Redigerer Imaginær enhet

{{Kildeløs|Helt uten kilder.|dato=10. okt. 2015}}
I [[matematikk]] er den '''imaginære enhet''' <math>i</math> et [[komplekst tall]] med egenskapen <math>i^2=-1</math>. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall <math>z</math> kan skrives på formen <math>z=a+bi</math>, der <math>a</math> og <math>b</math> er [[reelt tall| reelle tall]].  Dersom <math>a</math> er lik null sies det komplekse tallet å være ''rent imaginært''

Komplekse tall er viktige i mange deler av [[matematisk analyse]], og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler.  Et viktig eksempel er [[Eulers formel]], med spesialtilfellet [[Eulers likhet]].

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av [[polynom|polynomligninger]].  Den imaginære enhet er en [[rot til en ligning | rot]] i [[andregradsligning]]en <math>x^2=-1</math>.

==''i'' og −''i''==
Likningen <math>x^2=-1</math> har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning <math>i</math> av likningen er fastslått, er også <math>-i\,(\ne i)</math> en løsning. 

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved
<math>\R[X]/(X^2+1)</math> er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme &mdash; det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra <math>\R[X]/(X^2+1)</math>, identiteten og automorfismen som sender <math>X</math> til <math>-X</math>. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til <math>\Complex</math>; men de er de eneste feltautomorfismene til <math>\Complex</math> hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som  reelle 2 × 2-[[matrise]]r, fordi både <math>\begin{pmatrix} 0 & -1  \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix} \mbox{ og } \begin{pmatrix} 0 & 1  \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix} </math> er løsninger av likningen <math>x^2=-1</math>. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt [[enhetssirkelen]] som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen <math>\mathrm{SO}(2,\R)</math> har nøyaktig to elementer &mdash; identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

==Mulige falske løsninger==
Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som <math>\sqrt{-1}</math>. Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle <math>x>0</math>, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1</math>

Beregningsreglen
:<math>\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}</math> er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall <math>a</math> og <math>b</math>.

==Potenser av ''i''==

Potensene av <math>i</math> gjentas i en syklus:

:<math>i^1 = i</math>
:<math>i^2 = -1</math>
:<math>i^3 = -i</math>
:<math>i^4 = 1</math>
:<math>i^5 = i</math>
:<math>i^6 = -1</math>

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor <math>n</math> er et vilkårlig heltall:

:<math>i^{4n} = 1</math>
:<math>i^{4n+1} = i</math>
:<math>i^{4n+2} = -1</math>
:<math>i^{4n+3} = -i</math>

==''i'' og Eulers formel==
Hvis man tar [[Eulers formel]] <math>e^{ix}=\cos x + i \sin x</math>, og setter inn <math>x=\pi/2</math>, får man

:<math>e^{i\pi /2} = i</math>

Hvis begge sider opphøyes i potensen <math>i</math>, idet man husker at <math>i^2=-1</math>, får man følgende identitet:

:<math>i^i = e^{-\pi /2} = 0{,}2078795763\dots</math>

Det er lett å fastslå at <math>i^i</math> har et uendelig antall løsninger på formen

:<math>i^i = e^{-\pi / 2 + 2 \pi N}</math>

hvor <math>N</math> er et vilkårlig heltall.

==Alternativt symbol==
I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som <math>j</math> for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk [[vekselstrøm]].
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kompleks analyse]]
[[Kategori:Matematiske konstanter]]