Redigerer Kirchhoffs diffraksjonsteori

[[Fil:Airy-pattern2.jpg|thumb|250px|right|[[Diffraksjon]] av rødt lys som går gjennom en sirkulær åpning.]]
'''Kirchhoffs diffraksjonsteori''' gir en matematisk beskrivelse av [[bølge]]bevegelse i nærvær av begrensende flater. Den ble utviklet av den tyske [[fysiker]] [[Gustav Kirchhoff]] i den siste halvdel av 1800-tallet for å forklare [[Huygens-Fresnels prinsipp]] for utbredelse av lys. Spesielt ga den en mer presis forklaring av lysets [[diffraksjon]] eller avbøyning gjennom smale åpninger eller skarpe kanter.

Teorien er basert på [[Helmholtz-ligning]]en som gjelder for [[bølge#Dispersive bølger|ikke-dispersive bølger]] med en gitt [[frekvens]]. Lys består av [[elektromagnetisk bølge|elektromagnetiske bølger]] beskrevet ved [[Maxwells ligninger]] som de [[elektrisk felt|elektriske]] og [[magnetisk felt|magnetiske]] [[vektorfelt]]ene må oppfylle. Kirchhoffs diffraksjonsteori gjør den antagelsen at bølgebevegelsen kan beskrives ved et [[skalar]]t [[felt (fysikk)|felt]] og ser derfor bort fra [[polarisering (elektromagnetisme)|polarisasjon]] av lyset. Under vanlige forhold antas denne å være bare av sekundær betydning ved diffraksjon.

I årene som fulgte ble det av [[Lord Rayleigh]] og [[Arnold Sommerfeld]] påvist visse svakheter i Kirchhoffs matematiske utledninger. Men i senere tid har disse vist seg å være av mindre betydning slik at Kirchhoffs beskrivelse fremdeles er den rådende.

==Matematisk bakgrunn==

En [[skalar]] [[bølge]] ''u''('''r''',''t''&thinsp;) beskrives matematisk ved den vanlige [[bølgeligning]]en. Når den er [[bølge#Harmonisk bølge| harmonisk]], har den en gitt [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' og kan representeres som en [[komplekst tall|kompleks]] [[fasevektor]]

: <math> u(\mathbf{r},t) = U(\mathbf{r})e^{-i\omega t} </math>

Bortsett fra den periodiske variasjonen med tiden ''t'', er bølgens egenskaper dermed gitt som løsning av [[Helmholtz-ligning]]en

: <math> (\nabla^2 + k^2) U(\mathbf{r}) = 0 </math>

der [[bølge#Harmonisk bølge|bølgetallet]] ''k'' = ''&omega;''/''c'' = 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;'' når ''c'' er utbredelseshastigheten til bølgen og ''&lambda;'' dens [[bølgelengde]].<ref name = BW> M. Born and E. Wolf, ''Principles of Optics'',  Pergamon Press, London (1965).</ref> 

[[Diffraksjon]] av lys eller andre bølger oppstår når den frie utbredelsen blir forhindret av begrensende [[flate]]r. I den mest typiske situasjonen tenker man seg at lyset beveger seg mot en flat skjerm som stopper dets utbredelse bortsett fra gjennom en eller flere åpninger. Disse blir ofte kalt for [[apertur]]er. Tenker man seg at lyset kommer inn fra venstre mot en slik skjerm, vil man i området bak skjermen være interessert i å bestemme den komplekse bølgeamplituden ''U''('''r'''). Den generelle løsningen kan finnes ved samme fremgangsmåte med bruk av [[Greens funksjon]] ''G''('''r''', '''r'''') som benyttes ved løsningen av den [[Helmholtz-ligning#Inhomogen Helmholtz-ligning|inhomogene Helmholtz-ligningen]]. Man tenker seg derfor en lukket flate som består av skjermen pluss en del ''C'' av en stor kuleflate som omslutter et endelig volum ''V'' på høyre side av skjermen. Da det her ikke er noen lyskilder, vil amplituden i et punkt '''r'''<sub>0</sub> i dette volumet dermed kunne skrives som

: <math> U(\mathbf{r}_0) = \int_{\partial V}\!dS [ U(\mathbf{r})(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla})G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) - G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0)(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla})U(\mathbf{r})] </math>

hvor [[vektor (matematikk)|enhetsvektoren]] '''n''' er normal på flaten og peker inn i volumet. Her består volumets totale overflate ''&part;V'' av delen ''C'' som kan tenkes å ligge i det fjerne, pluss skjermen som igjen består av aperturene ''A'' og en ugjennomtrengelig del ''B''. 

Dette generelle uttrykket for bølgeamplituden er eksakt i denne skalare teorien. Men det gir ingen eksplisitt løsning da man må kjenne den samme amplituden på overflaten ''&part;V'' samt Green-funksjonen ''G''('''r''', '''r'''<sub>0</sub>) i det aktuelle volumet.

===Antagelser===

Man antar at lyset som opptrer her, kommer inn fra en punktkilde i '''r''' = 0 til venstre for skjermen. Denne kilden gir da en [[bølge#Sfæriske bølger|kulebølge]] av formen {{nowrap|''U''('''r''') {{=}} ''Ce''<sup>''ikr''</sup>/''r''&thinsp;}} i en avstand ''r'' = |'''r'''| fra kilden og konstanten ''C'' angir dens styrke. Den første antagelsen i Kirchhoff-teorien er at denne innkommende bølgen opptrer  uforstyrret i åpningene ''A'' og er null på resten ''B'' av skjermen. Det samme gjelder for [[gradient]]en '''&nabla;'''''U'' i overflateintegralet for ''U''('''r'''<sub>0</sub>). 

Den andre antagelsen er at Green-funksjonen tilsvarer en fiktiv punktkilde i '''r'''<sub>0</sub> slik at den har formen

: <math> G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = {e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|}\over 4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} </math>

som bare avhenger av avstanden ''s'' = |'''s'''| med '''s''' = '''r'''<sub>0</sub> -  '''r'''. På den måten knyttes løsningen av Helmholtz-ligningen direkte til Huygens-Fresnels prinsipp.<ref name =BW/> 

Bidraget til integralet fra delen ''C'' av kuleflaten kan vises å være neglisjerbart når dets radius ''R'' går mot uendelig.<ref name = Stone> J.M. Stone, ''Radiation and Optics'', McGraw-Hill, New York (1963).</ref> Med disse antagelsene får integralet dermed bare et bidrag fra aperturene ''A''. I det resterende overflateintegralet vil man der behøve gradientene

: <math> \boldsymbol{\nabla}U(\mathbf{r}) = C{e^{ikr}\over r}\hat{\mathbf{r}}\Big(ik - {1\over r}\Big) </math>

og 

: <math> \boldsymbol{\nabla}G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = - {e^{iks}\over 4\pi s}\hat{\mathbf{s}}\Big(ik - {1\over s}\Big) </math>

Her er <math> \hat{\mathbf{r}} </math> = '''r'''/''r'' en enhetsvektor i retning '''r''' og <math> \hat{\mathbf{s}} </math> = '''s'''/''s'' en tilsvarende enhetsvektor i retning '''s'''.

===Huygens-Fresnels formel===

Da bølgetallet ''k'' = 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;'', forenkles uttrykkene for gradientene når man antar at både lyskilden og observasjonspunktet '''r'''<sub>0</sub> ligger mange bølgelengder vekk fra skjermen slik at {{nowrap|''k'' >> 1/''r'', 1/''s''}}. På den måten fremkommer det generelle uttrykket for det avbøydde lyset i Kirchhoffs diffraksjonsteori som

: <math> U(\mathbf{r}_0) =  {C\over 2i\lambda} \int_A\!dS (\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{r}}+ \mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{s}}){e^{ik(r + s)}\over rs}</math>

Man ser at det er symmetrisk mellom kildepunkt og observasjonspunkt. 

I de fleste praktiske situasjoner ligger kildepunktet langt ut til venstre for skjermen. Avstanden ''r'' mellom dem er da stor og tilnærmet konstant over aperturen ''A''. Bølgefronten til den innkommende kulebølgen i denne åpningen kan dermed antas å være konstant med amplitude {{nowrap|''U''<sub>0</sub> {{=}} ''Ce''<sup>''ikr''</sup>/''r''&thinsp;}}. For det enkleste tilfellet at den treffer aperturen vinkelrett, er da i tillegg <math>\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{r}} = 1</math> slik at den avbøydde bølgen får amplituden

: <math> U(\mathbf{r}_0) =  {U_0\over 2i\lambda} \int_A\!dS (1 + \cos\chi){e^{iks}\over s}</math>

hvor cos&thinsp;''&chi;'' = <math>\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{s}}</math>. Dette er standardutrykket for [[Huygens-Fresnels prinsipp]]. Bortsett fra retningsfaktoren (1 +  cos''&chi;'')/2,  har dette samme form som [[Augustin Jean Fresnel|Fresnel]] opprinnelig foreslo.<ref name = Hecht> E. Hecht, ''Optics'', Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.</ref>

==Rayleigh-Sommerfelds forbedring==

Kirchhoffs resultat er basert på antagelsen at både amplituden ''U'' og gradienten '''&nabla;'''''U'' er null på den delen ''B'' av skjermen som stopper det innkommende lyset. Men nå kan et vises at en [[analytisk funksjon]] som oppfyller begge disse betingelsene, må være null overalt. Disse antagelsene er derfor ikke riktige. Men det sier heller ikke hvordan resultatet til Kirchhoff er feil.<ref name = Goodman> J.W. Goodman, ''Fourier Optics'', Roberts & Company Publishers,  Greenwood Village, Colorado (2005). ISBN 0-9747-0772-4.</ref>

Dette problemet ble tatt opp igjen av [[Lord Rayleigh]] og [[Arnold Sommerfeld]] noen få år etter Kirchhoffs teori ble kjent. De innså at istedenfor disse to antagelsene om selve strålingsfeltet ''U'', kunne man gjøre andre antagelser for Green-funksjonen ''G''('''r''', '''r'''<sub>0</sub>). Hvis den i tillegg har en kilde i speilbildet '''r'''<sub>0</sub>' av observasjonspunktet '''r'''<sub>0</sub> på den andre siden av skjermen på samme måte som for [[Elektrostatikk#Speilladninger|speilladninger]] i [[elektrostatikk]]en, kan man konstruere to Green-funksjoner

: <math> G_\pm(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = {e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|}\over 4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} \pm {e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0'|}\over 4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0'|}</math>

som begge tilfredsstiller den opprinnelige differensialligningen. Mens ''G''<sub>&thinsp;-</sub> er null på den plane skjermen, er gradienten '''&nabla;'''''G''<sub>&thinsp;+</sub> der null. På den måten gir dette valget av Green-funksjoner to akseptable løsninger for den spredte strålingen. En tilsvarende beregning viser at Kirchhoffs formel er middelverdien av de to resultatene i denne forbedrete teorien til Rayleigh og Sommerfeld.<ref name = Goodman/> 

Hvis den innkommende bølgefronten er parallell med skjermen, tilsvarer de to løsningene de to leddene i retningsfaktoren (1 +  cos''&chi;'')/2 hvor det første kommer fra ''G''<sub>&thinsp;+</sub> og det andre fra ''G''<sub>&thinsp;-</sub>. For å være i overensstemmelse med Fresnels opprinnelige krav at det må finnes en retningsfaktor som avtar for ''&chi;'' > 0, er det vanlig å velge den siste Rayleigh-Sommerfeld-løsningen som gir leddet cos''&chi;'' og kommer fra  ''G''<sub>&thinsp;-</sub>. Dermed har man den forbedrete diffraksjonsformelen

: <math> U_{RS}(\mathbf{r}_0) =  {U_0\over i\lambda} \int_A\!dS  \cos\chi {e^{iks}\over s}</math>

Dette forholdsvis enkle resultatet følger også mer direkte fra en fysisk betraktning som ikke er basert på Green-funksjoner.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''The Classical Theory of Fields'', Pergamon Press, London (1962). </ref> I de fleste praktiske anvendelsene på [[diffraksjon]] av lys, spiller de forskjellige retningsfaktorene liten rolle slik at både Kirchoffs opprinnelige formel og de to fra Rayleigh og Sommerfeld vil gi samme resultat.<ref name = BW/>

==Se også==

* [[Optikk]]
* [[Diffraksjon]]
* [[Huygens-Fresnels prinsipp]]

== Referanser ==
<references />

[[Kategori:Optikk]]
[[Kategori:Bølger]]
[[Kategori:Elektromagnetisk stråling]]