Redigerer Komplekst tall

[[Fil:Complex number illustration.svg|thumb|240px|Et komplekst tall <math>a + bi</math> fremstilt som en [[vektor (matematikk)|vektor]] i det komplekse planet.]]

Et '''komplekst tall''' er i [[matematikk]] et tall på formen <math>a + bi</math>, der <math>a</math>  og <math>b</math> er [[reelt tall|reelle tall]], og <math>i</math> er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]] med egenskapen <math>i^2 = -1</math>.

[[Mengde]]n av komplekse tall skrives vanligvis '''C'''  eller <math>\mathbb{C}</math>. Denne mengden inneholder de reelle tallene '''R''' (eller <math>\mathbb{R}</math>) som en [[delmengde]], og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.

Et komplekst tall <math>z = a + bi</math> er definert ved en '''realdel''' <math>a = \text{Re}\ z</math> og en '''imaginærdel''' <math>b = \text{Im}\ z</math>. Hvis <math>a = 0</math>, sies tallet å være «rent imaginært».  

Mange assosierer komplekse tall med løsningen av [[andregradsligning]]er, som for eksempel ligningen <math>x^2 = -1</math>.  Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange grener av matematikk.  Studiet av ''komplekse funksjoner'', det vil si [[funksjon (matematikk)|funksjon]]er der [[definisjonsmengde]]n og/eller [[verdimengde]]n ligger i  '''C''',  kalles [[kompleks analyse]]. 

Formelt blir komplekse tall definert basert på definisjon av operasjonene [[addisjon]] og [[multiplikasjon]] for tallmengden.

== Formell definisjon av komplekse tall ==
Formelt er et komplekst tall <math>z</math> innført som et [[ordnede par|ordnet par]] av reelle tall <math>(a,b)</math>, definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

:<math>
\begin{align}
(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) \\
(a,b)(c,d) &= (ac-bd,ad + bc) \\
\end{align} 
</math>

[[Mengde]]n av komplekse tall utgjør en [[kropp (matematikk) | kropp]].  

Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives <math>r = (r,0)</math>.  Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall.  Ordningsrelasjoner i <math>R</math> lar seg imidlertid ikke generalisere til <math>C</math>, slik at <math>z_1 < z_2</math> har mening bare for reelle verdier av <math>z_1</math> og <math>z_2</math>.  

Den imaginære enheten <math>i</math> er definert ved <math>i = (0, 1)</math>. Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at <math>i^2 = (0, 1)(0, 1) = (-1,0) = -1</math>.

== Grunnleggende definisjoner og egenskaper ==
=== Additiv og multiplikativ invers ===
Til ethvert komplekst tall <math>z = a + bi</math> eksisterer det en additiv invers <math>(-z) = (-a - bi)</math>, slik at <math>z + (-z) = 0</math>.  Den additive inversen er brukt til å definere [[subtraksjon]].

Til ethvert komplekst tall <math>z = a + bi</math> ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers <math>z^{-1}</math>, slik at <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>:

:<math>z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i \frac{b}{a^2 + b^2} </math>

=== Absoluttverdi ===
''[[Absoluttverdi]]en'' eller ''modulus'' til et komplekst tall <math>z = a + bi</math> er definert ved 

:<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\, </math>
For denne gjelder ''trekantulikheten'':

:<math>|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \, </math>

=== Kompleks konjungert ===
Den [[kompleks konjugasjon | kompleks konjungerte]] til et komplekst tall <math>z = a + bi</math> er definert ved 
:<math>\bar{z} = a - bi</math> 

Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

:<math>z \bar{z} = |z|^2</math>

== Geometrisk tolkning ==
[[Fil:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|320px|Det komplekse tallet <math>z = (a, b) = a + bi</math> vist i det komplekse planet.]]

Ethvert komplekst tall <math>(a, b) = a + bi</math> kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, [[kartesisk koordinatsystem]], som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen. 

Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren [[Caspar Wessel]], men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren [[Jean Robert Argand]]. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter [[Carl Friedrich Gauss]] eller ganske enkelt det '''komplekse planet'''.

Siden den kompleks konjungerte til tallet <math>z = a + bi</math> er definert ved <math>\bar{z} = a - bi</math> representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.

Rotasjonsvinkelen <math>\phi</math> som vektoren <math>(a,b)</math> danner med den reelle aksen kalles ''argumentet'' til det komplekse tallet, og fra figuren følger de [[trigonometri | trigonometriske]] relasjonene

:<math>
\begin{align}
a &= |z|\cos \phi \\
b &= |z| \sin \phi \\
\end{align}
</math>

== Polarform==
For et gitt kompleks tall <math>z = a + bi</math> definerer absoluttverdien <math>|z|</math> og argumentet <math>\phi</math> et sett av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]], og <math>|z|</math> kan skrives på ''trigonometrisk form'' som 

:<math>z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi)</math>

Alternativt kan man bruke en ''eksponential form''

:<math>z = |z| e^{i \phi}</math>

basert på [[Eulers formel]] for sammenhengen mellom [[eksponentialfunksjon]]en og [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]],

:<math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi</math>

Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder.  For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

:<math> r_1e^{i\phi} \cdot r_2e^{i\theta} = r_1r_2e^{i(\phi+\theta)}</math>

Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet <math>re^{i \phi}</math>, tolkes som en forlenging med faktoren <math>r</math>, samt en rotasjon med vinkelen <math>\phi</math>.

For divisjon av to komplekse tall gjelder

:<math> \frac{r_1e^{i\phi}}{r_2e^{i\theta}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\phi-\theta)}</math>

==Komplekse vektorrom==
Et [[vektorrom]] er lukket under operasjonene
:<math>\mathbf{w} = \mathbf{x} + \mathbf{y}</math>
:<math>\mathbf{u} = \alpha \mathbf{v}</math>
der <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> er vektorer og <math>\alpha</math> en [[skalar]]. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar skalarene være komplekse tall.<ref name=Lin133>[[#Lin|Lindstrøm: ''Spaces: An Introduction to Real Analysis'', side 133]]</ref>

===Rommet <math>\mathbb{C}^n</math>===
Vektorrommet <math>\mathbb{C}^n</math> består av alle ordnede [[tuppel|n-tupler]] av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen
: <math> [ c_1, c_2, ..., c_n ]</math>
der <math>c_1, .. ,  c_n</math> er komplekse tall.<ref name="Lar455">[[#Lar|Larson: ''Elementary linear algebra'']], side 455.</ref> Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved

: <math>z \cdot w = z\overline{w}\,</math>

som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i <math>\mathbb{R}^n</math>, er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i <math>\mathbb{R}^n</math>, men i tillegg holder også at

:<math>z \cdot w = \overline{w \cdot z}</math>

hvilket man kan vise direkte ved regning.<ref name="Lar458">[[#Lar|Larson: ''Elementary linear algebra'']], side 485.</ref> <math>\mathbb{C}^n</math> sammen med det tilordnede indreproduktet danner et [[indreprodukt|indreproduktrom]].

== Se også==
* [[Caspar Wessel]]

== Referanser ==
<references />

==Litteratur==
* {{Kilde bok | etternavn=Adams | fornavn=Robert | tittel=Calculus : a complete course | byrå=Addison-Wesley | sted=Toronto, Ont | dato=2003 | isbn=0-201-79131-5 | språk=english | ref={{sfnref | Adams | 2003 |}}}}
* {{Kilde bok | etternavn1=Clapham | fornavn1=C. | etternavn2=Nicholson | fornavn2=J. | tittel=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics | byrå=OUP Oxford | serie=Oxford Quick Reference | dato=2009 | isbn=978-0-19-157976-9 | url=http://books.google.com/books?id=WGxoVJcM4xgC | ref={{sfnref| Clapham | Nicholson | 2009}} | besøksdato=2016-08-30}}
* {{ Kilde bok
 | ref=Lar
 | fornavn = R.
 | etternavn = Larson
 | utgave = 7
 | utgivelsesår = 2015
 | tittel = Elementary Linear Algebra
 | forlag =  Brooks/Cole, Cengage learning
 | isbn = 978-1-133-11087-3
}}
* {{Kilde bok | etternavn=Lindstrøm | fornavn=T.L. | tittel=Kalkulus | byrå=Universitetsforlaget | dato=2006 | isbn=978-82-15-00977-3 | url=http://books.google.com/books?id=4E1ytwAACAAJ | språk=no | ref={{sfnref | Lindstrøm | 2006}} | besøksdato=2016-08-30}}
* {{ Kilde bok
 | ref=Lin
 | etternavn = Lindstrøm
 | fornavn = T.L.
 | utgivelsesår = 2018
 | tittel = Spaces: An Introduction to Real Analysis
 | forlag = American Mathematical Society
 | serie = Pure and Applied Undergraduate Texts
 | isbn = 978-1-470-44062-6
}}
* {{Kilde bok | etternavn=Lindström | fornavn=S.B. | tittel=Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: | byrå=Stefan B. Lindström | dato=2013 | isbn=978-91-981287-0-3 | url=http://books.google.com/books?id=GgoaAwAAQBAJ&pg=PA126 | språk=sv | ref={{sfnref | Lindström | 2013 |}} | besøksdato=2016-08-30}}

==Eksterne lenker==
*{{MathWorld|title=Complex Number|urlname=ComplexNumber}}


{{Tallmengder}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kompleks analyse]]
[[Kategori:Tall]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]