Redigerer Gradient

[[Fil:Gradient2.svg|thumb|300px|Gradienten er illustrert med piler for to forskjellige, skalare felt som begge øker i retningene hvor pilene peker.]]
I [[matematikk]] er '''gradienten''' til et [[skalarfelt]] et [[vektorfelt]] der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til en funksjon ''f = f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')  skrives vanligvis '''&nabla;'''''f''&thinsp; der '''&nabla;''' er [[nabla-operator]]en. Den utgjør den fundamentale operasjon i [[vektoranalyse]]n.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler. 

Ordet ''gradient'' brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

== Formell definisjon ==
Gradienten til et generelt skalarfelt <math>f(x_1, x_2, x_3, \dots x_n)</math> definert i et [[kartesisk koordinatsystem]] er definert ved<ref name="Weisstein" />

: <math> \boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n } \right). </math>

der den i-te [[Vektor (matematikk)| vektorkomponenten]] er lik den [[deriverte|partiellderiverte]] av funksjonen  ''f'' med hensyn på den ''i''-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av [[Krumlinjete koordinater|koordinatsystemet]] brukt.  [[Polarkoordinatsystem|sylinderkoordinater]] er definisjonen

:<math> \boldsymbol{\nabla} f(\rho, \theta, z) = 
\frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho+
\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z
</math>

som gir de [[Krumlinjete koordinater#Fysiske komponenter|fysiske komponentene]] av gradienten. I [[kulekoordinater]] er på samme måte

:<math>\boldsymbol{\nabla} f(r, \theta, \phi) = 
\frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r+
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi
</math>

== Eksempel ==
Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,
 
: <math>f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)</math>,

er gitt ved

:<math> \boldsymbol{\nabla} f= \left(
\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial f}{\partial z}\right)
 = \left( 2, 6y, -\cos(z)\right).
</math>

== Taylorutvikling av skalarfelt ==
For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

:<math>f( \mathbf{a+v}) = f(\mathbf{a}) + \boldsymbol{\nabla} f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{v} + \| \mathbf{v}\|E(\mathbf{a,v})</math>

der restleddet E går mot null når <math>\|\mathbf{v}\|</math> går mot null.

== Se også ==
* [[Divergens]]
* [[Curl]]
* [[Laplace-operator]]
* [[Temperaturgradient]]
* [[Trykkgradient]]

== Referanser ==
<references>
<ref name="Weisstein"> {{Kilde www |forfatter=Weisstein, Eric W. |tittel=Gradient |url=http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html |besøksdato=15. september 2016 |kommentar=From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource. }} </ref>
</references>

{{Autoritetsdata}}
{{stubb}}

[[Kategori:Differensialregning]]
[[Kategori:Differensialoperatorer]]
[[Kategori:Generalisering av den deriverte]]
[[Kategori:Vektorregning]]