Redigerer Flattrykning

[[Fil:An ellipse with auxiliary circle.svg|thumb|right|280px |En sirkel med [[radius]] ''a'' kan ta formen av en [[ellipse]] med mindre halvakse ''b'' når den trykkes sammen i denne retningen.]] 
'''Flattrykning''' eller '''elliptisitet''' er et mål på hvor flattrykt en [[sirkel]] er langs en [[diameter]] slik at den tar formen til en [[ellipse]]. Tilsvarende definisjon gjelder for en flattrykt [[kule (geometri)|kule]] slik at den tar formen av en [[rotasjonsellipsoide]] med en kort akse og to like lange akser. En [[planet]] som er tilnærmet sfærisk i formen, vil bule utover langs [[ekvator]] på grunn av [[sentrifugalkraft]]en skapt av dens rotasjon. 

For en [[ellipse]] med store halvakse ''a'' og mindre halvakse ''b'' defineres flattrykningen som 

: <math> f = {a - b\over a} = 1 - {b\over a} </math>

Den er forskjellig fra ellipsens [[eksentrisitet]] ''e'' som er gitt ved 

: <math> e^2 = 1 -  {b^2\over a^2} </math>

Begge størrelsene går mot null når flattrykningen er liten. Den nøyaktige sammenhengen er 

: <math> e^2 = 2f - f^2 </math>

Dette gjelder for planeter som roterer om den korteste aksen. For de er ''a'' den '''ekvatoriale radius''', mens ''b'' er den '''polare radius'''. [[Jorden]] har en flattrykning som i versjon ''WGS 84'' av [[World Geodetic System]] er {{nowrap|''f'' {{=}} 1/298}}, mens den er enda mindre for [[Månen]] og [[Solen]]. For [[Jupiter]] er den ''f'' = 1/16, mens den er ''f'' = 1/10 for [[Saturn]].

Hvis man antar at massetettheten til planeten er konstant, kan effekten av rotasjonen nøyaktig beregnes. Hvis den har [[vinkelhastighet]]en ''&omega;'' = 2''&pi;''&thinsp;/''T'' hvor ''T'' er omløpstiden, vil den resultere i en [[Tyngdeakselerasjon#Jordens form|flattrykning]]

: <math> f = {5\omega^2 a^3\over 4 GM} </math>

hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]] og ''M'' er planetens masse. Selv om antagelsen om konstant massetetthet gir et godt estimat for denne størrelsen, er fordelingen av masse i roterende planeter mer komplisert.

==Fremstilling i polarkoordinater==
[[Fil:Polar to cartesian.svg|left|thumb|280px|Polarkoordinater er gitt ved radius ''r'' og vinkel ''&phi;''.]]
Ved bruk av [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] (''x,y'') er ligningen for ellipsen

: <math> {x^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1 </math>

For planeter er det vanligvis mer hensiktsmessig å benytte [[kulekoordinater|sfæriske koordinater]]. Men på grunn av symmetrien om rotasjonsaksen, reduserer disse seg til [[polarkoordinatsystem|polare koordinater]] (''r, &phi;''). Hvis vinkelen ''&phi;'' velges å angi [[breddegrad]], er da

: <math> x = r\cos\phi \; \; \;  \text{og}  \; \; \;  y = r\sin\phi </math>

Settes dette inn i ellipseligningen, kan resultatet skrives som

: <math> r = {a\over\sqrt{ 1 + k\sin^2\phi}} </math>

hvor nå flattrykningen opptrer i parameteren

: <math> k = {2f - f^2\over (1 - f)^2} </math>

Siden flattrykningen for planeter ''f'' << 1, vil man da med god nøyaktighet ha ''k'' = 2''f''. Ligningen for den sammentrykte ellipsen forenkles dermed til

: <math> r = a (1 - f\sin^2\phi) </math>

Den polare radius for ''&phi;'' = 90<sup>&deg;</sup> kommer ut som ''a''(1 - ''f'') = ''b'' som den skal. Planeten har samme form som en [[sfæroide|oblat sfæroide]] eller flattrykt rotasjonsellipsoide.

==Litteratur==
* D. Turcotte and G. Schubert, ''Geodynamics'', Cambridge University Press, England (2002). ISBN 978-0-521-18623-0.

{{Portal|Astronomi}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Himmelmekanikk]]
[[Kategori:Geodesi]]
[[Kategori:Geofysikk]]
[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Artikler i astronomiprosjektet]]
[[Kategori:Planetologi]]