Redigerer Gnomonisk projeksjon

[[Fil:Gnomonic.png|right|thumb|300x300px|Ved en gnomonisk projeksjon avbildes [[Storsirkel|storsirkler]] på en [[sfære|kuleflate]] som rette linjer i planet.]]

'''Gnomonisk projeksjon''' er en [[sentralperspektiv|sentralprojeksjon]] av en [[sfære|kuleflate]] fra kulens sentrum på et [[plan (matematikk)|plan]]. Den blir benyttet i [[kartprojeksjon]]er der planet [[tangent (matematikk)|tangerer]] kulen. Avbildninen har den spesielle egenskap at alle [[Storsirkel|storsirkler]] vil bli avbildet som rette linjer i planet. Da disse er [[geodetisk kurve|geodetiske kurver]] på kuleflaten, vil en rett linje i planet tilsvare den korteste avstanden mellom to punkt på kuleflaten.

Forvrenging av areal, avstand og retning øker med avstanden fra tangentpunktet som utgjør sentrum av projeksjonen. Vinkler mellom linjer vil også forandres  slik at avbildningen ikke er [[konform avbildning|konform]]. Mindre enn halvparten av en sfære kan bli kartlagt ved en slik gnomonisk projeksjon. Når man betrakter stjernehimmelen, vil den opptre på denne måten med øyet som projeksjonssentrum.

Den gnomoniske projeksjonen benyttes vanligvis i dag ved fremstilling av [[kart]]. Spesielt innen [[seismikk]] og [[radio|radioteknologi]] er de praktiske da både [[Seismisk bølge|seismiske bølger]] og [[radiobølge]]r følger storsirkler på jordoverflaten og vil bre seg langs rette linjer på slike kart. Under flyreiser på den nordlige halvkulen mellom Europa og Nord-Amerika vises ofte gnomiske kart hvor flyruten er en rett linje over [[Atlanterhavet]].

==Historie==
[[File:MeridianaCollaMicheri1.jpg|thumb|240px|Gammelt [[solur]] i Italia med angivelse av forskjellige [[timevinkel|timevinkler]] i horisontalt plan.]]
Den gnomonske projeksjonen kan føres helt tilbake til [[gresk astronomi]] og konstruksjon av [[solur]] i [[Babylon]] og det gamle [[Egypt]]. Disse inneholdt en [[gnomon]] som skapte en skygge som forandret seg med [[Solen]]s gang over [[himmelhvelving]]en. [[Tales fra Milet]] og hans samtidige [[Anaximander]] undersøkte nærmere skyggen som dermed ble dannet. Den kan betraktes som en avbildning av halve himmelkulen på et plan hvor projeksjonspunktet tilsvarer gnomonen. Da Solen er så langt borte, kan dette betraktes å være i [[jorden|Jordklodens]] sentrum.<ref name = Tales>  A. Laks et  G.W. Most, ''Les débuts de la philosophie'', p.185, Fayard, Paris (2016). ISBN 978-2-213-63753-2.</ref>

På 1800-tallet ble mange nye [[kartprojeksjon]]er tatt i bruk. Blandt disse var også [[sentralperspektiv|sentralprojeksjoner]] med sentrum i [[Jorden]]s midte. Matematisk hadde de dermed samme form som for solurene og ble derfor omtalt som gnomiske projeksjoner.<ref name = Snyder> J.P. Snyder, [https://archive.org/details/Snyder1987MapProjectionsAWorkingManual/page/n177/mode/2up ''Map Projections - A Working Manual''], U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, Washington D.C. (1987). Archive.org. </ref>

==Noen egenskaper==
[[Fil:Projection azimutale gnomonique.jpg|left|thumb|200px|Gnomisk projeksjon av områder på den sydlige halvkule.]]

Når en [[sfære|kuleflate]] avbildes på et [[tangent (matematikk)#Tangentplan|tangentplan]] ved en en projeksjon fra kulens sentrum, vil området på kuleflaten som er nærmest tangeringspunkt, ble avbildet med minst forvrengning. [[Storsirkel|Storsirkler]] eller deler ev disse gir rette linjer uansett deres beliggenhet i forhold til tangeringspunktet. Hver storsirkel gjennom tangeringspunktet avbildes som en rett linje gjennom dette punktet på kartet.

Hvis man for eksempel vil lage et kart over [[Arktis]] med sentrum i [[nordpolen]], vil kartplanet tangere jordkloden i dette punktet. De forskjellige [[meridian]]ene med konstant [[lengdegrad]] vil da opptre som rette linjer som stråler ut fra dette punktet. Sirkler med konstant [[breddegrad]] vil bli avbildet som sirkler om nordpolen som sentrum.

Et punkt på den nordlige halvkule med breddegrad ''&beta;'' har en avstand {{nowrap|''d'' {{=}} ''R&theta;''}} fra nordpolen der ''R'' er Jordens radius og {{nowrap|''&theta;'' {{=}}  90&deg; - ''&beta;''}}. På kartet i denne projeksjonen  vil det ligge på en sirkel med radius {{nowrap|''r'' {{=}} ''R''&thinsp;tan''&theta;''}} eller 

: <math> r(d) = R \tan (d/R) </math>

Punkter langs [[ekvator]] blir derfor liggende på en sirkel med uendelig stor radius. Et punkt med geografisk lengde ''&lambda;'' vil nå få de [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatene]] {{nowrap|''x'' {{=}} ''R''&thinsp;tan''&theta;''&sdot;sin''&lambda;''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} - ''R''&thinsp;tan''&theta;''&sdot;cos''&lambda;''}} på kartet.

===Gnomoniske kart===
[[Fil:Usgs_map_gnomic.PNG|right|frame|Eksempler på gnomoniske kartprojeksjoner]]

Hvis tangeringspunket til kartet ikke ligger ved en av polene, vil sammenhengen mellom de geografiske koordinatene (''&beta;'',''&lambda;'') og kartkoordinatene (''x,y'') bli mer komsplisert. Men da både meridianer og ekvator som er storsirkler, vil disse opptre som rette linjer.

Generelt kan man si at hvis tangentpunktet ikke er på en pol eller ekvator, så vil meridianene være radielle rette linjer fra polen, men ikke være like langt fra hverandre. Ekvator er også en rett linje som da er vinkelrett med bare én meridian. Dette viser at den gnomiske projeksjonen ikke er [[konform avbildning|konform]].

I det spesille tilfellet at tangentpunktet er på ekvator, så er meridianene parallelle med hverandre. Ekvator er også en rett linje som nå står vinkelrett på alle meridianene.

==Differensiell geometri==

Ved fremstilling av [[kart]] tenkes Jordens overflate som en glatt [[sfære]]. Dette er en [[krumning|krum]] [[flate]] som er umulig å avbilde i sin helhet på et plan. Den har en [[sfærisk geometri]]. Men for tilstrekkelig små områder lar det seg gjøre, noe som tilsvarer at man da tilnærmet kan beskrive dette området ved [[euklidsk geometri]].<ref name = Kreyszig> E. Kreyszig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.</ref>

Avbildning av større områder vil nødvendigvis gi forvrengninger av relative avstander, vinkler og areal. Disse kan beskrives matematisk ved forandringen til den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] som avbildningen medfører. Ved bruk av vanlige [[kulekoordinater]] (''&theta;'',''&phi;'') på sfæren, er denne tensoren ekvivalent med det kvadrerte [[Metrisk tensor#Riemannske rom|linjeelementet]]

: <math> ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) </math>

[[Fil:Arctic_Ocean.png|250px|right|thumb|Kart over [[Arktis|arktiske]] områder i gnomonisk projeksjon.]]

Ved en gnomisk projeksjon på et plan som tangerer sfæren i nordpolen (''&theta;'' = 0,''&phi;'' = 0), vil et vilkårlig punkt på den nordlige halvkule få de [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatene]] {{nowrap|''x'' {{=}} ''r''&thinsp;cos''&phi;''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''r''&thinsp;sin''&phi;''}} hvor igjen det er naturlig å innføre {{nowrap|''r'' {{=}} ''R''&thinsp;tan''&theta;''}}. Derfor får man at

: <math> \sin^2\theta = {r^2\over R^2 + r^2} </math>

hvor <math> r^2 = x^2 + y^2 </math>  slik at <math> rdr = xdx + ydy </math>. [[Derivasjon]] av uttrykket for <math> \sin^2\theta</math> gir nå
 
: <math> r d\theta = {R\over  R^2 + r^2} (xdx + ydy) </math>

Nå er også <math> \tan\phi = y/x </math> som betyr at <math> r^2 d\phi = xdy - ydx.</math>  Uttrykt ved disse nye koordinatene blir dermed linjeelementet på sfæren

: <math>  ds^2 = {R^2\over (R^2 + r^2)^2}\left[(R^2 + y^2) dx^2  - 2xy\,dxdy +  (R^2 + x^2) dy^2\right] </math>

Ved å innføre den euklidske vektoren '''r''' = (''x,y'') kan det skrives på den litt mer kompakte formen

: <math> ds^2 = R^2\Big[{d\mathbf{r}^2\over R^2 + r^2} - {(\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r})^2\over (R^2 + r^2)^2}\Big] </math>

Dette er generelt forskjellig fra det euklidske linjeelementet <math> ds^2 = d\mathbf{r}^2 </math> i planet slik at dette er ingen [[konform avbildning]]. Men i det lille området rundt nordpolen hvor <math> r \ll R </math> er dette oppfylt slik at der er forvrengningene på kartet neglisjerbare.

Ved etableringen av [[Riemanns differensialgeometri]] for over 150 år siden benyttet [[Eugenio Beltrami]] dette linjeelementet til å finne metrikken for det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske planet]] ved å la ''R''<sup>&thinsp;2</sup> &rarr; - ''R''<sup>&thinsp;2</sup>. Dette negativt krummete plan kan derfor tenkes som en kuleflate med [[imaginært tall|imaginær]] radius og kan på denne måten beskrives med den resulterende [[hyperbolsk geometri#Beltrami-koordinater|Beltrami-Klein-metrikken]].

===Geodetiske linjer===
Den gnomiske projeksjonen tilsvarer en koordinattransformasjon hvor den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] til sfæren har fått formen

: <math> g_{\mu\nu} = {R^2\over R^2 + r^2}\Big[\delta_{\mu\nu} - {x_\mu x_\nu\over R^2 + r^2}\Big] </math>

der ''x<sub>&mu;</sub>'' er komponentene til vektoren '''r''' = (''x,y''). De kontravariante komponentene ''g<sup>&mu;&nu;</sup>'' av tensoren finnes fra den inverse matrisen bestående av de kovariante komponentene ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' og er

: <math> g^{\mu\nu} = \Big(1 + {r^2\over R^2}\Big)\Big[\delta^{\mu\nu} + {x^\mu x^\nu\over R^2}\Big] </math>

De kontravariante komponentene ''x<sup>&mu;</sup>'' er de samme som de kovarante ''x<sub>&mu;</sub>'' da metrikken på kartet er euklidsk og gitt ved [[Kronecker-delta]]et ''&delta;<sub>&mu;&nu;</sub>''. 

Geodetisk linjer på kulen kan nå finnes fra den [[Geodetisk kurve#Geodetisk ligning|geodetiske ligningen]] i denne projiserte metrikken. Den inneholder [[Geodetisk kurve#Geodetisk ligning|Christoffel-symbolene]] som nå kan beregnes fra den metriske tensoren. De kan sammenfattes i formelen

: <math> \Gamma^\lambda_{\;\mu\nu} = {-1\over R^2 + r^2}\Big(\delta^\lambda_\mu x_\nu + \delta^\lambda_\nu x_\mu \Big) </math>

Men det er akkurat Christoffel-symbol med denne formen som resulterer i at de geodetiske kurvene er rette linjer. Det viser at den differensielle geometrien dermed bekrefter at de tilsvarer storsirkler på sfæren. Av samme grunn vil derfor også de geodetiske kurvene for det hyperbolske planet være rette linjer i Beltrami-Klein-metrikken.<ref name = Kreyszig/>

== Referanser ==
<references />

==Litteratur==
* J.P. Snyder, [https://books.google.de/books?id=0UzjTJ4w9yEC&pg=PA80&lpg=PA80&dq=central+stereographic+projection+lagrange&source=bl&ots=ZbiTNuACy5&sig=ws1jUGKiYkIkOF9rdh-W_nDnXcQ&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwii8eH0xejTAhXHAsAKHY0pDkk4ChDoAQg5MAQ#v=onepage&q=central%20stereographic%20projection%20lagrange&f=false ''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections''], University of Chicago Press, Chicago (19939. ISBN 0-226-76747-7.

== Eksterne lenker ==
* E. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html Gnomonic Projection], Wolfram Mathworld
* [http://members.shaw.ca/quadibloc/maps/maz0201.htm The Gnomonic Projection]
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Kartprojeksjoner]]
[[Kategori:Navigasjon]]