Redigerer Firkant

[[Fil:Six Quadrilaterals.svg|thumb|Eksempler på firkanter]]
En '''firkant''' er et [[polygon]] med fire sidekanter. Den har derfor også fire hjørner som hver utgjør en viss [[vinkel]]. I [[matematikk]]en brukes også [[synonym]]ene ''kvadrangel'' og ''tetragon'', men de er mindre vanlige.<ref name=BB1/> 

Sidekantene møtes i de fire ''hjørnene''. Et [[linjestykke]] mellom to hjørner som ikke er en sidekant kalles en [[diagonal]]. I en såkalt ''enkel'' firkant vil ingen av sidekantene krysse hverandre, og summen av de innvendige vinklene vil være 360°. [[Omkrets]]en av firkanten er lik summen av de fire ''sidelengdene''.  

Firkanter kan videre klassifiseres i en rekke undergrupper, som [[parallellogram]], [[rektangel]], [[kvadrat]] og [[rombe]].

Navnet kvadrangel har opphav i [[latin]], som en sammensetning av «quadri» = fire og «angulus» = vinkel. Den [[gresk]]e formen «tetragon» betyr fire vinkler.<ref name=SS1/>  

== Klassifikasjon av firkanter ==
[[Fil:Euler diagram of quadrilateral types.svg|thumb|Et [[Euler-diagram]] over ulike typer firkanter]]
[[Fil:Concave quadrilateral.png|150px|thumb|Konkav firkant]]
En firkant er ''syklisk'' dersom alle hjørnene ligger på en og samme [[sirkel]]bue. Firkanten er ''likesidet'' dersom alle sidene er like lange. I en ''ortodiagonal'' firkant er diagonalene [[ortogonalitet|ortogonale]].  

En firkant er [[konveks mengde|konveks]] dersom en vilkårlig rett linje skjærer sidekantene i maksimum to punkt. En enkel firkant som ikke er konveks sies å være ''konkav''.   

Firkanter kan klassifiseres i en rekke undergrupper. Når man i dagligtale bruker en betegnelse på en gruppe høyere opp i hiearkiet vil det ofte være underforstått at man mener en figur som ikke også tilhører en undergruppe. Det vil si at selv om et parallellogram også er et trapes så vil man med «trapes» oftest tenke på trapeser som ikke er parallogrammer. Tilsvarende er det slik at selv om kvadratet er et rektangel, vil man med «rektangel» ofte mene rektangler hvor alle sider ikke er like lange, dvs. som ikke er kvadrater.

=== Trapes ===
[[Fil:Geometrie trapeze.png|200px|thumb|Et trapes]]
En viktig regelmessig form på en firkant er [[Trapes (geometri)|trapeset]]. I et trapes er to av sidene [[parallell (geometri)|parallelle]], og de to andre sidene skal ikke krysse hverandre. 

Arealet ''A'' av et trapes kan uttrykkes som et produkt av midlere lengde av parallelle sidekanter multiplisert med [[høyde]]n mellom de parallelle linjene:

:<math>A=h \frac{s_1 + s_2}{2}. </math>

Her er ''s''<sub>1</sub> og ''s''<sub>2</sub> lengdene av de to parallelle sidekantene. Høyden ''h'' er avstanden mellom de to parallelle sidekantene.   

=== Parallellogram ===
[[Fil:Geometri parallellogram.png|200px|thumb|Et parallellogram]]
En undergruppe under trapeset er [[parallellogram]]met. Parallellogrammet er altså også et trapes. Et parallellogram har følgende egenskaper:

* Begge de to parene av motstående sider er parallelle
* Begge de to parene av motstående sider er like lange
* Begge de to parene av motstående vinkler er like store
* Begge diagonalene mellom de motstående hjørnene krysser hverandre på midten.

Alle disse egenskapene henger sammen og det er nok å påvise én av disse.

[[Parallellogramloven]] gir en sammenheng mellom lengden av sidene og diagonalene i et parallellogram.

=== Rombe ===
En rombe er en likesidet firkant. Enhver rombe er også et parallellogram. Diagonalene i en rombe er ortogonale, slik at romben er ortodiagonal. Skjæringspunktet mellom diagonalene vil dele hver av diagonalene i to.  

=== Rektangel ===
[[Fil:Geometri rektangel.png|200px|thumb|Et rektangel]]
Et rektangel er et parallellogram der alle vinklene er 90°.

For et rektangelet forenkles arealformelen for trapeset seg til formen

:<math>A=a b, </math>

hvor ''a'' og ''b'' er lengdene av to sider som står vinkelrett på hverandre.

=== Kvadrat ===
Et [[kvadrat]] er både en rombe og rektangel, dvs. en figur der alle sidene er like lange og vinklene er 90°. Et kvadrat er altså også en rombe, et rektangel, et parallellogram og et trapes.

Et kvadrat er et ''regulært'' polygon, det vil si både syklisk og likesidet.  

[[Fil:Quadrilateral kite.png|150px|thumb|En drake]]
En ''enhetsfirkant'' eller ''enhetskvadrat'' er et kvadrat med sidelengder lik 1. Som oftest er enhetskvadratet plassert med det ene hjørnet i [[origo]] og sidekanter orientert langs koordinataksene.

=== Drake ===
En ''drake'' er en enkel firkant der to og to sider har samme lengde og der to sider med samme lengde har et felles hjørne.

==Syklisk firkant==
[[Fil:Conciclics.png|thumb|right|150px|Hjørnene i en syklisk firkant ligger på en [[sirkel]].]]

I en syklisk firkant ligger de fire hjørnene på en [[sirkel]]. Det gir denne firkanten spesielle egenskaper. Hver av dens sider er en [[korde]] i sirkelen. Summen av to motstående vinkler er lik med summen av to [[rett vinkel|rette vinkler]]. Det følger fra teoremet om [[periferivinkel|periferivinkler]]. I figuren er derfor {{nowrap|''A'' + ''C'' {{=}} ''B'' + ''D'' {{=}} 180°}}.

Firkantens areal er gitt ved [[Brahmaguptas formel]] som uttrykker det direkte ved lengdene til de fire sidene, Hvis man kaller disse lengdene for ''a'' = ''AB'', ''b'' = ''BC'', ''c'' = ''CD'' og ''d'' = ''DA'', så er arealet til firkanten

: <math> A = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} </math>

hvor ''s'' = (''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d'')/2 er halve omkretsen til firkanten.

Når en av sidene blir forsvinnende liten, blir firkanten en [[trekant]]. I denne grensen går formelen for arealet over til den tilsvarende [[Herons formel]] for arealet til en trekant.

En syklisk firkant er [[Innskrevet (geometri)|innskrevet]] i en [[sirkel]]. På lignende måte kan en sirkel være innskrevet i en firkant slik at alle dens sider er tangenter til sirkelen. Den sies da å være en ''tangeringsfirkant''. 

===Ptolemaios' sats===

For en syklisk firkant gjelder Ptolemaios' sats som sin at produktet av dens to diagonaler er lik summen av produktene av motstående sider. Med henvisning til figuren kan den skrives som

: <math> AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA </math>

Satsen kan bevises på forskjellige måter ved å benytte setningen om [[periferivinkel|periferivinkler]] eller ved [[Sirkelinversjon#Eksempel på bruk|sirkelinversjon]]. Den ble benyttet av [[Klaudios Ptolemaios]] i hans utarbeidelse av trigonometriske tabeller for bruk i sitt astronomiske verk ''[[Almagest]]''. I dag benyttes den i form av en [[trigonometrisk identitet]] som oppstår ved addisjon av vinkler. [[Sinus]] til en sum eller differens av to vinkler kommer direkte fra denne setningen når en diagonal i firkanten faller sammen med en diameter i sirkelen.

== Areal av en konveks firkant ==
Arealet av en vilkårlig konveks firkant kan finnes ved å dele firkanten opp i to trekanter etter en av diagonalene, og så å regne ut arealet av de to trekantene hver for seg.

For en konveks firkant ''ABCD'' kan arealet også beregnes ved hjelp av [[kryssprodukt]]et av to [[Vektor (matematikk)|vektorer]] definert langs diagonalene:

:<math>
\begin{alignat}{2}
A &= \tfrac{1}{2} |\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}| \\
&= \tfrac{1}{2} |(x_C - x_A) (y_B - y_D) -  (x_B - x_D)(y_A - y_C)|.
\end{alignat}
</math>

==Se også==
* [[Varignons teorem]] 
* [[Fullstendig firkant]]

== Referanser ==

<references>

<ref name=BB1>
{{Kilde bok
| forfatter=E.J.Borowski, J.M.Borwein
| redaktør= 
| utgivelsesår=1989
| artikkel=
| tittel=Dictionary of mathematics
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Glasgow
| forlag= Collins
| side=480
| isbn= 0-00-434347-6
| id=
| kommentar=Quadrilateral 
| url= }}</ref>

<ref name=SS1>
{{Kilde bok
| forfatter= Steven Schwartzman
| redaktør= 
| utgivelsesår=1994
| artikkel=
| tittel=The words of mathematics.  An etymological dictionary of mathematical terms used in English
| bind=
| utgave=
| utgivelsessted= Washington, DC
| forlag= The Mathematical Association of America
| side=178
| isbn= 0-88385-511-9
| id=
| kommentar= 
| url= }}
</ref>

</references>


{{Polygoner}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Firkanter]]
[[Kategori:4 (tall)]]