Redigerer
Gravitasjonsfelt
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil: Newtonian gravity field (physics).svg|thumb|240px|[[Feltlinje]]r for gravitasjonsfeltet '''g''' utenfor en sfærisk symmetrisk masse.]] '''Gravitasjonsfelt''' i [[klassisk fysikk]] er et [[felt (fysikk)|felt]] som på hvert sted bestemmer [[tyngdekraft]]en som virker på et massivt legeme. Det kan settes lik med [[tyngdeakselerasjon]]en som legemet er utsatt for. Matematisk er det et [[vektorfelt]] som ofte betegnes ved '''g'''. Feltet skyldes tilstedeværelsen av andre masser og har en størrelse som er gitt ved [[Newtons gravitasjonslov]]. I et [[inertialsystem|ikke-inertielt referansesystem]] vil [[fiktiv kraft|fiktive krefter]] som [[sentrifugalkraft]]en også kunne bidra til det totale gravitasjonsfeltet. I [[Einstein]]s [[generell relativitet|generelle relativitetsteori]] er det ingen prinsipiell forskjell mellom [[gravitasjon]] som skyldes masse og ikke-inertielle effekter. Begge bidrar til å gi [[tidrom]]met en [[Einsteins feltligning|krumning]] som kan beregnes fra dets [[metrisk tensor|metriske tensor]]. Gravitasjonsfeltet opptrer ikke lenger som noe felt, men er erstattet med effekten av tidrommets geometri. Istedenfor å forklare bevegelsen til partikler eller planeter ved hjelp av gravitasjonskrefter, viste Einstein at de beveger seg fritt langs [[geodetisk kurve|geodetiske kurver]] i et krummet tidrom. ==Newtons teori== I 1687 publiserte [[Newton]] sin [[Newtons gravitasjonslov|lov]] for gravitasjonskraften mellom en masse ''m'' og en annen masse ''M'' som man kan anta befinner seg i [[origo]]. Hvis da massen ''m'' befinner seg i posisjon '''r''', er den påvirket av kraften : <math> \mathbf{F} = - G{mM\over r^3}\mathbf{r} </math> hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]] og minustegnet viser at kraften er tiltrekkende. Er også andre masser ''M<sub>i</sub> '' til stede, vil disse også bidra på samme måte til kraften som virker på ''m''. Totalkraften finnes ved å summere bidragene fra hver av disse andre massene. Dette er første eksempel på en [[fjernvirkningsteori]] hvor kraften mellom de to massene virker instantant fra den ene til den andre uten noen tidsforsinkelse. Likedan sier loven ingenting om hvordan denne kraften i det hele tatt er i stand til å virke på avstand uten å ha noe medium å bevege seg gjennom. Newton selv var opptatt av disse spørsmålene.<ref name = HB> G. Holton and S.G. Brush, ''Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond'', Rutgers University Press, New Brunswick (2006). ISBN 0-8135-2907-7.</ref> Omtrent to hundre år senere viste [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] i sine verk om [[celest mekanikk]] at man kunne få en bedre forståelse av disse problemene ved å beskrive Newtons lov for gravitasjonskraften som virker på en masse ''m'' i posisjon '''r''', ved å si at alle andre masser ''M<sub>i</sub> '' i posisjoner '''r'''<sub>''i''</sub>  skaper et [[vektorfelt]] '''g''' i dette punktet gitt ved : <math> \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - \sum_i {GM_i\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^3} (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i) </math> Dette er gravitasjonsfeltet i alle punkt utenfor de gitte massene.<ref name = Isaachsen> D. Isaachsen, ''Lærebok i Fysikk for Realgymnaset'', H. Aschehoug & Co, Oslo (1958).</ref> Kraften som virker på massen ''m'', kan da skrives som : <math> \mathbf{F} = m\mathbf{g}(\mathbf{r}) </math> På samme måte vil en annen masse ''m' '' som befinner seg i en posisjon '''r' '''i det samme gravitasjonsfeltet, bli utsatt for kraften '''F'''' = ''m' '' '''g'''('''r' '''). En tilsvarende formulering benyttes for å uttrykke [[Coulombs lov]] for elektriske krefter i [[elektrostatikk]]en ved å beskrive dem som resultatet av et [[elektrisk felt]]. ===Gravitasjonspotensialet=== Da kraften mellom to masser er rettet langs deres forbindelseslinje, sies den å være [[Potensiell energi#Konservative krefter|konservativ]]. Gravitasjonsfeltet kan derfor skrives som [[gradient]]en av et potensial som er et [[skalarfelt]] Φ('''r''')  og definert ved : <math> \mathbf{g} = - \boldsymbol{\nabla}\Phi </math> For en samling masser ''M<sub>i</sub> '' i posisjoner '''r'''<sub>''i''</sub>  er dette [[gravitasjonspotensial]]et gitt som : <math> \Phi(\mathbf{r}) = - \sum_i {GM_i\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|} </math> Da en slik skalar funksjon vanligvis er mye enklere å beregne enn et vektorfelt, er gravitasjonspotensialet både teoretisk og praktisk viktig. Gravitasjonsfeltet spiller en sekundær rolle som kan finnes fra potensialet ved en [[derivasjon]]. ===Bevegelsesligning=== Kraften '''F''' = ''m'' '''g''' som virker på en masse ''m'' i et gravitasjonsfelt, vil gi den en [[akselerasjon]] '''a''' = ''d''<sup> 2</sup>'''r'''/''dt''<sup> 2</sup>  som følger fra [[Newtons lover|Newtons andre lov]] {{nowrap|''m'' '''a''' {{=}} '''F'''.}} Det gir ganske enkelt den klassiske bevegelsesligningen {{nowrap| '''a''' {{=}} '''g'''}} eller : <math> {d^2\mathbf{r}\over dt^2} = - \boldsymbol{\nabla}\Phi </math> når man skriver gravitasjonsfeltet som {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''∇''' Φ}}. Massen ''m'' er forsvunnet fra ligningen som et uttrykk for [[ekvivalensprinsippet]]. Som et enkelt eksempel kan man betrakte gravitasjonsfeltet på [[Jorden]]s overflate. Hvis den har masse ''M'' og radius ''R'', har dette en størrelse ''g'' = ''GM''/''R''<sup>2</sup>. Setter man her inn massen {{nowrap|''M'' {{=}} 5.97×10<sup>24</sup> kg}} og {{nowrap|''R'' {{=}} 6.37×10<sup>3</sup> km}}, finner man den kjente verdien {{nowrap|''g'' {{=}} 9.82 m/s<sup>2</sup>.}}<ref name = Isaachsen/> Mens gravitasjonspotensialet på overflaten er Φ<sub>0</sub> = - ''GM''/''R'', har det i en høyde ''z'' << ''R'' over denne verdien {{nowrap|Φ {{=}} - ''GM''/(''R + z'') {{=}} Φ<sub>0</sub> + ''gz''}}. En partikkel i denne høyden får derfor en akselerasjon kun i ''z''-retning med størrelse ''g'' og rettet nedover slik at bevegelsesligningen blir {{nowrap|''d''<sup> 2</sup>''z''/''dt''<sup> 2</sup> {{=}} - ''g''.}} Starter partikkelen i punktet ''z''<sub>0</sub> med hastighet ''v''<sub>0</sub>, vil posisjonen senere langs denne aksen være gitt som : <math> z = z_0 + v_0t - {1\over 2}gt^2 </math> Hastigheten i ''x''- og ''y''-retning vil ikke forandre seg siden massen ikke har noen akselerasjon i disse retningene. ==Einsteins teori== De geometriske egenskapene til [[tidrom]]met med koordinatene ''x<sup>μ</sup>'' = (''x''<sup>0</sup> = ''ct'', '''x''') er i den [[generell relativitet|generelle relativitetsteorien]] gitt ved det [[metrisk tensor|kvadratiske linjeelementet]] : <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math> hvor ''c'' er [[lyshastigheten]] og man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summerer over alle like par med indekser. Den metriske tensoren ''g<sub>μν</sub>'' forenkles til [[Kovariant relativitetsteori|Minkowski-metrikken]] med de diagonale komponentene {{nowrap|(1, -1, -1, -1)}} i et [[inertialsystem]]. En fri partikkel vil følge en [[geodetisk kurve]] i tidrommet. Det følger fra [[ekvivalensprinsippet]] og betyr at bevegelsen er gitt som en løsning av [[differensialligning]]en : <math> {d^2 x^\sigma\over ds^2} + \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over ds}{dx^\nu\over ds} = 0 </math> hvor størrelsen av linjeelementet er forbundet ved partikkelens [[egentid]] ved relasjonen ''ds = cdτ''. Størrelsene Γ''<sup>σ</sup><sub>μν</sub>''  er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbol]] gitt ved deriverte av komponentene til metrikken ''g<sub>μν</sub>''.<ref name = Schutz> B.F. Schutz, ''A First Course in General Relativity'', Cambridge University Press, England (2009). ISBN 978-0-521-88705-2.</ref> Sammenlignes den geodetiske ligningen med den tilsvarende bevegelsesligningen i Newtons teori, ser man at det siste leddet tilsvarer leddet med gravitasjonsfeltet. Man kan derfor med en viss rett si at dette går over til å bli beskrevet ved Christoffel-symbolene i Einsteins teori. Mer presist kan man se denne sammenhengen ved å gå til den ikke-relativistiske grensen hvor partikkelen beveger seg med en hastighet ''v'' mye mindre enn lyshastigheten i et statisk tidrom. Første komponent {{nowrap|''σ'' {{=}} 0}} av den geodetiske ligningen gir da at partikkelens egentid ''τ'' blir lik koordinattiden ''t''. De andre komponentene til den samme ligningen reduseres dermed til : <math> {d^2 x^i\over dt^2} + \Gamma^i_{\;00}c^2 = 0 </math> I den samme grensen er dette Christoffel-symbolet gitt som 2Γ<sup>''i''</sup><sub>00</sub> = ∂''g''<sub>00</sub>/∂''x<sup>i</sup>'' slik at man finner verdien : <math> g_{00} = 1 + {2\Phi\over c^2} </math> for denne metriske komponenten. Den uttrykker Einsteins forklaring av det newtonske gravitasjonsfeltet som fremkommer som en rent geometrisk egenskap ved tidrommet. Newtons fysikk kan benyttes for svake gravitasjonspotensial som oppfyller betingelsen |Φ| << ''c''<sup> 2</sup> og hastigheter {{nowrap|''v'' << ''c''}}.<ref name = Schutz/> ==Relativistisk gravitasjonsfelt== I [[Newtons gravitasjonslov|Newtons gravitasjonsteori]] er gravitasjonsfeltet identisk med [[tyngdeakselerasjon]]en '''g'''. Når man snakker om gravitasjonsfelt i Einsteins relativistiske teori, er det mest nærliggende å tenke på Christoffel-symbolene Γ''<sup>σ</sup><sub>μν</sub>'' som inngår i den geodetiske bevegelsesligningen. I praksis mener man derimot den metriske tensoren ''g<sub>μν</sub> '' som omtales som det «relativistiske gravitasjonsfeltet». Men strengt tatt er dette et relativistisk gravitasjonspotensial da Christoffel-symbolene er gitt som deriverte av disse metriske komponentene. Dette er analogt med hva som vanligvis skjer i [[elektromagnetisme|elektromagnetisk teori]] når den formuleres på relativistisk måte som i [[kvanteelektrodynamikk]]. Da omtales ofte det [[Kovariant relativitetsteori#Kovariant bevegelsesligning|elektromagnetiske firepotensialet]] ''A<sub>μ</sub>'' som «det elektromagnetiske feltet» og det er disse komponentene som kvantiseres. Men formelt sett skulle denne betegnelsen være reservert for [[Kovariant relativitetsteori#Kovariant bevegelsesligning|Faraday-tensoren]] {{nowrap|''F<sub>μν</sub> {{=}} ∂<sub>μ</sub>A<sub>ν</sub> - ∂<sub>ν</sub>A<sub>μ</sub> ''}} med komponenter som er det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] '''E''' og [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] '''B'''. Samtidig er både ''A<sub>μ</sub>'' og ''F<sub>μν</sub> '' felt ut fra den mer matematiske definisjonen av hva et [[felt (fysikk)|felt]] er. ==Referanser== <references /> {{Autoritetsdata}} [[Kategori:Gravitasjon]] [[Kategori:Geodesi]] [[Kategori:Relativitetsteori]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Maler som brukes på denne siden:
Mal:Autoritetsdata
(
rediger
)
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Modul:External links
(
rediger
)
Modul:External links/conf
(
rediger
)
Modul:External links/conf/Autoritetsdata
(
rediger
)
Modul:Genitiv
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon