Redigerer Geometri

{{Geometri}}
'''Geometri''' ([[gresk]] ''γεωμετρία''; geo = jord, metria = mål, måling) oppsto som kunnskapsfeltet som tar for seg figurer og forhold i plan og [[Rom (matematikk)|rom]]. Klassisk geometri tok blant annet for seg konstruksjoner som kunne utføres med passer og linjal. Moderne geometri består av undergrener som [[algebraisk geometri]], [[algebraisk topologi]] og [[differensialgeometri]].  

Geometri oppsto i en rekke tidlige kulturer uavhengig av hverandre som en samling av praktisk kunnskap om [[lengde]], [[areal]] og [[volum]]. I det sjette århundret f.Kr. gjorde [[Tales fra Milet]] geometri til en matematisk vitenskap. I det tredje århundret f.Kr. ble geometrien plassert inn i en [[Aksiom|aksiomatisk form]] av [[Euklid]], og den [[Euklidsk geometri|euklidske geometrien]] satte en standard som holdt stand i mange århundrer.<ref>Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). "''[http://books.google.com/books?id=oLXgFdfKp78C&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false Fractal geometry in digital imaging]''". [[Academic Press]]. p.1. ISBN 0-12-703970-8</ref> [[Arkimedes]] utviklet geniale teknikker for beregning av arealer og volum, på mange måter forutså han den moderne [[Matematisk analyse|integralregning]]en. [[Astronomi]]en, særlig kartlegging posisjonene til stjerner og planeter på himmelhvelvingen og beskrivelse av forholdet mellom himmellegemenes bevegelser, fungerte som en viktig kilde til geometriske problemer i løpet av neste halvannet årtusen. Både geometri og astronomi ble vurdert i den klassiske verden til å være en del av [[quadrivium]], en undergruppe av de syv [[De frie kunstene|frie kunstene]] som ble sett på som essensielt for en fri statsborger å mestre.

Innføringen av [[Koordinatsystem|koordinater]] av [[René Descartes]] og den samtidige utviklingen av [[algebra]] markerte en ny fase for geometrien siden geometriske figurer, for eksempel [[Kurve|plankurve]]r, nå kunne bli representert [[analytisk geometri|analytisk]] med funksjoner og ligninger. Dette spilte en sentral rolle i fremveksten av [[infinitesimalregning]] i det 17. århundret. Videre viste teorien om [[Perspektiv (kunst)|perspektiv]] at det er mer ved geometrien enn bare tallenes metriske egenskaper: perspektiv er opphavet til [[projektiv geometri]]. Geometrien ble ytterligere beriket av studiet av den indre strukturen til geometriske objekter som oppsto med [[Leonhard Euler|Euler]] og [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] og førte til etableringen av [[topologi]] og differensialgeometri.

I Euklids tid var det ingen klare skiller mellom fysisk rom og geometriske rom. Etter at man i det 19. århundret oppdaget [[ikke-euklidsk geometri]] har begrepet [[Rom (matematikk)|rom]] gjennomgått en radikal endring. Spørsmålet som nå oppsto var hvilket geometrisk rom som passet best til det fysiske rommet. Med fremveksten av den formelle matematikken i det 20. århundret, mistet også 'rom' (og 'punkt', 'linje', 'plan') sitt intuitive innhold. I dag er vi derfor nødt til å skille mellom fysisk rom, geometriske rom og abstrakte rom.

Moderne geometri vurderer [[mangfoldighet]], områder som er betydelig mer abstrakte enn det kjente [[Euklidsk rom|euklidske rom]], som de bare omtrentlig ligner på små skalaer. Disse rommene kan være utstyrt med ekstra struktur, slik at man snakker om lengde. Moderne geometri har flere sterke bånd med [[fysikk]], eksemplifisert ved båndene mellom [[pseudo-riemannsk]] geometri og [[generell relativitet]]. En av de yngste fysiske teorier, [[strengteori]], er også svært geometrisk i essensen.

Selv om geometriens visuelle natur i utgangspunktet gjør den mer tilgjengelig enn andre deler av matematikken, som algebra eller [[tallteori]], er det geometriske språket også brukt i sammenhenger fjernt fra dets tradisjonelle, euklidske opprinnelse, for eksempel i [[fraktal]]geometri og [[algebraisk geometri]].

== Oversikt ==
[[Fil:Chinese pythagoras.jpg|thumb|300px|right|Visuelt [[Matematisk bevis|bevis]] på Pytagoras’ læresetning for (3, 4, 5) [[triangel]] i [[Soluret og himmelens sirkler|Chou Pei Suan Ching]] 500–200&nbsp;BC.]]
Den dokumenterte delen av utviklingen av geometri strekker seg over mer enn to [[Millennium|årtusener]]. Det er neppe overraskende at oppfatninger av hva som konstituerer geometri har utviklet seg gjennom tidene.

=== Praktisk geometri ===
Geometri oppsto som en praktisk vitenskap opptatt av kartlegging, målinger, areal og volum. Blant de kjente prestasjonene finner man formler for lengder, arealer og volum, for eksempel [[Pytagoras’ læresetning]], [[omkrets]] og areal av en [[sirkel]], arealet av en [[trekant]], volum av en [[sylinder]], [[sfære]], og en [[pyramide]]. En metode for å beregne visse utilgjengelige avstander eller høyder basert på [[formlikhet]] av geometriske figurer er knyttet til Tales. Utvikling av [[astronomi]] førte til utviklingen av [[trigonometri]] og [[sfærisk trigonometri]], sammen med de ledsagende beregningsorienterte teknikkene.

=== Aksiomatisk geometri ===
[[Fil:Parallel postulate en.svg|thumb|right|En illustrasjon av Euklids [[Parallellaksiomet|parallelle postulat]].]]
{{utdypende|Euklidsk geometri}}
[[Euklid]] hadde en mer abstrakt tilnærming i sitt verk ''[[Euklids Elementer|Elementer]]'', en av de mest innflytelsesrike bøker som noensinne er skrevet. Euklid innførte visse [[aksiom]]er, eller [[postulat]]er, som uttrykker primære eller selvinnlysende egenskaper hos punkter, linjer og plan. Han fortsatte å strengt utlede andre egenskaper ved matematisk resonnement. Det mest karakteristiske trekket ved Euklids tilnærming til geometri var strengheten, og den har etterhvert blitt kjent som ''aksiomatisk'' eller ''[[syntetisk geometri|syntetisk]]'' geometri. Ved starten av det 19. århundre førte oppdagelsen av [[ikke-euklidsk geometri]] av [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Nikolaj Lobatsjevskij|Lobatsjevskij]], [[Janos Bolyai|Bolyai]] og andre til en nyfunnet interesse, og i det 20. århundre brukte [[David Hilbert]] aksiomatiske resonnementer i et forsøk på å legge et moderne grunnlag for geometri.

=== Geometriske konstruksjoner ===
{{utdypende|Konstruksjon (geometri)}}
Klassisk geometri viet spesiell oppmerksomhet til konstruksjon av geometriske objekter som hadde blitt beskrevet på en annen måte. Tradisjonelt var de eneste instrumentene tillatt i geometriske konstruksjoner [[passer]] og [[linjal]]. Hver konstruksjon måtte også utføres på et endelig antall steg. Imidlertid viste noen problemer seg å være vanskelige eller umulige å løse bare med disse midlene, og smarte konstruksjoner som brukte [[Parabel|parabler]] og andre kurver, samt mekaniske innretninger, ble funnet.

=== Tall i geometrien ===
[[Fil:Square root of 2 triangle.svg|thumb|right|200px|Pytagoreerne oppdaget at sidene i en trekant kan ha inkommensurable lengder.]]
I [[antikkens Hellas]] regnet [[pytagoreerne]] vurderte rolle i geometri. Imidlertid gjorde oppdagelsen av [[Kommensurablitet (matematikk)|inkommensurable]] lengder som motsa deres filosofiske synspunkter, gjorde at de forlot abstrakte tall til fordel for konkrete geometriske mengder, for eksempel lengde og areal av figurer. Tallene ble gjeninnført i geometrien i form av [[Koordinatsystem|koordinater]] av [[René Descartes|Descartes]], som innså at studiet av geometriske figurer kan forenkles ved deres algebraisk representasjon. Det[[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatsystem]] er også oppkalt etter ham. [[Analytisk geometri]] benytter algebrametoder til å besvare geometriske spørsmål, typisk ved å knytte sammen geometriske [[kurve]]r og algebraiske [[ligning]]er. Disse ideene spilte en nøkkelrolle i utviklingen av [[Matematisk analyse|kalkulus]] i det 17. århundre og førte til oppdagelsen av mange nye egenskaper hos [[kurve]]r. Moderne [[algebraisk geometri]] møter lignende spørsmål på et langt mer abstrakt nivå.

== Geometriens historie ==
[[Fil:Woman teaching geometry.jpg|thumb|230px|''Kvinne som underviser i geometri''. Illustrasjon fra en utgave av Euklids ''Elementer'' fra middelalderen (ca. 1310)]]
Euklids ''Elementer'' (fra omkring 300 f.Kr.) er en av de viktigste tidlige tekstene om geometri. Her blir geometrien presentert i en ideell [[aksiom]]atisk form, som senere har blitt kjent som euklidsk geometri. Dette var sannsynligvis ikke den første læreboken i geometri, men det er den som har blitt bevart og den blir ansett som den viktigste. Helt fram til vår tid har ''Elementer'' blitt brukt som lærebok i geometri ved universiteter og høgskoler over hele verden. 

Tidlig på 1600-tallet skjedde to viktige ting i utviklingen av geometrien. Den første og viktigste var utviklingen av [[analytisk geometri]], eller geometri med [[koordinat]]er og [[ligning (matematikk)|ligninger]]. Denne utviklingen skjedde hovedsakelig med utgangspunkt i oppdagelser gjort av [[René Descartes]] og [[Pierre de Fermat]]. Denne utviklingen var en nødvendig forutsetning for den senere utviklingen av [[matematisk analyse]] og moderne [[fysikk]]. Den andre viktige utviklingen av geometri i denne perioden var i forbindelse med det systematiske studiet av [[projektiv geometri]], ledet av [[Girard Desargues]]. I den projektive geometrien studerer en hvordan punkter er plassert i forhold til hverandre, uten å måle avstander mellom punktene. 
[[Fil:Geometry Lessons.jpg|thumb|Geometriundervisning i det 20. århundre]]
På 1800-tallet skjedde to nye oppdagelser innenfor geometrien, som stadig har stor betydning. Det dreier seg om oppdagelsen av ikke-euklidsk geometri, og formuleringen av [[symmetri]] som et hovedfokus i [[Felix Klein]]s Erlangen-program. To av de mest kjente navnene på denne tiden var [[Bernhard Riemann]], som særlig trakk inn verktøy fra matematisk analyse og introduserte Riemann-flater, og [[Henri Poincaré]], grunnleggeren av algebraisk [[topologi]] og den geometriske teorien om dynamiske systemer. 

Som en konsekvens av disse utviklingene i geometrien, fikk begrepet ''rom'' en mye rikere betydning. Videre fikk disse nye teoriene betydning for utviklingen av nye matematiske teorier innenfor så forskjellige områder som [[kompleks analyse]] og klassisk [[mekanikk]].

==Geometriske former==

Noen geometriske objekter er:
* [[Kvadrat]] – består av fire hjørner på 90 grader og fire like lange sider. Areal = sidelengde². Diagonalene halverer hverandre. 
* [[Rektangel]] – består av fire hjørner på 90 grader. Areal = lengde × høyde. Diagonalene halverer hverandre
* [[Sirkel]] – en uendelig mengde punkter med samme avstand fra et senterpunkt. Areal = [[pi]] × radius².


==Matematiske animasjoner==

[[Fil:Cube Animation.gif|Kube]] Kube
[[Fil:Oktaeder-Animation.gif|Oktaeder]] Oktaeder
[[Fil:Dodekaeder-Animation.gif|Dodekaeder]] Dodekaeder
[[Fil:Ikosaeder-Animation.gif|Ikosaeder]] Ikosaeder
[[Fil:Kuboctaeder-Animation.gif|Kuboktaeder]] Kuboktaeder


[[Fil:HexagonConstructionAni.gif|Konstruksjon av et heksagon]] Konstruksjon av et [[heksagon]]

== Se også ==
* [[Geometriske former|Liste over geometriske former]]

== Referanser ==
<references/>

{{Matematikk}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Geometri| ]]
[[Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha]]