Redigerer
Hydrogenatom
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:Hydrogen.svg|thumb|280px|Hydrogenatomet består av et positivt ladet [[proton]] og et [[elektron]] med negativ ladning. [[Kvantemekanikk]]en sier at elektronet har en viss sannsynlighet for å finnes i alle punkt utenfor protonet.]] '''Hydrogenatomet''' (H-atomet) er det enkleste av alle [[atom]]er i det [[periodesystem|periodiske systemet]] hvor det har første plass. Det utgjør det [[kjemisk element|kjemiske elementet]] [[hydrogen]], og er det mest utbredte grunnstoff i [[Universet]]. Atomet består av et [[elektron]] som er bundet til et [[proton]]. Denne bindingen kan ikke forstås i klassisk fysikk, men krevde en ny [[kvanteteori]]. Egenskapene til H-atomet kunne dermed forklares på en stadig mer presis måte fra konstruksjonen av den første [[Bohrs atommodell|modellen]] til [[Niels Bohr]] i 1913 til etableringen av moderne [[kvantemekanikk]] i 1925. På den måten ga forståelsen av hydrogenatomet grunnlaget for å forstå alle andre atomer og [[molekyl]]. I dag utgjør dette en mer generell [[atomfysikk]] som igjen er en sentral del av [[kjemi]] og mange grener av moderne teknologi. Under normale forhold forekommer ikke hydrogen i atomær form da det er sterkt reaktivt og vil danne hydrogenmolekyl H<sub>2</sub>  eller binde seg til andre grunnstoff. Men i Universet kan det forekommer fritt og er viktig i [[kosmologi|kosmologisk]] sammenheng gjennom observasjon av [[hydrogenlinjen]]. [[Atomkjerne]]n til hydrogenatomet kan i tillegg til et proton også inneholde et eller to nøytron og dermed danne henholdsvis [[deuterium]] eller [[tritium]]. Disse er [[isotop]]er til det vanlige <sup>1</sup>H-atomet og betegnes ofte ved symbolene <sup>2</sup>H og <sup>3</sup>H. Mens deuterium er stabilt og finnes i form av [[tungtvann]], er tritium ustabilt og kan kun produseres på kunstig vis. Begge isotopene er viktige for [[kjernefysiske våpen]] basert på [[kjernefysisk fusjon|fusjon]]. ==Spektrum og energinivå== [[Fil:Visible spectrum of hydrogen.jpg|thumb|500px|Synlige [[spektrallinje]]r i [[Johann Balmer#Balmer-formelen|Balmer-serien]] for hydrogen. Den røde linjen til høyre er H<sub>α</sub>, mens den lyseblå til venstre for denne er H<sub>β</sub>. [[Bølgelengde]]n øker mot høyre.]] Historisk er forståelse av hydrogenatomet skaffet til veie gjennom studier av [[spektrallinje]]ne som opptrer i lyset som slike atom sender ut. Ut fra slike observasjoner kunne den [[sveits]]iske [[matematiker]] [[Johann Balmer]] allerede i 1885 vise at de fire mest synlige linjene hadde [[bølgelengde]]r som passet med formelen : <math> \lambda = {Bn^2\over n^2 - 4} </math> hvor ''B'' var en konstant og ''n'' = 3, 4, 5 og 6 for de fire linjene. Basert på denne lovmessigheten kunne Balmer forutsi at det burde eksistere andre linjer med enda kortere bølgelengder. Linjen som tilsvarer ''n'' = 7, ble så påvist av den [[Sverige|svenske]] [[fysiker]] [[Anders Jonas Ångström|Anders Ångström]] som også tidligere hadde bestemt bølgelengdene til de fire andre linjene.<ref name = Pais> A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref> Det var [[Niels Bohr]] i 1913 som med sin [[Bohrs atommodell|modell]] ga en generell forklaring av alle spektrallinjene hydrogenatomet. Den var basert på den eksperimentelle oppdagelsen til [[Ernest Rutherford]] som hadde vist at det besto av en atomkjerne som han kalte for [[proton]]. Et enda mindre elektron beveget seg i stor avstand fra denne og ble holdt på plass av den [[elektrisitet|elektriske]] [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]]. Han postulere at elektronet kunne bevege seg i stabile sirkler omkring protonet med en [[dreieimpuls]] ''p<sub>φ</sub> '' som skulle være et helt multiplum av den [[Plancks konstant|reduserte Planck-konstanten]] ''ħ'', : <math> p_\phi = n\hbar </math> hvor ''n'' = 1, 2, 3, ... kalles [[kvantetall|hovedkvantetallet]]. Denne [[kvantisering]]en av bevegelsen medførte at atomet kun kan eksistere i visse tilstander med bestemte energier. Hvis elektronet har en masse ''m<sub>e</sub>''  og [[elektrisk ladning]] ''e'', fant Bohr at disse måtte være : <math> E_n = - \left({e^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)^2 {m_e\over 2n^2} </math> hvor 1/4''π ε''<sub>0</sub>  er [[Coulombs konstant]]. Ved å benytte [[finstrukturkonstant]]en {{nowrap|''α'' {{=}} ''e''<sup>2</sup>/4''π ε''<sub>0</sub>''ħc ''}} der ''c'' er [[lyshastighet]]en, kan dette skrives på den mer kompakte formen ''E<sub>n</sub>'' = - Ry/''n''<sup>2</sup> hvor : <math> \mbox{Ry} = {1\over 2}\alpha^2 m_e c^2 = 13.61\; \mbox{eV} </math> er en karakteristisk energi i all [[atomfysikk]] og kalles for en «Rydberg» etter den svenske fysikeren [[Johannes Rydberg]]. For hydrogenatomet tilsvarer den energien som må til for å frigjøre elektronet fra den laveste banen ''n'' = 1 som er '''grunntilstanden'''. Dette er atomets ionisasjonsenergi som kan bestemmes uavhengig av en [[spektralanalyse]]. I Bohrs atommodell tilsvarer hvert kvantisert energinivå en sirkulær banebevegelse med radius ''r<sub>n</sub>'' = ''n''<sup> 2</sup>''a''<sub>0</sub>  hvor : <math> a_0 = {\hbar\over \alpha m_e c} = 0.529\times 10^{-10}\mbox{m}</math> er '''Bohr-radius''' og angir størrelsen til den innerste banen. Hovedkvantetallet ''n'' bestemmer dermed entydig størrelsen av de tillatte banene og energien til atomet når elektronet befinner seg i en sådan.<ref name = BM> J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref> ===Spektralserier=== [[Fil:Wasserstoff-Termschema.svg |thumb|right|500px|Forskjellige spektralserier for overganger i H-atomet. Energien til grunntilstanden er her satt til null. Videre er kvantetallene angitt som ''n'' = ''n<sub>i</sub> '' og ''m'' = ''n<sub>f</sub> '' sammenlignet med teksten.]] Bohr postulerte i sin modell at lys blir utsendt fra atomet når elektronet skifter fra en bane til en annen med lavere energi. Har atomet før et slikt ''kvantesprang'' en energi ''E<sub>i</sub>''  og etterpå ''E<sub>f</sub>'', vil det emitterte lyset opptre som et [[foton]] med en [[frekvens]] bestemt ved den fundamentale ligningen : <math> h\nu = E_i - E_f </math> som uttrykker energibevarelse. Den overtok Bohr fra [[Einstein]] og hans forklaring av den [[fotoelektrisk effekt|fotoelektriske effekten]]. Her er ''h '' nå den vanlige [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Av historiske grunner er det vanlig å uttrykke resultatet for frekvensene som opptrer ved de inverse bølgelengder ''ν''/''c'' = 1/''λ'', Det kan da skrives på samme form som [[Rydbergs formel]] for spektrallinjene til [[alkalimetall]]ene. Det gir for en overgang fra en bane med kvantetallet ''n<sub>i</sub>''  til en lavere bane med ''n<sub>f</sub>'' : <math> {1\over \lambda} = R_\infty\! \left({1\over n_f^2} - {1\over n_i^2}\right) </math> hvor ''R''<sub>∞</sub> = Ry/''hc''  er [[Rydberg-konstanten]]. Det er en av de mest presise størrelser i dagens fysikk og har den eksperimentelle verdien<ref name = NIST> [https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd 2018 CODATA recommended value.] [[NIST]]</ref> : <math>R_\infty = \alpha^2{m_e c\over 2h} = 1.0973\;731\;568\;160(21) \times 10^{7} \,\text{m}^{-1} </math> Da den involverer kun fundamentale konstanter, kan den benyttes sammen med andre målinger til å bestemme disse. Indeksen i ''R<sub>∞</sub> '' indikerer at i denne utledningen er det antatt at protonet i hydrogenatomets kjerne er uendelig tungt i forhold til elektronets masse ''m<sub>e</sub>''. Men i virkeligheten er {{nowrap|''m<sub>p</sub>'' /''m<sub>e</sub>'' {{=}} 1836}}. Elektronet og protonet danner da et [[tolegemeproblem]] der også protonet vil ha en liten bevegelse. Når man beregner energien i atomets hvilesystem, må derfor elektronets masse erstattes med den [[Tolegemeproblem#Redusert masse|reduserte massen]] : <math> m = {m_e m_p\over m_e + m_p} </math> I Rydberg-formelen for hydrogenatomets spektrallinjer vil derfor konstanten {{nowrap|''R<sub>H</sub>'' {{=}} ''R''<sub>∞</sub>/(1 + ''m<sub>e</sub>'' /''m<sub>p</sub>'') {{=}} 0.99945 ''R<sub>∞</sub>''}} opptre istedenfor ''R''<sub>∞</sub>. Det er denne korreksjonen som må benyttes ved sammenligning med eksperimentelle målinger. [[Fil:LymanSeries.svg|thumb|left|400px|Viktige spektrallinjer i Lyman-serien.]] De synlige spektrallinjene beskrevet ved [[Johann Balmer#Balmer-formelen|Balmers formel]] tilsvarer overganger til energinivået med {{nowrap|''n<sub>f</sub>'' {{=}} 2}}. Overgangen fra tilstander med {{nowrap|''n<sub>i</sub>'' {{=}} 3}} gir den mest prominente spektrallinjen H<sub>α</sub> med bølgelengde 656.3 [[nm]], mens den neste linjen H<sub>β</sub> med bølgelengde 486.1 [[nm]] oppstår fra {{nowrap|''n<sub>i</sub>'' {{=}} 4}}. For høyere begynnelsestilstander får det utsendte lyset stadig kortere bølgelengder. Når ''n<sub>i</sub>'' → ∞ nærmere linjen seg '''seriegrensen''' 4/''R<sub>H</sub>'' med bølgelengde 364.6 nm. Dette tilsvarer konstanten ''B'' i Balmer-formelen.<ref name = HW> H. Haken and H.C. Wolf, ''Atomic and Quantum Physics'', Springer-Verlag, Berlin (1987). ISBN 0-387-17702-7.</ref> Lyman-serien fremkommer ved overganger til grunntilstanden {{nowrap|''n<sub>f</sub>'' {{=}} 1.}} Det gir [[ultrafiolett stråling|ultrafiolett lys]] hvorav den linjen med lengst bølgelengde er '''Lyman-alfa''' eller {{nowrap|Ly-α}} fra overgangen 2 → 1. Den har en bølgelengde 121.6 nm og er viktig i [[astrofysikk]]en. Videre eksisterer det flere serier som gir [[infrarød stråling]]. Den som ligger nærmest den synlige delen av spektrumet, er Paschen-serien som oppstår ved overganger til {{nowrap|''n<sub>f</sub>'' {{=}} 3.}} ==Bohr-Sommerfeld-kvantisering== I den første versjonen av [[Bohrs atommodell]] inngikk antagelsen om sirkulære baner for elektronet. Men da [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] avtar omvendt proporsjonalt med avstanden på samme måte som [[Newtons gravitasjonslov|Newtons gravitasjonskraft]], vil elektronet også kunne bevege seg i [[ellipse]]baner omkring atomkjernen på samme måte som planetene omkring [[Solen]] og beskrevet ved [[Keplers lover]]. Rundt 1916 begynte derfor Bohr, [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] og andre å benytte metoder i atomfysikken som ligner de som brukes i [[himmelmekanikk]]en. Denne mer generelle fremgangsmåten er i ettertid blitt kalt for [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]].<ref name = Sommerfeld> A. Sommerfeld, ''Atombau und Spektrallinien'', I. Band, 8. Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).</ref> Elektronet i hydrogenatomet tenkes å bevege seg i et plan hvor dets posisjon kan angis ved [[polarkoordinatsystem|polare koordinater]] (''r,φ''). Ser man bort fra atomkjernens endelig masse, har elektronet da en hastighet '''v''' = ''d'' '''r'''/''dt''  og dermed en [[kinetisk energi]] : <math> K = {1\over 2}m_e \mathbf{v}^2 = {1\over 2}m_e \Big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\Big) </math> hvor prikken over ''r'' og ''φ'' indikerer derivasjon med hensyn på tiden. I tillegg har elektronet en [[potensiell energi]] {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup> 2</sup>/4''π ε''<sub>0</sub>''r'' }} som også varierer med tiden. Men totalenergien {{nowrap|''E {{=}} K + V''}} er konstant under denne bevegelsen. Her er det antatt at atomkjernen har ladning ''Ze'' i det mer generelle tilfellet. Vanlig hydrogen har ladningstall ''Z'' = 1. Atomet under betraktning kan derfor være et [[helium]] [[ion]] He<sup>+</sup>  for ''Z'' = 2, et dobbeltionisert [[litium]]atom Li<sup>++</sup>  for ''Z'' = 3 etc. Ved bruk av [[Lagrange-mekanikk]] har elektronet to «kanoniske impulser» gitt som : <math> p_r = {\partial K\over\partial\dot{r}} = m_e \dot{r}, \;\; p_\phi = {\partial K\over\partial\dot{\phi}} = m_er^2\dot{\phi} </math> Her er ''p<sub>φ</sub> '' ikke noe annet enn størrelsen av elektronets [[dreieimpuls]] ''m<sub>e</sub>'' '''r'''×'''v''' og er konstant da den kinetiske energien er uavhengig av vinkelen ''φ''. Dette tilsvarer konstant «flatehastighet» for en planet som følger [[Keplers lover|Keplers andre lov]]. Uttrykt ved disse impulsene, tar derfor den totale energien til elektronet formen : <math> E = {p_r^2\over 2m_e} + {p_\phi^2\over 2m_e r^2} - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r} </math> Bevegelsesligningene for elektronet kan herav utledes og løses. Men i denne [[kvanteteori]]en er det bare spesielle baner som er tillatte. De finnes ved [[kvantisering (fysikk)|kvantisering]] av den klassiske bevegelsen. ===Kvantebetingelser=== [[Fil:BS-states-1.jpg|thumb|360px|De tre innerste banene i H-atomet angitt ved kvantetallene (''n,k'') ved bruk av Bohr-Sommerfeld-kvantisering.]] [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]] er en «halvklassisk» metode for å gi et mekanisk system egenskaper som er i overensstemmelse med [[kvanteteori]]en. Man beregner den klassiske bevegelsen til systemet og pålegger så disse løsningene bestemte kvantebetingelser. Fremgangsmåten var en generalisering av [[Bohrs atommodell]] for hydrogenatomet, med viste seg snart å ikke kunne benyttes for atomer med flere elektroner. Dette førte til oppdagelsen av moderne [[kvantemekanikk]] i 1925. Den klassiske bevegelsen til elektronet i hydrogenatomet er periodisk der det følger en [[ellipse]]bane. Bohr-Sommerfeld-kvantisering sier at de tillatte banene må oppfylle at integralene av de kanoniske impulsene rundt hver bane skal være et helt multiplum av Plancks konstant, det vil si : <math> \oint\! d\phi\, p_\phi = n_\phi h, \;\; \oint\! dr\, p_r = n_r h</math> Her er ''n<sub>φ</sub>''  og ''n<sub>r</sub>''  positive heltall. De karakteriserer de tillatte banene og opptrer som [[kvantetall]] i den videre beskrivelsen.<ref name = Sommerfeld/> Da dreieimpulsen ''p<sub>φ</sub>''  er konstant, kan den tas utenfor i det første integralet. Det reduseres dermed til 2''π''  da den asimutale vinkel varierer mellom ''φ'' = 0 til 2''π''  for en full periode. Den første betingelsen gir derfor ganske enkelt at {{nowrap|''p<sub>φ</sub>'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>'' ''ħ'' }} hvor {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''π'' }} er den [[Plancks konstant|reduserte Planck-konstanten]]. Innsatt i uttrykket for totalenergien til elektronet, finner man da for den radielle impulsen : <math> p_r = \pm\sqrt{2m_e E - {p_\phi^2\over r^2} + {Ze^2 m_e\over 2\pi\varepsilon_0 r}} </math> som nå bare avhenger av radius ''r''. Det øverste fortegnet beskriver den del av bevegelsen der radius øker og det nederste der den avtar. Det tilsvarer at elektronet beveger seg mellom en minimal avstand ''r<sub>min</sub> '' og en maksimal avstand ''r<sub>max</sub> '' fra atomkjernen. Disse vendepunktene tilsvarer at {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0 }} og kan uttrykkes ved store ''a'' og lille halvakse ''b'' til [[ellipse]]n. Den radielle integrasjonen i den andre kvantebetingelsen kan nå utføres med et resultat som kan skrives på formen<ref name = Sommerfeld/> : <math> E = - {(\alpha Z)^2 m_e c^2\over 2 (n_\phi + n_r)^2} </math> Det gir eksakt samme energinivå som Bohrs formel når ''Z'' = 1, men med den viktige forskjell at hovedkvantetallet nå består av summen {{nowrap|''n'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>'' + ''n<sub>r</sub>'' }}. Baner med forskjellige kvantetall kan derfor ha samme energi. De sies i så fall å være '''degenererte''' med hverandre. ===Kvantiserte baner=== [[Fil:Hydrogen energy levels.png|thumb|400px|Energinivå i H-atomet etter Bohr-Sommerfeld- kvantisering. Hvert nivå er degenerert da energien er uavhengig av kvantetallet ℓ = ''k'' - 1 som angir formen til ellipsen som elektronet følger.]] Kvantetallene ''n<sub>φ</sub>''  og ''n<sub>r</sub>''  angir størrelsen og formen til de tillatte banene. Den følger fra største og minste avstand som elektronet har fra atomkjernen og er definert ved at {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0.}} Disse radiene er henholdsvis ''r<sub>max</sub> '' og ''r<sub>min</sub> '' og kan finnes som de to løsningene av [[andregradsligning]]en : <math> 2m_e Er^2 + {Ze^2 m_e r\over 2\pi\varepsilon_0} = (k\hbar)^2 </math> etter å ha satt det asimutale kvantetallet til Sommerfeld ''n<sub>φ</sub>'' = ''k '' i den notasjon som Bohr gjorde bruk av.<ref name = Pais/> Ved å benytte den geometriske sammenhengen ''r<sub>min</sub>'' + ''r<sub>max</sub>'' = 2''a'', har man da for den store halvaksen i ellipsen : <math> a = n^2 {a_0\over Z} </math> hvor ''a''<sub>0</sub>  er Bohr-radiusen. Denne aksen avhenger kun av hovedkvantetallet ''n''. Størrelsen av ellipsen avtar som ventet med økende kjerneladning ''Z'' da elektronet da vil bli trukket sterkere inn mot den. På samme måte kan den mindre halvakse ''b'' finnes. Er ''c'' avstanden fra atomkjernen til sentrum i ellipsen, vil {{nowrap|''b''<sup> 2</sup> {{=}} ''a''<sup> 2</sup> - ''c''<sup> 2</sup>}} = {{nowrap|(''a'' - ''c'')⋅ (''a'' + ''c'') {{=}} ''r<sub>min</sub>''⋅ ''r<sub>max</sub>''.}} Dette produktet kan igjen leses direkte ut av ligningen og gir : <math> b = {k\over n}a </math> Nå er hovedkvantetallet ''n'' = ''n<sub>r</sub>'' + ''k'' slik at sirkulære baner der ''b'' = ''a'', vil ha en maksimal verdi ''k'' = ''n '' for det asimutale kvantetallet. Det betyr igjen at {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} 0 }} for disse banene. Da {{nowrap|''n'' ≥ 1}}, må derfor også {{nowrap|''k'' ≥ 1}}. [[Fil:Grotrian_H.svg|left|thumb|400px|Diagram som viser noen overganger i hydrogenatomet som er i overensstemmelse med Bohrs utvalgsregel Δℓ {{=}} ±1.]] Betegnes de tillatte banene med kvantetallene (''n,k''), tilsvarer det laveste energinivået den sirkulære banen (1,1). Det nest laveste nivået ''n'' = 2, vil da oppstå i de to banene (2,2) og (2,1) hvorav den første er en sirkel og den andre en ellipse. Dette nivået er derfor degenerert. Slik fortsetter det videre i de høyere nivåene med en stadig økende degenerasjon. Hvis ''k'' = 0 hadde vært tillatt, ville det ha tilsvart at elektronet beveget seg uten dreieimpuls på en rette linje gjennom atomkjernen. I denne halv-klassiske modellen var dette antatt å være umulig. Men i moderne [[kvantemekanikk]] er dreieimpulsen gitt ved det orbitale kvantetallet {{nowrap|ℓ {{=}} ''k'' - 1}} som kan ha verdien {{nowrap|ℓ {{=}} 0}}. I et klassiske bilde betyr det at elektronet da likevel har en mulighet til å gå inn i kjernen til atomet.<ref name = Sommerfeld/> Ut fra historiske grunner er det vanlig å kalle tilstander med ℓ = 0 for ''s''-tilstander, ℓ = 1 for ''p''-tilstander, ℓ = 2 for ''d''-tilstander og så videre som brukt i dag ved omtale av kvantememekaniske tilstander i hydrogenatomet.<ref name = HW/> Ut fra sitt [[Bohrs atommodell#Bohrs postulater|korrespondanseprinsipp]] hadde Bohr utledet at ikke alle overganger mellom disse nye energinivåene var tillatt. Et elektron kunne fremdeles «hoppe» fra et nivå med hovedkvantetall ''n'' til et vilkårlig annet nivå med mindre verdi av dette, men de linjene med minst forandring {{nowrap|Δ''n'' ≥ 1 vil}} være de lyssterkeste. Derimot kan de orbital kvantetallet bare forandre seg i stepp {{nowrap|Δℓ {{=}} ±1}}. Dette er et eksempel på en '''utvalgsregel'''. For eksempel, så kan derfor Lyman-alfalinjen bare fremkomme på den ene måte {{nowrap|2p → 1s}}, mens den første Balmer-linjen H<sub>α</sub> kan oppstå på de tre måtene {{nowrap|3p → 2s}}, {{nowrap|3d →2p}} og {{nowrap|3s → 2p}}. Den består derfor av tre sammenfallende linjer i denne beskrivelsen. Men dette var i konflikt med meget presise observasjoner som [[Albert Abraham Michelson|Albert Michelson]] hadde gjort allerede i 1887 og som viste at linjen i virkeligheten besto av to linjer som lå like ved siden av hverandre. ==Relativistisk bevegelse== I [[Bohrs atommodell]] antar man at elektronet beveger seg ikke-relativistisk, det vil si har en hastighet ''v'' mye mindre enn [[lyshastighet]]en ''c''. Hastigheten er størst i de innerste banene for å stå imot Coulomb-kraften. Den sirkulære banen med hovedkvantetall ''n'' = 1, har radius {{nowrap|''r'' {{=}} ''a''<sub>0</sub>/''Z'' }} samtidig som den har en kvantisert dreieimpuls {{nowrap|''p<sub>φ</sub> {{=}} m<sub>e</sub>vr''}} = ''ħ''. Hastigheten i denne banen er dermed gitt som {{nowrap|''v''/''c'' {{=}} ''αZ''.}} Da størrelsen av [[finstrukturkonstant]]en tilnærmet er ''α'' = 1/137, vil hastigheten til elektronet rundt en tung kjerne ''Z'' >> 1 nærme seg lyshastigheten. Man må derfor benytte [[spesiell relativitetsteori]] for å beskrive elektronets bevegelse. Når bevegelsen foregår i en sirkel med konstant hastighet, er den relativistiske beskrivelsen spesielt enkel.<ref name = BM/> De tidligere bevegelsesligningene tar en ny form hvor elektronets masse ''m<sub>e</sub> '' erstattes med ''m<sub>e</sub> ''/√(1 - ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup>). Derfor vil [[Newtons lover|Newtons andre lov]] som forbinder [[sentripetalakselerasjon]]en med Coulomb-kraften, forandres til : <math> {m_e\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} {v^2\over r} = {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}, </math> mens uttrykket for den kvantiserte dreieimpulsen blir : <math> {m_e vr\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} = n\hbar . </math> Sammen gir disse to ligningene ''v''/''c'' = ''αZ''/''n'', nøyaktig som i den ikke-relativistiske beskrivelsen. Men energien til elektronet er litt forandret, : <math> E = {m_e c^2\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r} = m_e c^2\sqrt{1 - v^2/c^2} </math> Setter man her inn for hastigheten og utvikler kvadratroten i henhold til [[binomialformel]]en, blir derfor energinivåene for sirkulære baner i hydrogenatomet gitt som : <math> E = m_e c^2\left[1 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^2 - {1\over 8}\left({\alpha Z\over n}\right)^4 + \cdots \right] </math> Her er det første leddet hvileenergien til elektronet når det er i ro. Neste ledde er i overensstemmelse med Bohrs ikke-relativistiske formel, mens det tredje leddet er den første, relativistiske korreksjonen til denne. Som ventet er den størst for de innerste banene hvor hovedkvantetallet ''n'' er lite og derfor elektronets hastighet stor.<ref name = BM/> ===Halvklassisk finstruktur=== [[Fil:H-atom-5.jpg|thumb|400px|Finstruktur i laveste energinivå i H-atom angitt ved kvantetall (''n,k'') som resultat av Bohr-Sommerfeld-kvantisering. De <span style="color:red;">røde pilene</span> viser tillatte overganger Δ''k'' = ±1 som splitter H<sub>''α''</sub> - linjen, mens den <span style="color:blue;">blå pilen</span> viser overgangen som gir Ly-alfa.]] Generelt foregår ikke den relativistiske bevegelsen til elektronet i en sirkelbane, men i en ellipsebane hvor hovedaksen [[presesjon|presesserer]]. I tillegg til den angulære impulskompoenten ''p<sub>φ</sub>''  har det også en radiell komponent ''p<sub>r</sub>''  som må inngå i det [[Kovariant relativitetsteori#Relativistisk bevegelsesligning|kovariant uttrykket]] : <math> \mathbf{p}^2 c^2 + m_e^2c^4 = (E - V)^2 </math> med den potensielle energien {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup> 2</sup>/4''π ε''<sub>0</sub>''r'' }}. Det gir sammenhengen : <math> p_r^2 + {p_\phi^2\over r^2} + m_e^2 c^2 = {1\over c^2}\Big(E + {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\Big)^2 </math> hvor {{nowrap|''p<sub>φ</sub>'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>'' ''ħ'' }} etter kvantisering. Som i det ikke-relativistiske tilfellet kan {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' }} herav bestemmes og kvantiseres med et tilsvarende, radielt kvantetall {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' }}. Integralet som dermed fremstår har igjen samme form som tidligere og gir det generelle resultatet : <math> E = {m_e c^2\over\sqrt{1 + \big(\alpha Z/\big[ n_r + \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2 Z^2}\big] \big)^2}} </math> for de kvantiserte energinivåene i hydrogenatomet. Dette er Sommerfelds relativistiske formel som han fant i 1916. Her inngår ikke lenger de to kvantetallene kun i kombinasjonen {{nowrap|''n'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>'' + ''n<sub>r</sub>'' }} som definerer hovedkvantetallet, men hver for seg. Degenerasjonen mellom tilstandene som har samme verdi av dette, er dermed opphevet i denne relativistiske kvantiseringen. Innfører man igjen Bohrs notasjon ''k = n<sub>φ</sub>'' for det orbitale kvantetallet, vil derfor hver tilstand (''n,k'') ha en distinkt energi. Man sier at spektrumet til atomet har en '''finstruktur'''.<ref name = Sommerfeld/> For de letteste atomene med ''αZ'' << 1 kan man approksimere uttrykket for energien med en rekkeutvikling i denne lille parameteren. Det gir : <math> E = m_e c^2\left[1 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^2 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^4\left({n\over k} - {3\over 4}\right) + \cdots\right] </math> Det andre leddet på høyre side er Bohrs resultat ''E<sub>n</sub>''  for energinivåene, mens det neste leddet gir den relativistiske korreksjonen. Den kan skrives som : <math> \Delta E_{n,k} = {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over k} - {3\over 4}\right) E_n </math> Sirkulære baner har ''k = n'' og derfor energier i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet. Da kvadratet ''α''<sup>2</sup>  av [[finstrukturkonstant]]en er av størrelsesorden 10<sup>-4</sup>, er effekten av denne finstrukturen veldig liten og avtar for høyere energinivå med større verdier av hovedkvantetallet. For hydrogenatomet med ''Z'' = 1 er differansen mellom den sirkulære og elliptiske banen på andre nivå {{nowrap|''n'' {{=}} 2 }} gitt ved {{nowrap|Δ''E<sub>H</sub>'' {{=}} Δ''E''<sub>2,2</sub> - Δ''E''<sub>2,1</sub> {{=}} (''α''<sup>2</sup>/16) Ry}} som stemmer med den observerte splittelsen til H<sub>α</sub>-linjen når man ser bort fra den mindre finstrukturen på nivået {{nowrap|''n'' {{=}} 3}}. For [[ion]]et He<sup>+</sup> er den tilsvarende oppsplittingen større da det har ''Z'' = 2. I tillegg er linjene skarpere da dette ionet er fire ganger tyngre. Nøyaktige målinger ved [[Friedrich Paschen]] ga igjen full overenstemmelse med Sommerfelds teoretiske resultatet.<ref name = Sommerfeld/> ==Kvantemekanisk beregning== Etter at [[Heisenberg]] etablerte den første [[matrisemekanikk]]en sommeren 1925, var det viktige å finne ut om den kunne forklare mer kompliserte system enn den enkle [[Matrisemekanikk#Harmonisk oscillator|harmoniske oscillatoren]] Heisenberg hadde kvantisert. Allerede samme høst lyktes [[Wolfgang Pauli]] å beregne de energinivåene til hydrogenatomet ved å gjøre bruk av den spesielle [[Runge-Lenz-vektor]]en. Den opptrer i det tilsvarende klassiske [[tolegemeproblem|topartikkelsystemet]] som blir holdt sammen av [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]].<ref name = Longair> M. Longair, ''Quantum Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-1-107-01709-2. </ref> I denne nye [[kvantemekanikk]]en blir de klassiske variable <math>\mathbf{r} </math> og <math>\mathbf{p} </math> beskrevet ved operatorer <math>\hat\mathbf{r} </math> og <math>\hat\mathbf{p} </math>. Rekkefølgen av slike faktorer er viktig ved multiplikasjon. Dette kommer til uttrykk ved at de tilfredsstiller en [[Kvantemekanikk#Kvantedynamikk|kanonisk kommutator]]. De kvantiserte energiene til atomet kan da finnes som egenverdiene til [[Hamilton-operator]]en som i dette tilfellet er : <math> \hat{H} = {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} - {k\over\hat{r}} </math> hvor ''k'' er en konstant. Her er operatoren <math> 1/\hat{r} = \hat{r}^{-1} </math> definert ved at <math> \hat{r}\cdot \hat{r}^{-1} = \hat{r}^{-1}\cdot\hat{r} = 1.</math> Den klassiske dreieimpulsen <math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} </math> er bevart under bevegelsen til elektronet. Kvantemekanisk betyr det at vektoroperatoren <math> \,\hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r} \times\hat\mathbf{p} \, </math> har en kommutator <math> [\hat\mathbf{L},\hat{H}] = 0. </math> På samme måte vil den klassisk bevarte Runge-Lenz-vektoren <math>\mathbf{A} </math> bli en tilsvarende vektoroperator <math> \hat\mathbf{A} </math> med kommutator <math> [\hat\mathbf{A},\hat{H}] = 0. </math> Den kan skrives som : <math> \hat\mathbf{A} = {1\over 2}\left(\hat\mathbf{p} \times \hat\mathbf{L} - \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{p} \right) - mk {\hat\mathbf{r}\over \hat{r}} </math> Det første leddet er gjort hermitisk da operatoren <math> \hat\mathbf{p} \times \hat\mathbf{L} </math> ikke er det fordi <math> \,\hat\mathbf{p} </math> og <math> \,\hat\mathbf{L} </math> ikke kommuterer med hverandre. Ved direkte utregning finner man nå at : <math> \hat\mathbf{A}^2 = m^2k^2 + 2m\hat{H}( \hat\mathbf{L}^2 + \hbar^2 ) </math> sammen med at <math> \,\hat\mathbf{L}\cdot \hat\mathbf{A } = \hat\mathbf{A}\cdot \hat\mathbf{L } = 0. </math> Det er å forvente da de to klassiske vektorene står vinkelrett på hverandre.<ref name = MIT> M. Born, ''Problems of Atomic Dynamics'', MIT Press, Massachusetts (1970). ISBN 0-262-52019-2. Forelesninger ved [[MIT]] 1925-26.</ref> Kommutatorene mellom <math> \,\hat\mathbf{L} </math> og <math> \,\hat\mathbf{A} </math> kan regnes ut og vil anta samme form som de tilsvarende, klassiske [[Runge-Lenz-vektor#Poisson-klammer|Poisson-klammene]]. I tillegg til <math> [\hat{L}_a, \hat{L}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{L}_c </math> vil man da få : <math> [\hat{L}_a, \hat{A}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{A}_c , \;\; [\hat{A}_a, \hat{A}_b] = - 2m\hat{H} i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c .</math> Ved å definere den nye operatoren : <math> \hat\mathbf{M} = \left({1\over -2m\hat{H}}\right)^{1/2} \hat\mathbf{A} </math> kan de tre kommutatorene skrives på den kompakte formen <math> \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{M} \times \hat\mathbf{M} = i\hbar\,\hat\mathbf{L} </math> og <math> \, \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{M} = i\hbar\,\hat\mathbf{M}. </math> Derfor er det naturlig å innføre : <math> \hat\mathbf{R} = {1\over 2}(\hat\mathbf{L} + \hat\mathbf{M}), \; \hat\mathbf{S} = {1\over 2}(\hat\mathbf{L} - \hat\mathbf{M})</math> som kommuterer med hverandre. De er nye [[spinn]]operatorer da <math>\hat\mathbf{R} \times \hat\mathbf{R} = i\hbar\,\hat\mathbf{R} </math> og <math>\, \hat\mathbf{S} \times \hat\mathbf{S} = i\hbar\,\hat\mathbf{S} </math> som I tillegg har samme størrelse, <math> \hat\mathbf{R}^2 = \hat\mathbf{S}^2. </math> Ved å gjøre bruk av at <math> \, \hat\mathbf{L} \cdot \hat\mathbf{M} = \hat\mathbf{M} \cdot \hat\mathbf{L} = 0, </math> har man derfor : <math> \hat\mathbf{R}^2 + \hat\mathbf{S}^2 = {1\over 2}(\hat\mathbf{L}^2 + \hat\mathbf{M}^2 ) = 2\hbar^2 s (s + 1) </math> hvor dette spinnkvantetallet vil ha verdiene ''s'' = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Her kan <math> \hat\mathbf{M}^2 </math> uttrykkes ved <math> \, \hat\mathbf{A}^2 </math> slik at egenverdiene <math> E </math> til Hamilton-operatoren <math> \hat{H} </math> er bestemt ved : <math> 4\hbar^2s(s+1) = \hat\mathbf{L}^2 - {1\over 2mE}\left[m^2k^2 + 2mE( \hat\mathbf{L}^2 + \hbar^2)\right] </math> Dermed blir : <math> E = - {m\over 2\hbar^2} {k^2 \over (2s +1)^2} </math> som er nøyaktig Bohrs resultat for energinivåene i hydrogenatomet hvor ''k'' = ''e''<sup> 2</sup>/4''π ε''<sub>0</sub> med hovedkvantetall {{nowrap|''n'' {{=}} 2''s'' + 1}}. Det tar som forventet verdiene ''n'' = 1, 2, 3 og så videre.<ref name = Weinberg> S. Weinberg, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, England (2015). ISBN 978-1-107-11166-0.</ref> ==Schrödinger-ligningen== En beregning av energinivåene til hydrogenatomet gjennomføres enklest ved bruk av [[Schrödinger-ligning]]en for elektronet som beveger seg i Coulomb-potensialet {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup> 2</sup>/4''π ε''<sub>0</sub>''r'' }} skapt av atomkjernen. Antar man at den er så tung at den reduserte massen kan settes lik med elektronets masse ''m<sub>e</sub>'', tar ligningen formen : <math> \left[- {\hbar^2\over 2m_e}\boldsymbol{\nabla}^2 - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\right] \psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) </math> Da vekselvirkningen kun avhenger av den radielle avstanden ''r'', kan man med fordel benytte [[kulekoordinater]] '''r''' = (''r'',''θ'',''φ''). [[Laplace-operator]]en er da : <math> \boldsymbol{\nabla}^2 = {\partial^2\over\partial r^2} + {2\over r}{\partial\over\partial r} + {1\over r^2}\!\left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] </math> Som for alle slike problem med [[Schrödinger-ligning#Rotasjonssymmetri|rotasjonssymmetri]] representerer de to første leddene her den kvadrerte, radielle impulsen, mens de siste leddene inneholder operatoren for den kvadrerte, [[Kvantemekanikk#Kvantemekanisk impuls|kvantemekaniske impulsen]] til partikkelen. Den har egentilstander som er gitt ved de [[Sfærisk harmonisk funksjon|sfærisk harmoniske funksjonene]] {{nowrap|''Y''<sub>ℓ''m''</sub>(''θ,φ'') }} definert ved : <math> \left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] Y_{\ell m}(\theta,\phi) = - \ell(\ell + 1) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math> hvor heltallet ''m'' ligger i intervallet {{nowrap|- ℓ ≤ ''m'' ≤ ℓ}} og derfor tar {{nowrap|2ℓ + 1}} forskjellige verdier.<ref name = HW/> Den fulle bølgefunksjonen kan dermed skrives som produktet : <math> \psi(\mathbf{r}) = R(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math> hvor den radielle delen vil tilfredsstille en ordinær [[differensialligning]] som følger fra den opprinnelige Schrödinger-ligningen. Innfører man midlertidig hjelpefunksjonen ''u''(''r'') = ''r'' ''R''(''r''), tar denne formen : <math> - {\hbar^2\over 2m_e}{d^2u\over dr^2} + \left[{Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r} + {\ell(\ell + 1)\hbar^2\over 2m_e r^2}\right]u(r) = Eu(r) </math> På store avstander fra atomet går den delen av ligningen i firkantparantesen mot null. For en bundet tilstand av elektronet er energien ''E'' < 0 og bølgefunksjonen må bli forsvinnende liten i dette området. Dette sees også fra ligningen som gir <math> u(r) \propto e^{-\kappa r}</math> hvor parameteren : <math> \kappa^2 = - {2m_e E\over \hbar^2} </math> I det motsatte området veldig nær atomkjernen hvor ''r'' → 0, dominerer leddet med det angulære kvantetallet ℓ i differensialligningen. Beholder man bare dette, ser man at da vil <math> u(r) \propto r^{\ell +1}</math>. Man kan skille ut disse to hovedtrendene i ''u''(''r'' ) ved å skrive : <math> u(r) = \rho^{\ell + 1}e^{-\rho/2} L(\rho) </math> etter å ha innført den dimensjonsløse, radielle avstanden ''ρ'' = 2''κr''. Den ikke-trivielle delen av den radielle bølgefunksjonen er da inneholdt i ''L''(''ρ'') som nå oppfyller differensialligningen :<math> \rho{d^2L\over d\rho^2} + (2\ell + 2 - \rho){dL\over d\rho} + (\lambda - \ell - 1)L = 0 </math> hvor parameteren : <math> \lambda = {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar}\sqrt{-{m_e\over 2E}} </math> Dette er '''Kummers differensialligning''' som et et spesielt tilfelle av en [[konfluent hypergeometrisk funksjon]].<ref name = MW> J. Mathews and R.L. Walker, ''Mathematical Methods of Physics'', W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.</ref> Bare når koeffisienten {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} ''λ'' - ℓ - 1 }} er et positivt [[heltall]] eller null, vil løsningen ''L''(''ρ'') ikke vokse for raskt når ''ρ'' → ∞. Den er da gitt som et [[Laguerre-polynom]] <math>L^{2\ell + 1}_{n_r}(\rho) </math>. Da er ''λ'' et positivt heltall : <math> n = n_r + \ell + 1 </math> som karakteriserer de kvantiserte energinivåene. Siden disse da blir : <math> E_n = - {1\over 2}m_e \left({Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar} \right)^2{1\over n^2}, </math> er ''n '' ikke noe annet enn hovedkvantetallet. Det radielle kvantetallet ''n<sub>r</sub>'' = 0, 1, 2, 3, ... angir antall nullpunkt i [[polynom]]et ''L''(''ρ''). Alle tilstander med samme hovedkvantetall og orbitalt kvantetall 0 ≤ ℓ ≤ ''n'' - 1 har samme energi. Da hver verdi av ℓ inneholder 2ℓ + 1 tilstander definert ved det magnetiske kvantetallet ''m'', er det totale antall degenererte tilstander for hver verdi av hovedkvantetallet gitt ved : <math> \sum_{\ell = 0}^{n-1}(2\ell + 1) = n(n-1) + n = n^2 </math> Hvis man i tillegg tar med at elektronet har to forskjellige [[spinn]]retninger, blir degenerasjonsgraden det dobbelt av dette.<ref name = HW/> ===Normaliserte bølgefunksjoner=== [[Fil:Hydrogen Density Plots.png|thumb|500px|Grafisk fremstilling av de laveste bølgefunksjonene <math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) </math> for hydrogenatomet.]] Fra Schrödinger-ligningen er dermed de fullstendige egenfunksjonene for elektronet i H-atomet funnet å være : <math>\psi_{n\ell m}(\mathbf{r}) = N_{n\ell} \rho^\ell e^{-\rho/2}L^{2\ell + 1}_{n_r}(\rho) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math> hvor det radielle kvantetallet ''n<sub>r</sub>'' = ''n'' - ℓ - 1 og ''N''<sub>''n''ℓ</sub>  er en normeringskonstant som må bestemmes. Den radielle koordinaten er nå : <math> \rho = {2r\over\hbar}\sqrt{-2m_e E_n} = {2r\over na} </math> der ''a'' = ''a''<sub>0</sub>/''Z'' kan identifiseres med radius i den innerste, sirkulære banen i en klassisk beskrivelse hvor ''a''<sub>0</sub> er den vanlige Bohr-radius. Normeringskonstanten ''N''<sub>''n''ℓ</sub>  bestemmes nå fra den vanlige betingelsen : <math> \int\!d^3r \;\psi^*_{n\ell m}(\mathbf{r}) \psi_{n'\ell' m'}(\mathbf{r}) = \delta_{nn'}\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'} </math> som uttrykker at disse løsningene danner et [[kvantemekanikk|orthonormalt sett]] av tilstander.<ref name = BJ> B.H. Bransden and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Prentice Hall, New York (2000). ISBN 978-0-582-35691-7.</ref> Bølgefunksjonene tar nå formen : <math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = R_{n\ell}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math> med den radielle delen : <math> R_{n\ell}(r) = N_{n\ell}(2r/na)^\ell e^{-r/na} L^{2\ell + 1}_{n - \ell - 1}(2r/na) </math> Da normeringesintegralet på denne måten er blitt redusert til det radielle integralet : <math> \int_0^\infty\!dr r^2 R^2_{n\ell}(r) = 1, </math> kan normeringskonstantene bestemmes til å være : <math> N_{n\ell} = {2\over n^2}\sqrt{(n - \ell - 1)!\over a^3(n + \ell)!} </math> Ved å benytte uttrykkene for de laveste [[Laguerre-polynom]]ene blir dermed de tilsvarende, radielle bølgefunksjonene : <math>\begin{align}R_{1s}(r) &= \sqrt{4\over a^3}e^{-r/a} \\ R_{2s}(r) &= \sqrt{1\over 8a^3}\left(2 - {r\over a}\right)e^{-r/2a} \\ R_{2p}(r) &= \sqrt{1\over 24a^3}{r\over a} e^{-r/2a} \end{align}</math> De to ''s''-tilstandene her har den egenskapen at de tilsvarende bølgefunksjonene har en endelig verdi når ''r'' → 0. Det betyr at elektronet har en viss sannsynlighet for også å befinne seg inni atomkjernen. Dette er en egenskap ved alle slike tilstander med ℓ = 0 og følger fra den spesielle verdien <math>L^1_{n-1}(0) = n</math> for Laguerre-polynomet. Generelt har man dermed en verdi : <math> \psi_{n00}(\mathbf{r} = 0) = {2\over n^2}\sqrt{(n-1)!\over a^3 n!} {n\over\sqrt{4\pi}} = \sqrt{1\over \pi a^3n^3} </math> for den fulle bølgefunksjonen i dette spesielle punktet. Den kan observeres direkte i [[hyperfinstruktur]]en til hydrogenatomet.<ref name = BJ/> ==Relativistisk finstruktur== Den vanlige [[Schrödinger-ligning]]en er basert på at den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] til elektronet er gitt ved impulsen som '''p'''<sup>2</sup>/2''m<sub>e</sub>''. Men i et atom beveger det seg så raskt at korreksjoner til denne energien fra [[Den spesielle relativitetsteori#Relativistisk impuls|relativitetsteorien]] må tas med. [[Hamilton-operator]]en må da utvides med dette ekstra leddet slik at den tar formen : <math> H = {\mathbf{p}^2\over 2m_e} + V(r) - {\mathbf{p}^4\over 8m_e^3c^2} </math> hvor siste ledd er den relativistiske perturbasjonen ''H<sub>rel</sub>''. Ved å bruke [[kvantemekanikk|kvantemekanisk perturbasjonsteori]] gir dette leddet en forskyvning av hvert energinivå i atomet gitt ved matriseelementet : <math> \Delta E_{n\ell m} = \int\!d^3r \;\psi^*_{n\ell m}(\mathbf{r})H_{rel}\; \psi_{n\ell m}(\mathbf{r}) </math> Da perturbasjonen er rotasjonsymmetrisk, vil denne energiforskyvningen være uavhengig av det magnetiske kvantetallet ''m''. Den kan regnes ut ved å benytte den uperturberte Hamilton-operatoren {{nowrap|''H''<sub>0</sub> {{=}} '''p'''<sup>2</sup>/2''m<sub>e</sub>'' + ''V''(''r'' )}}. Herfra følger at : <math> \mathbf{p}^4 = [2m_e (H_0 - V)]^2 = 4m_e^2(H_0^2 - 2H_0V + V^2) </math> I matriseelementet vil her ''H''<sub>0</sub>  kunne erstattes med egenverdien ''E<sub>n</sub>''  slik at man kun behøver å regne ut forventningsverdiene til ''V '' og ''V''<sup> 2</sup>. Ved å bruke bølgefunksjonene reduseres beregningen til<ref name = BJ/> : <math> \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle_{n\ell} = \int_0^\infty\!dr r^2 {1\over r} R^2_{n\ell}(r) = {1\over an^2} </math> da den angulære delen av bølgefunksjonen ikke bidrar i det normerte matriseelementet. På samme måte finner man : <math> \left\langle \frac{1}{r^2} \right\rangle_{n\ell} = \int_0^\infty\!dr r^2 {1\over r^2} R^2_{n\ell}(r) = {1\over a^2n^2 (\ell + 1/2)} </math> Den resulterende energiforskyvningen fra de forskjellige termene blir dermed : <math>\begin{align} \Delta E^{rel}_{n\ell} &= - {1\over 2m_ec^2}\left[E_n^2 + 2E_n \Big({Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0} \Big) \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle_{n\ell} + \Big({Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0} \Big)^2 \left\langle \frac{1}{r^2} \right\rangle_{n\ell} \right]\\ &= {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over \ell + 1/2} - {3\over 4}\right) E_n \end{align}</math> Noe overraskende har dette nøyaktig samme form som følger fra den halvklassiske formelen til Sommerfeld basert på Bohr-Sommerfeld-kvantisering. Men Bohrs orbitale kvantetall ''k'' er byttet ut med ℓ + 1/2. Hvert degenerert energinivå med hovedkvantetall ''n'' blir splittet opp i ''n''  nivå avhengig av det orbital kvantetallet ℓ. Det har som konsekvens at den numeriske størrelsen på denne finstrukturen blir litt annerledes. For eksempel, hvis man igjen regner ut oppsplittingen av H''<sub>α</sub>'' - linjen, finner man nå et resultat {{nowrap|Δ''E<sub>H</sub>'' {{=}} Δ''E''<sub>2''s''</sub> - Δ''E''<sub>2''p''</sub> {{=}} (''α''<sup>2</sup>/6) Ry}}, det vil si 8/3 ganger så stort som det den halvklassiske beregningen gir. Og denne var i overensstemmelse med observasjonene. Dette var også grunnen til at [[Erwin Schrödinger]] i 1925 forkastet den relativistiske bølgeligningen som nå bærer navnet [[Klein-Gordon-ligning|Klein-Gordons ligning]]. Den gir akkurat denne finstrukturen som ikke stemmer med målingene. Derfor la han den relativistiske formuleringen vekk og konsentrerte seg om den ikke-relativistiske [[Schrödinger-ligning]]en. Finstrukturen i spektret til hydrogenatomet ble først forstått et år senere med oppdagelsen av elektronets [[spinn]] som gir et eget bidrag til finstrukturen.<ref name = Pais/> ===Spinn-banekobling=== I tillegg til at bevegelsen til elektronet gir et perturbativt tillegg til den kinetiske energien, vil den også skape et indre, [[magnetisk felt]] i atomet som kan finnes fra [[Biot-Savarts lov]]. Men det kan ikke virke tilbake på elektronet igjen. Derimot vil elektronet i sitt momentane hvilesystem bli utsatt for et tilsvarende magnetfelt fra atomkjernen med elektrisk ladning ''Ze '' og som synes å kretse omkring det. Dette magnetfeltet virker på det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]] til elektronet som skyldes dets [[spinn]]. Denne energien blir halvert på grunn av [[Thomas-presesjon]]en når den blir transformert tilbake til hvilesystemet for atomkjernen hvor elektronet er i bevegelse.<ref name = Schwabl> F. Schwabl, ''Quantum Mechanics'', Springer-Verlag, Berlin (1990). ISBN 0-387-54217-5.</ref> Nettoresultatet av denne magnetiske effekten omtales som [[spinn-banekobling]]en. Den skaper en perturbasjon av energinivåene i atomet som kan uttrykkes ved Hamilton-operatoren : <math> H_{mag} = {Ze^2\over 2m_e c^2 r^3}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}</math> hvor '''L''' er operatoren for elektronets [[dreieimpuls]] karakterisert ved det orbitale kvantetallet ℓ = 0, 1, 2, ..., mens '''S''' er elektronets spinnoperator med tilhørende kvantetall {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2}}. Denne perturbasjonen kommuterer ikke med disse operatorene, men derimot med den totale dreieimpulsen {{nowrap|'''J''' {{=}} '''L''' + '''S''' }} karakterisert ved kvantetallet {{nowrap|''j'' {{=}} ℓ ± 1/2}}. Da nå {{nowrap|'''J'''<sup>2</sup> {{=}} '''L'''<sup>2</sup> + '''S'''<sup>2</sup> + 2'''L'''⋅'''S'''}}, er : <math> 2\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}/ \hbar^2 = j(j+1) - \ell(\ell + 1) - 3/4 = \left\{\begin{array}{ccc} \ell , & j= \ell + 1/2 \\ - \ell - 1, & j = \ell - 1/2 \end{array} \right .</math> Sammen med forventningsverdien : <math> \left\langle \frac{1}{r^3} \right\rangle_{n\ell} = \int_0^\infty\!dr r^2 {1\over r^3} R^2_{n\ell}(r) = \frac{1}{a^3 n^3 \ell (\ell + 1/2) (\ell + 1)}</math> gir dermed denne magnetiske perturbasjonen en forskyvning : <math> \Delta E^{mag}_{n\ell, j =\ell \pm 1/2} = {Ze^2\hbar^2\over 4m_e c^2}\begin{pmatrix}\ell \\ -\ell - 1\end{pmatrix} \left\langle \frac{1}{r^3} \right\rangle_{n\ell} = {Z^2\alpha^2\over 2n\ell(\ell + 1/2)(\ell + 1)}\begin{pmatrix}-\ell \\ \ell + 1\end{pmatrix} E_n </math> av energinivåene som nå er karakterisert ved kvantetallene ''n'', ℓ og ''j'' = ℓ ± 1/2. Denne effekten er derfor av samme størrelsesorden {{nowrap|''Z''<sup> 2</sup>''α''<sup> 2</sup>}} som effekten av den relativistiske perturbasjonen ''H<sub>rel</sub>''. [[Fil:H-atom-3.jpg|thumb|400px|Energinivå i H-atomet for hovedkvantetall ''n'' = 2 fra de kvante-mekaniske teoriene til Bohr, Sommerfeld og Dirac. De røde pilene viser tillatte Δℓ = ± 1 overganger som gir en splittet Ly<sub>''α''</sub> - linje i [[Dirac-ligning|Diracs teori]]. ]] Disse to bidragene kan kombineres og tar da den enklere formen : <math> \Delta E^{tot}_{n\ell j}= {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over j + 1/2} - {3\over 4}\right) E_n </math> Strengt tatt er ikke dette resultatet gyldig for til tilstander med ℓ = 0. Men ved bruk av [[Dirac-ligning|Diracs relativistiske ligning]] for elektronet unngår man dette problemet og finner samme svar. Dette forklares noen ganger med at det spinnende elektronet har en «sitterbevegelse» eller «skjelving». Denne gir opphav til en ny, perturbativ vekselvirkning som vanligvis omtales som en [[Finstruktur|Darwin-term]] og fjerner dette problemet når {{nowrap|ℓ {{=}} 0}}.<ref name = Schwabl/> Dette er numerisk akkurat samme resultat som man kom frem til fra den relativistiske Bohr-Sommerfeld-kvantisering da Bohrs orbitale kvantetall ''k'' = 1, 2, 3, ... tar akkurat samme verdier som {{nowrap|''j'' + 1/2}} og er derfor i overenstemmelse med målingene. Hver tilstand med en bestemt verdi av {{nowrap|''k'' {{=}} ℓ + 1}} splittes opp i to tilstander med {{nowrap|''j'' {{=}} ℓ ± 1/2}} bortsett fra ''s''-tilstander som har ℓ = 0. Da den totale perturbasjonen er bestemt ved kvantetallet ''j'' og ikke lenger av ℓ, vil det alltid finnes par av tilstander med samme verdi av ''j'', men forskjellig verdi av ℓ som fortsatt er degenererte. For eksempel, blant tilstandene med {{nowrap|''n'' {{=}} 3 }} vil både paret 3''s''<sub>1/2</sub> og 3''p''<sub>1/2</sub> samt paret 3''p''<sub>3/2</sub> og 3''d''<sub>3/2</sub> forbli degenererte. Nå som elektronets spinn er tatt med, er det dobbelt så mange tilstander for hver verdi av hovedkvantetallet ''n''. For eksempel, for ''n'' = 2 hadde man tidligere energinivåene 2''s'' og 2''p'' med i alt 1 + 3 = 4 = 2<sup>2</sup> tilstander. Med spinn utgjør de nå nivåene 2''s''<sub>1/2</sub>, 2''p''<sub>1/2</sub> og 2''p''<sub>3/2</sub> som inneholder 2 + 2 + 4 = 8 = 2⋅4 tilstander. Men da nivåene 2''s''<sub>1/2</sub> og 2''p''<sub>1/2</sub> har samme energi, er det fremdeles bare to separate energinivå for ''n'' = 2. De to nivåene 2''s''<sub>1/2</sub> og 2''p''<sub>1/2</sub> blir splittet ved en enda mindre effekt som kalles for [[Lamb-forskyvning]]en. Denne er et resultat av [[kvanteelektrodynamikk]]en som ikke bare kvantiserer elektronets bevegelse, men også det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske feltet]]. ==Dirac-ligningen== En kvantemekanisk beskrivelse av elektronet som også var i overensstemmelse med den [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteorien]], kom i 1928 med [[Dirac-ligning]]en. I hydrogenatomet beveger det seg under innflytelse av [[Coulombs lov|Coulomb-potensialet]] slik at de verdiene for energinivåene vil være løsninger av egenverdiproblemet : <math> \Big(\boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf{p} + \beta\, m_e - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\Big)\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) </math> Her er nå impulsoperatoren '''p''' = - ''i ħ'' '''∇''', mens '''''α''''' og ''β'' er 4×4 [[Dirac-ligning|Dirac-matriser]]. De virker på ''ψ'' som er en 4-komponent [[Dirac-ligning|Dirac-spinor]]. Den er den generaliserte bølgefunksjonen for en relativistisk partikkel med [[spinn]]. På samme måte som det relativistiske hydrogenatomet kunne løses eksakt med [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]], kunne [[Paul Dirac]] finne løsningen av denne relativistiske bølgeligningen.<ref name = BjorkenDrell> J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill Book Company, New York (1964).</ref> : <math> E = {m_e c^2\over\sqrt{1 + \big(\alpha Z/ n_r + \sqrt{(j + 1/2)^2 - \alpha^2 Z^2} \big)^2}} </math> Utrolig nok er dette nøyaktig samme resultat som med den halv-klassiske metoden, bare med den forskjell at det orbitale kvantetallet ''k'' = ℓ + 1 er erstattet med ''j'' + 1/2. Det radielle kvantetallet {{nowrap| ''n<sub>r</sub> '' {{=}} 0, 1, 2, ... }} kan nå uttrykkes ved hovedkvantetallet ''n'' som {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} ''n'' - ''j'' - 1/2}}. Fremdeles er energinivå med samme ''n'' og ''j '' degenererte. Det laveste energinivået er 1''s''<sub>1/2</sub> med energien ''m<sub>e</sub> c''<sup>2</sup>√(1 - ''α''<sup>2</sup>''Z''<sup> 2</sup>), mens man for {{nowrap|''n'' {{=}} 2}} har to energinivå tilhørende tre tilstander, : <math>\begin{align} E(2p_{3/2}) &= m_ec^2\sqrt{1 - {\alpha^2Z^2\over 4}}\\ E(2s_{1/2}) &= E(2p_{1/2}) = m_ec^2\sqrt{1 + \sqrt{1- \alpha^2Z^2}\over 2} \end{align}</math> Til laveste orden i den lille parameteren ''α''<sup>2</sup>''Z''<sup> 2</sup> er oppsplittingen av energinivåene fremdeles gitt ved Sommerfelds formel : <math> \Delta E_{n\ell j}= {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over j + 1/2} - {3\over 4}\right) E_n </math> som på denne måten oppstår direkte fra Dirac-ligningen uten å måtte betrakte separate bidrag fra kinematiske og magnetiske perturbasjoner kombinert med en Darwin-term. ==Referanser== <references /> ==Litteratur== * P.C. Hemmer, ''Kvantefysikk'', Tapir akademisk forlag, Trondheim (2000). ISBN 82-519-1564-3. * D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson International Edition, New Jersey (2005). ISBN 0-13-191175-9. {{Autoritetsdata}} [[Kategori:Atomfysikk]] [[Kategori:Hydrogen]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon