub>0</sub>, vil begge deres tangentvektorer dreies like mye under avbildningen. Dermed forblir vinklene mellom dem uforandret under transformasjonen.<ref name = TL-2/> ==Konforme kartprojeksjoner== Mange [[kartografi|kartprojeksjoner]] er konforme. Selv om slike avbildninger er vinkeltro, vil likevel deler av kartet ha mer eller mindre forvrengning da skalafaktoren eller [[målestokk (kart)|målestokken]] varierer med stedet. [[Fil:Mercator projection SW.jpg|thumb|320px| Verdenskart i [[Mercator-projeksjon]] som tangerer ekvator. [[Breddegrad]]er er horisontale linjer parallell med ''x''-aksen, mens [[lengdegrad]]ene er parallelle med ''y''-aksen.]] Et godt eksempel er den mye brukte [[Mercator-projeksjon]]en som avbilder en [[sfære|kuleflate]] på en [[sylinder]] som tangerer den. Settes dens radius ''R'' = 1, kan hvert punkt på sfæren angis med [[kulekoordinater]] (''θ'',''φ'') slik at den er beskrevet med metrikken : <math> d\sigma^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 </math> Denne kan omskrives som : <math> d\sigma^2 = \sin^2\theta (dx^2 + dy^2) </math> etter å ha innført nye koordinater (''x,y'') der ''dx'' = ''dφ'' og {{nowrap|''dy'' {{=}} -''dθ''/sin''θ''}}. De kan betraktes som [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] på sylinderen med {{nowrap|''x'' {{=}} ''φ''}}. Fortegnet til ''y''-koordinaten er valgt slik at den avtar med vinkelen ''θ''. Ved å skrive {{nowrap|sin''θ'' {{=}} 2sin(''θ'' /2)cos(''θ'' /2)}}, finner man da ved direkte integrasjon at ''y'' = ln cot(''θ ''/2) etter å ha bestemt integrasjonskonstanten slik at {{nowrap|''y'' {{=}} 0}} for {{nowrap|''θ'' {{=}} 90°}}. Dette er nå en konform avbildning av kuleflaten med en skalafaktor ''k'' = sin''θ'' som bare varierer i ''y''-retning.<ref name = Kreyszig> E. Kreyszig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.</ref> Når man i et verdenskart vil ha minst forvrengning i områder på begge sider av [[ekvator]], kan man la sylinderen tangere kuleflaten langs denne [[storsirkel]]en {{nowrap|''θ'' {{=}} 90°}}. Hvis man benytter vanlige [[lengdegrad]]er {{nowrap|''λ'' {{=}} ''φ''}} og [[breddegrad]]er {{nowrap|''β'' {{=}} 90° - ''θ''}}, vil da de kartesiske koordinatene på kartet være : <math>\begin{align} x &= \lambda ,\\ y &= \ln\tan\Big({\beta\over 2} + {\pi\over 4}\Big). \end{align} </math> Lengdegradene og breddegradene fremstilles på kartet som rette linjer som står vinkelrett på hverandre. På grunn av skalafaktoren øker forvrengningen mot polene slik at både [[Arktis]] og [[Antarktis]] synes å ha veldig stor utstrekning. ===Stereografisk projeksjon=== [[Fil:Stereoprojnegone.svg|thumb|240px|Stereografisk projeksjon ''P'' → ''P' '' av kuleflate med nordpol ''N'' som projeksjons-sentrum.]] Den første kartprojeksjon ble ikke benyttet til å gi en avbildning av Jorden, men av [[himmelhvelving]]en. Fremgangsmåten ble beskrevet allerede av [[Klaudius Ptolemaios]] i hans verk ''Planisphaerium''. Navnet benyttes fremdeles i dag for en [[planisfære]] som er et kart over stjernehimmelen med koordinater. Den er en [[stereografisk projeksjon]] av en himmelhvelvingen på et plan med den spesielle egenskap at den er både konform og avbilder alle sirkler på sfæren som sirkler i planet.<ref name = Brummelen-1> G. van Brummelen, ''Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry'', Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.</ref> Både den [[gnomonisk projeksjon|gnomiske]] og den stereografiske projeksjonen av en kuleflate er [[sentralperspektiv|sentralprojeksjoner]] fra punkt på en diameter i kulen på et plan som står [[vinkelrett]] på diameteren. Mens den første benytter kulens sentrum som projeksjonspunkt, foretas den stereografiske projeksjonen fra en av [[geografisk pol|polene]] der diameteren møter kuleflaten. Projeksjonsplanet kan legges gjennom kulens sentrum eller som tangentplan i den motsatte polen. [[Fil:Stereographic projection SW.JPG|left|thumb|240px|Stereografisk kart av verden nord for 30°S.]] Hvis man for eksempel vil avbilde områdene på den sydlige halvkule med minst forvrengning, er det naturlig å benytte [[Nordpolen]] som projeksjonspunkt og et projeksjonsplan som tangerer [[Sydpolen]]. Ved bruk av [[kulekoordinater]] (''θ'',''φ'') for et punkt ''P'' på overflaten, vil dette bli avbildet på et punkt ''P' '' med koordinater (''x,y'') i kartplanet hvor {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' cos''φ''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' sin''φ''}}. Her er nå {{nowrap|''r'' {{=}} 2 tan(''θ ''/2)}} hvis man setter kulens radius {{nowrap|''R'' {{=}} 1}} og benytter loven om [[periferivinkel|periferivinkler]]. Derfor er <math> d\theta = \cos^2{\theta\over 2} dr</math> hvor : <math> \cos^2{\theta\over 2} = {1\over 1 + r^2/4}, \; \; \; \sin\theta = {r\over 1 + r^2/4} </math> Fra <math> r^2 = x^2 + y^2 </math> følger <math> rdr = xdx + ydy </math>. Videre betyr <math> \tan\phi = y/x </math> at <math> r^2 d\phi = xdy - ydx </math> . Linjeelementet på kuleflaten <math> d\sigma^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 </math> transformeres dermed til : <math> d\sigma^2 = {dr^2\over (1 + r^2/4)^2} + {r^2 d\phi^2\over (1 + r^2/4)^2} = {dx^2 + dy^2\over \big(1 + \textstyle\frac{1}{4}(x^2 + y^2)\big)^2} </math> Denne delen av kuleflaten er derfor konformt ekvivalent med et euklidsk plan. [[Lengdegrad]]ene er radielle linjer ut fra polen, mens [[breddegrad]]ene er konsentriske sirkler om dette punktet. Hadde kartplanet istedet gått gjennom ekvator, ville det tilsvare forandringene ''x'' → 2''x'' og ''y'' → 2''y'' i metrikken. Hvis radius ''R'' til kulen hadde blitt tatt med, ville faktoren 1/4 i nevneren i stedet blitt 1/4''R''<sup> 2</sup> hvor {{nowrap|''K'' {{=}} 1/''R''<sup> 2</sup>}} er den [[Differensiell flategeometri#Hovedkrumninger|gaussiske krumningen]] til kuleflaten. ==Andre anvendelser== [[Fil:Droites disquePoincare.svg|thumb|240px|[[Geodetisk kurve|Geodetiske linjer]] i det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske planet]] konformt avbildet på innsiden av en sirkel.]] Konforme avbildninger kan gjøres av [[mangfoldighet]]er med dimensjoner ''N'' > 2. For eksempel kan en ''N''-dimensjonal kuleflate eller [[sfærisk geometri|sfærisk rom]] '''S'''<sup>''N''</sup> avbildes på et [[euklidsk rom]] '''E'''<sup>''N''</sup> ved en stereografisk projeksjon. Hvis dette skjer gjennom et hyperplan gjennom kulens sentrum, vil den sfæriske metrikken ta formen : <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}\over (1 + \mathbf{x}\cdot\mathbf{x})^2} </math> på samme måte som i ''N'' = 2 dimensjoner. Her er '''x''' = (''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ... , ''x''<sup>''N''</sup>) kartesiske koordinater i det euklidske rommet. Mens det sfæriske rommet '''S'''<sup>''N''</sup> har konstant, positiv [[krumning]], har det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske rommet]] '''H'''<sup>''N''</sup> konstant, negativ krumning. Det kan formelt beskrives som en kuleflate med [[imaginært tall|imaginær]] radius. Metrikken for dette rommet kan dermed oppnås fra den sfæriske ved substitusjonen ''R''<sup> 2</sup> → - ''R''<sup> 2</sup>. På den måten finner man det kvadrerte linjeelementet : <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}\over (1 - \mathbf{x}\cdot\mathbf{x})^2} </math> Det hyperbolske rommet er derfor også konformt ekvivalent med det euklidske rommet '''E'''<sup>''N''</sup> og blir avbildet på innsiden av en ''N''-dimensjonal kule. Denne hyperbolske metrikken ble først etablert av [[Eugenio Beltrami]] som gjorde bruk av den nye [[Riemanns differensialgeometri|differensialgeometrien]] til [[Bernhard Riemann]]. I {{nowrap|''N'' {{=}} 2}} dimensjoner inneholder den viktige symmetrier som ble avdekket av [[Henri Poincaré]]. Derfor omtales også geometrien ofte som [[Poincarés diskmodell]] for det hyperbolske planet. ===Penrose-diagram=== [[Fil:Penrose.PNG|thumb|240px|Penrose-diagram for det todimen-sjonale [[Spesiell relativitet#Minkowski-rom|Minkowski-rommet]] med konform tid ''T'' i vertikal retning og konform avstand ''R'' langs den horisontale aksen.]] [[Spesiell relativitetsteori]] kan beskrives i et 4-dimensjonalt [[Spesiell relativitet#Minkowski-rom|Minkowski-rom]]. Når lyshastigheten settes lik med {{nowrap|''c'' {{=}} 1}}, kan det beskrives ved koordinater (''t'',''x,y,z'') eller tilsvarende [[kulekoordinater]] (''t'';''r,θ,φ''). Mange prosesser i dette rommet er uavhengige av den radielle retningen gitt ved vinklene (''θ,φ'') slik at linjeelementet effektivt er {{nowrap|''dσ''<sup> 2</sup> {{=}} ''dt''<sup> 2</sup> - ''dr''<sup> 2</sup>.}} Lysstråler følger nå baner ''r'' = ± ''t'' som er rette linjer som danner 45° med aksene i det 2-dimensjonale Minkowski-rommet. Dette uendelig store [[tidrom]] kan konformt avbildes på et endelig tidrom med koordinater (''p,q'') hvor : <math> t + r = \tan p, \;\;\; t - r = \tan q </math> og som tar verdier i intervallet fra -''π'' /2 til ''π'' /2. Den reduserte Minkowski-metrikken tar dermed formen : <math> d\sigma^2 = {dp dq\over \cos^2p \cos^2p} </math> Ved å innføre konform tid ''T'' = ''p'' + ''q'' og radiell avstand {{nowrap|''R'' {{=}} ''p'' - ''q''}}, er denne proporsjonal med {{nowrap|''ds''<sup> 2</sup> {{=}} ''dT''<sup> 2</sup> - ''dR''<sup> 2</sup>}} slik at hele Minkowski-rommet befinner seg innen et endelig kvadrat. En lysstråle som fulgte en bane med {{nowrap|''dσ'' {{=}} 0}}, vil etter transformasjonen følge {{nowrap|''ds'' {{=}} 0}} som betyr at den fortsatt danner 45° med disse nye koordinataksene. Det resulterende bildet av tidrommet blir vanligvis omtalt som et ''Penrose-diagram'' etter den britiske fysiker [[Roger Penrose]].<ref name="MTW">C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref> Tidrommet rundt et sfærisk symmetrisk, [[sort hull]] kan også fremstilles i et slikt Penrose-diagram. Man benytter da [[Schwarzschilds løsning|Schwarzschild-løsningen]] av [[Generell relativitet|Einsteins ligninger]] ved bruk av [[Schwarzschilds løsning#Singulariteter og analytisk forlengelse|Kruskal-Szekeres-koordinater]]. Fordelen med denne konforme fremstillingen er at den gir en bedre forståelse av geometrien og fysiske prosesser innenfor horisonten gitt ved [[Schwarzschild-radius|Schwarzschild-radien]]. ==Referanser== <references/> ==Eksterne lenker== * E. Weisstein, [https://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html ''Conformal Mapping''], Wolfram MathWorld {{Autoritetsdata}} [[Kategori: Differensialgeometri]] [[Kategori: Kartprojeksjoner]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon