Redigerer Feynmans veiintegral

[[Fil: Richard Feynman 1988.png|thumb|200px|[[Richard Feynman]] i sitt kontor ved [[Caltech]] på 1970-tallet.]]

'''Feynmans veiintegral''' betegner en tredje formulering av moderne [[kvantemekanikk]] som på flere måter er mer generell enn [[Schrödinger-ligning|bølgemekanikken]] til [[Erwin Schrödinger]] og [[matrisemekanikk]]en til [[Werner Heisenberg]]. Den ble utviklet av [[Richard Feynman]] på begynnelsen av [[andre verdenskrig]] da han var student og var viktig for hans bidrag til utviklingen av [[kvanteelektrodynamikk]] i årene som fulgte dens avslutning. 

En første konsekvens av denne nye formuleringen ble bruk av [[Feynman-diagram]] ved beregninger i [[kvantefeltteori]]. Men det var først ved etableringen av [[standardmodellen]] for [[elementærpartikkel|elementærpartikkelfysikk]] på 1970-tallet at bruk av veiintegral i stor grad ble enerådende for praktiske anvendelser og teoretiske undersøkelser. En viktig grunn er at denne fremstillingen er automatisk i overensstemmelse med  [[Einsteins relativitetsteori]] i motsetning til de tidligere formuleringene til Heisenberg og Schrödinger.

Denne alternative beskrivelsen er basert på den fundamentale antagelsen at et kvantemekanisk system kan bevege seg fra én tilstand ''a&thinsp;'' til en annen tilstand ''b&thinsp;'' på mange forskjellige måter som hver er like sannsynlige. Hver slik tidsutvikling eller «historie» har en sannsynlighetsamplitude ''K&thinsp;'' som kun avhenger av virkningen ''S&thinsp;'' til systemet. Denne kan beregnes fra systemets [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjon]]. Angis én spesiell historie med en indeks ''n'', vil den da ha en amplitude

: <math>  K_n(b;a) = e^{iS_n(b;a)/\hbar} </math>

hvor ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Sannsynligheten er gitt ved dens kvadrerte [[Komplekst tall#absoluttverdi|absoluttverdi]]  og er derfor den samme for alle historier. Vanligvis vil et stort antall forskjellige historier være mulig. Den resulterende amplituden for alle mulige tidsutviklinger følger i så fall fra summen av alle disse delamplitudene,

: <math>  K(b;a) = \sum_n e^{iS_n(b;a)/\hbar} </math>

Denne formen til overgangsamplituden ligger til grunn for at Feynmans formulering ofte blir omtalt som en «sum av historier». Når den tilsvarende overgangssannsynligheten |''K''(''b;a'')|<sup>2</sup> regnes ut, vil den gi opphav til [[interferens]] mellom de forskjellige bidragene på samme måte som når lys går gjennom to eller flere spalter.

For én partikkel som beveger seg i det tredimensjonale rommet, er dens historie gitt ved en [[kurve]] '''x'''(''t&thinsp;'') som angir den veien partikkelen følger i sin tidsutvikling. Da disse veiene går kontinuerlig over i hverandre, må summen over alle mulige veier erstattes med et integral. Den blir dermed et '''veiintegral'''. For mer kompliserte system, kan de forskjellige historiene ikke betraktes som slike enkle veier. Likevel sies deres kvantemekaniske egenskaper  å være beskrevet ved tilsvarende integral over alle tenkelige veier.

==Bakgrunn==

Som [[doktorgrad]]student ved [[Princeton University]]  arbeidet Feynman sammen med sin veileder [[John Wheeler]] med en teori for [[Elektrodynamikk|klassisk elektrodynamikk]] som ikke skulle inneholde frie, [[Elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]]. Den hadde ingen anvendelig [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjon]] slik at den ikke kunne [[Kvantisering (fysikk)||kvantiseres]] ved bruk av en [[Hamilton-operator]] som [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]] og [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] hadde vist. Ved et nesten tilfeldig møte i 1941 med [[Herbert Jehle]] som hadde flyktet fra Europa, fikk Feynman vite om et tidligere arbeid av [[Paul Dirac]] hvor en kvantemekanisk overgangsamplitude kunne uttrykkes ved [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til systemet. Etter at han hadde lest denne artikkelen, forstod han hvordan amplituden til Dirac kunne generaliseres og danne utgangspunkt for en helt ny formulering av kvantemekanikken.<ref name = Schweber> S.S. Schweber, ''Feynman’s visualization of space-time processes'', Rev. Mod. Phys. '''58''' (2), 449-508 (1986). [http://rpdata.caltech.edu/courses/aph105c/2006/articles/Schweber1986.pdf PDF].</ref>

===Diracs amplitude===

Ved bruk av vanlig [[kvantemekanikk]] hadde Dirac i 1931 studert sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i et visst punkt ved tiden ''t<sub>a</sub>'', vil bli observert i et annet punkt ved et senere tidspunkt ''t<sub>b</sub>''. For enkelhets skyld kan man anta at den bare kan bevege seg i én dimensjon med koordinaten ''q''. Amplituden er da 

: <math> \langle q_b,t_b | q_a, t_a\rangle =  \langle q_b |e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}| q_a \rangle </math>

hvor <math> \hat{H} </math> er [[Hamilton-operator]]en til partikkelen. Hvis den har masse ''m&thinsp;'' og beveger seg med [[potensiell energi]] ''V''(''q''), er denne operatoren

: <math> \hat{H} = {\hat{p}^2\over 2m}  + V(\hat{q}) </math>

der det første leddet representerer den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] uttrykt ved impulsoperatoren <math> \hat{p}. </math> 

For vilkårlige tidspunkt  ''t<sub>b</sub>'' > ''t<sub>a</sub>'' kan denne overgangsamplituden ikke uten videre regnes ut for et generelt potensial. Mye av grunnen for dette er at de to termene i Hamilton-operatoren ikke kommuterer med hverandre. Men når tidsforskjellen {{nowrap|''&epsilon;'' {{=}} ''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;''}} blir svært liten, kan man benytte at

: <math> e^{\varepsilon\hat{A} + \varepsilon\hat{B}} = e^{\varepsilon\hat{A}}e^{\varepsilon\hat{B}} </math>

når man ser bort fra ledd som er av orden ''&epsilon;''<sup>2</sup> eller høyere.<ref name = Shankar>  R. Shankar, ''Principles of Quantum Mechanics'', Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.</ref>  Da har man

: <math> \langle q', t + \varepsilon| q, t \rangle = \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|q\rangle \, e^{-i\varepsilon V(q)/\hbar}  </math>

etter å ha benyttet at <math>\hat{q} |q\rangle = q|q\rangle .</math> Det gjenstående matriseelementet kan nå finnes ved å innsette et fullstendig sett med [[Kvantemekanikk#Impulsbasis|egentilstander for impulsoperatoren]],

: <math>\begin{align}  \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|q\rangle &= \int_{-\infty}^\infty\! {dp\over 2\pi\hbar} \langle q'| e^{-i\varepsilon{\hat{p}}^2/2m\hbar}|p\rangle\langle p|q \rangle \\ &= \int_{-\infty}^\infty\! {dp\over 2\pi\hbar}e^{-i\varepsilon p^2/2m\hbar} e^{i(q' - q)p/\hbar} \end{align} </math>

Selv om integrasjonen over den klassiske impulsen her involverer komplekse størrelser, kan den likevel utføres som et vanlig [[Gauss-integral]]. Resultatet kan skrives som

: <math>\begin{align} \langle q', t + \varepsilon| q, t \rangle &= A\, e^{im(q' - q)^2/2\hbar\varepsilon - i\varepsilon V(q)/\hbar} \\ &= A e^{i\varepsilon L(q,\dot{q})/\hbar} \end{align}</math>

der 

: <math> A = \sqrt{m\over 2\pi i\hbar\varepsilon} </math>

og 

: <math> L(q,\dot{q}) = {m\over 2}\dot{q}^2 - V(q) </math>

er [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen hvor dens hastighet er gitt ved den tidsderiverrte <math> \dot{q} = (q' - q)/\varepsilon </math> når ''&epsilon;&thinsp;'' går mot null. I eksponenten opptrer <math> \varepsilon L(q) </math>  som er virkningen for den korte bevegelsen mellom de to nærliggende tidspunktene. Det var denne sammenhengen som Feynman ble klar over da han leste Diracs arbeid.<ref name = Dirac> P..A.M. Dirac, ''The Lagrangian in Quantum Mechanics'', Phys. Zeitschrift der Sowjetunion '''3''' (1), 64 - 72 (1932). Finnes i antologien ved J. Schwinger, ''Quantum Electrodynamics'', Dover Publications, New York (1958).</ref>

==Definisjon==

Arbeidet til Dirac viste også hvordan overgangsamplituden kan beregnes når tidsforskjellen mellom de to ytterpunktene er endelig. Ved å dele den opp i ''N&thinsp;'' like store biter, hver med lengde ''&epsilon;'' &rarr; 0,  kan man benytte det funne resultatet  for hver bit. Innsettes fullstendig sett med egentilstander av posisjonsoperatoren <math> \hat{q}</math> ved hver slik mellomtid, tar denne amplituden dermed formen

: <math>\begin{align} & K(b;a) = \langle q_b,t_b | q_a, t_a\rangle \\ &=  \int\!dq_1\cdots \int\!dq_{N-1}\langle q_b |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_{N-1} \rangle\cdots \langle q_2 |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_1 \rangle \langle q_1 |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_a \rangle \end{align} </math>

hvor ''q<sub>N</sub>''  =   ''q<sub>b</sub>''. I grensen der ''&epsilon;'' &rarr; 0 og ''N'' &rarr; &infin; slik at {{nowrap|''N&epsilon;'' {{=}} ''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;''}} forblir endelig, kan nå dette skrives på den kompakte formen
[[Fil:Feynman paths.png|thumb|210px|Veiintegralet som forbinder ''A&thinsp;'' med  et senere punkt ''B'', inneholder veier som alltid beveger seg fremover I tiden.]]

: <math> K(q_b,t_b ; q_a,t_a) = \int\! Dq \, e^{iS[q]/\hbar} </math>

som er Feynmans veiintegral for overgangsamplituden. Eksponenten inneholder

: <math> S[q] = \sum_{k=1}^N \varepsilon L(q_k, q_{k-1}) = \int_{t_a}^{t_b} \! dt L(q,\dot{q}) </math>

når man benytter at ''q<sub>k</sub>'' = ''q''(''t<sub>k</sub>''). Dette er virkningen til partikkelen langs én vei ''q''(''t'') som forbinder de to ytterpunktene til bevegelsen.  Utledningen gir i dette tilfellet integrasjonsmålet 

: <math>  Dq = A^N dq_1 dq_2 \cdots dq_{N-1} </math>

i grensen der ''N&thinsp;'' blir veldig stor. Feynman så i integrasjonen over alle disse mellomliggende koordinatene en effektiv summasjon av alle veier som forbinder begynnelsesposisjonen ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' med sluttposisjonen ''q<sub>b</sub>''. Da sannsynlighetsamplituden for hver vei er proporsjonal med ''e''<sup>''iS''/''ħ''</sup>, vil de alle være like sannsynlige.<ref name = FH> R.P. Feynman and A.R. Hibbs, ''Quantum Mechanics and Path Integrals'', McGraw-Hill, New York (1965).</ref>

Klassiske system er karakteriserte ved å ha virkninger ''S&thinsp;'' som er mye større enn Plancks konstant. Hver delamplitude som inngår i veiintegralet, vil derfor variere svært raskt sammenlignet med amplitudene for nærliggende veier. Tilsammen virker de som ved destruktiv interferrens og gir et forsvinnende bidrag til veiintegralet. Kun de veier som har omtrent samme virkning, vil bidra konstruktivt og bestemmer tidsutviklingen  i den klassiske grensen {{nowrap|''ħ'' &rarr; 0}}. Som en direkte konsekvens av denne kvantemekaniske formuleringen finner man derfor [[Hamiltons virkningsprinsipp]] som styrer all bevegelse i [[klassisk mekanikk]].

===Ikke-relativistisk propagator===

Funksjonen ''K''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'';''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>'') er sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i punktet ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' ved tiden ''t<sub>a</sub>&thinsp;'', kan observeres i  ''q<sub>b</sub>&thinsp;'' ved et senere tidspunkt ''t<sub>b</sub>&thinsp;''. Dette er definisjonen av en [[propagator]] i kvantemekanikken. Mer generelt kan den benyttes til å beregne [[bølgefunksjon]]en ''&psi;''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'') for partikkelen ved et senere tidspunkt når den tidligere er gitt som ''&psi;''(''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>''). 
Det følger fra den formelle sammenhengen

: <math> \begin{align} \psi(q_b,t_b) &= \langle q_b|\psi, t_b) = \langle q_b| e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}|\psi, t_a \rangle  \\ &= \int\!dq_a \langle q_b| e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}|q_a\rangle\langle q_a| \psi, t_a \rangle \\ &=  \int\! dq_a K(q_b,t_b;q_a,t_a)\psi(q_a,t_a) \end{align} </math>

Dette integralet representerer den kontinuerlige summen over all veier mellom ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' og ''q<sub>b</sub>'', hver vektet med sannsynlighetsamplituden  ''&psi;''(''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>''). Det er analogt med det tilsvarende  [[Kirchhoffs diffraksjonsteori|Kirchhoff-integralet]] som opptrer i beskrivelsen av [[diffraksjon]] basert på  [[Huygens-Fresnels prinsipp]].

For en fri partikkel er potensialet ''V'' = 0. Den tilsvarende propagatoren ''K''<sub>0</sub> kan da beregnes eksakt på samme måte som over et kort tidsrom ''&epsilon;''.  Av den grunn vil den være

: <math>  K_0(q_b, t_b; q_a, t_a) = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{1/2} e^{im(q_b - q_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} </math>. 

I eksponenten opptrer virkningen til den klassiske bevegelsen av partikkelen. Den er karakterisert  ved at hastigheten mellom de to punktene har den konstante verdien  ({{nowrap|''q<sub>b</sub>'' - ''q<sub>a</sub>'')/(''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>'')}}. Propagatoren har samme form som løsningen av [[diffusjonsligning]]en med en punktformig kilde, men bevegelsen foregår her i [[Imaginært tall|imaginær]] tid.<ref name = FH/>

===Schrödinger-ligning===

Basert på sin antagelse at overgangsamplituden kunne skrives som et veiintegral, måtte Feynman vise at den var I overensstemmelse med vanlig kvantemekanikk. I praksis betyr det å vise at bølgefunksjonen oppfyller [[Schrödinger-ligning]]en. Dette gjorde han like etter at han hadde møtt Jehle og inngikk senere i hans doktorgradsarbeid.<ref name = Schweber/> Først etter at andre verdenskrig var slutt, ble dette publisert.<ref name = RPF-1948> R.P. Feynman, [https://authors.library.caltech.edu/records/9h858-5hv71 ''Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics''], Rev. Mod. Phys. '''20''' (2), 367–87 (1948).</ref>

Under et kort tidsrom ''t'' &rarr; ''t'' + ''&epsilon;&thinsp;'' forandrer bølgefunksjonen seg fra ''&psi;''(''q'',''t''&thinsp;) til

: <math> \psi(q, t + \varepsilon) = \int\! dq' \, K(q,t + \varepsilon; q', t) \psi(q', t) </math>

Ved å innføre den nye variable ''s'' = ''q' - q'', forvandles  dette integralet til

: <math>\begin{align} & \psi(q, t + \varepsilon) =  A\int_{-\infty}^\infty \! ds \, e^{ims^2/2\hbar\varepsilon}  \\ & \cdot \left(\big[1 -  \varepsilon {i \over \hbar} V(q)\big] \psi(q,t)  +  s{\partial\psi \over \partial q} + {s^2\over 2} {\partial^2\psi \over \partial q^2} \right) \end{align} </math>

når man tar med kun de leddene som bidrar i grensen ''&epsilon;'' &rarr; 0. Alle integralene her kan beregnes fra det elementære [[Gauss-integral]]et. Da kombinasjonen 

: <math> {1\over\varepsilon} \left[\psi(q, t + \varepsilon) - \psi(q, t)\right] =  {\partial\psi \over \partial t}  , </math> 

gir de forskjellige leddene i veiintegralet dermed resullatet

: <math> i\hbar {\partial\psi \over \partial t} = \left[-{\hbar^2\over 2m}  {\partial^2 \over \partial q^2} + V(q)\right] \psi(q,t) </math>

På høyre side opptrer [[Hamilton-operator]]en <math> \hat{H}. </math>  Dette er Schrödinger-ligningen som beskriver den kvantemekaniske bevegelsen til partikkelen i dette tilfellet.

===Greens funksjon===

Fra definisjonen av propagatoren for ''t<sub>b</sub>'' = ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' følger at

: <math> K(q_b,t_a;q_a,t_a) = \delta(q_b - q_a) </math>

hvor [[Diracs deltafunksjon]] på høyre side uttrykker at partikkelen i dette tilfellet ikke kan bevege seg i det hele tatt. Propagatoren har derfor en komplisert funksjonsform  når ''t<sub>b</sub>'' nærmer seg ''t<sub>a</sub>''. Denne kan finnes ut fra kravet at bølgefunksjonen ''&psi;''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'') skal oppfylle Schrödinger-ligningen 

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)\psi(q_b,t_b) = 0, \quad t_b > t_a </math>

Dette blir nå en betingelse som også propagatoren må oppfylle på formen

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(q_b,t_a;q_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(q_b - q_a) </math>

Den er derfor en [[Greens funksjon|Green-funksjon]] for Schrödinger-ligningen. Av den grunn kan andre fremgangsmåter benyttes til beregning av propagatoren enn direkte fra veiintegralet.

==Noen eksempel==

Veiintegralet til Feynman kan utledes fra vanlig kvantemekanikk, men er mer generelt da det kan benyttes i sammenhenger hvor man ikke har noen Hamilton-funksjon. Derimot kan det skjelden eksakt beregnes slik at bare approksimative eller numeriske verdier vil finnes. Mange ganger har dets største fordel vist seg å være i forbindelse med mer formelle og anskuelige betraktninger rundt kvantemekanikkens fundamentale egenskaper.<ref name = QED> R.P. Feynman, ''QED: The strange Theory of Light and Matter'', Penguin Books, London (1985). ISBN 0-14-012505-1. </ref>

Når Lagrange-funksjonen kun inneholder kvadratiske ledd som

: <math> L  =  a(t) \dot{q}^2 + b(t) q\dot{q} + c(t) q^2  + d(t) \dot{q} + e(t) q + f(t)  , </math>

kan veiintegralet  langt på vei utføres da det isåfall kun gir opphav til [[Gauss-integral|gaussiske integral]]. Resultatet kan skrives som

: <math> K(q_b,t_b ; q_a,t_a) = F(t_b, t_a) \, e^{iS_{cl}[q]/\hbar} </math>

hvor funksjonen ''F&thinsp;'' ikke avhenger av ytterpunktene ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' og ''q<sub>b</sub>''. De inngår derimot i den klassiske virkningen

: <math> S_{cl}[q] = \int_{t_a}^{t_b} \! dt L(q_{cl},\dot{q}_{cl}) </math>

hvor den spesielle veien ''q<sub>cl</sub>''(''t''&thinsp;) er den klassiske bevegelsen til partikkelen. Den er en løsning av [[Lagrange-mekanikk|Euler-Lagrange-ligningen]] for den gitte Lagrange-funksjonen. Når de forskjellige koeffisientene i denne er uavhengige av tiden, vil funksjonen ''F&thinsp;'' bare avhenge av tidsdifferansen {{nowrap|''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>&thinsp;''}} fordi partikkelen da beveger seg under konstante forhold.<ref name = FH/>

===Harmonisk oscillator===

Bevegelsen til en [[kvantisert harmonisk oscillator]] er av grunnleggende betydning og kan forholdsvis enkelt utledes  i vanlig kvantemekanikk.<ref name = Shankar/> Fullt så enkelt er det ikke ved bruk av veiintegral. Oscillatoren befinner seg i potensialet {{nowrap|''V'' {{=}} (1/2)''m&omega;''<sup>2</sup>''q''<sup>2</sup>}} som er kvadratisk i utslaget ''q''. Den klassiske bevegelsen kan lett finnes og er gitt ved veien 

: <math> q_{cl}(t) = q_a {\sin\omega(t_b - t)\over \sin\omega(t_b - t_a)}  + q_b {\sin\omega(t - t_a)\over \sin\omega(t_b - t_a)} </math>

som oppfyller grensebetingelsene ved tidspunktene ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' og ''t<sub>b</sub>''. Herav finnes den klassiske virkningen ved direkte integrasjon,

: <math> S_{cl}[q] =  {m\omega\over 2\sin\omega(t_b - t_a)}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cos\omega(t_b - t_a) - 2q_a q_b \big] </math>

Prefaktoren ''F&thinsp;'' i propagatoren kan nå beregnes fra fluktuasjonene rundt denne løsningen  og blir

: <math> F(t_b, t_a) = \left({m\omega\over 2\pi i\hbar\sin\omega(t_b - t_a)} \right)^{1/2} </math>

Dette er overensstemmelse med resultatet for en fri partikkel som finnes i grensen ''&omega;'' &rarr; 0 der potensialet blir null.<ref name = Abers> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1.</ref>

===Partikler i tre dimensjoner===

Posisjonen til en partikkel som beveger seg i tre dimensjoner, kan angis ved tre [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x, y, z'')}}. Hver vei i dette rommet utgjør da en [[kurve]] {{nowrap|'''x''' {{=}} '''x'''(''t'')}}. For en ikke-relativistisk bevegelse med [[potensiell energi]] {{nowrap|''V'' {{=}} ''V''('''x''',''t'')}} fra  punktet {{nowrap|''a'' {{=}} ('''x'''<sub>''a''</sub/>, ''t''<sub>''a''</sub/>)}} til {{nowrap|''b'' {{=}} ('''x'''<sub>''b''</sub/>, ''t''<sub>''b''</sub/>)}}, kan veiintegralet for propagatoren skrives som

: <math> K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) = \int_{\mathbf{x}_a}^{\mathbf{x}_b} \! D\mathbf{x}\, \exp\Big({i\over\hbar} \int_{t_a}^{t_b} \! dt \,\Big[ {1\over 2}m\dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)\Big] \Big) </math>

Det har samme form som et produkt av tre éndimensjonale integral. Integrasjonsmålet i det diskrete tilfellet der tidsintervallet kan splittes opp som {{nowrap|''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' {{=}} ''N&epsilon;,''}} blir da

: <math>   D\mathbf{x} = A^{3N} d^3x_1  d^3x_2 \cdots d^3x_{N-1} </math>

hvor faktoren ''A&thinsp;'' er den samme som tidligere. Mens beregninger i vanlig kvantemekanikk vanligvis gjennomføres for potensial ''V&thinsp;'' som er uavhengige av tiden, er dette ikke noen begrensing i denne formuleringen.

Denne propagatoren er også en [[Greens funksjon|Green-funksjon]] for den tilsvarende Schrödinger-ligningen og oppfyller derfor den [[Partiell differensialligning|partielle differensialligningen]]

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(\mathbf{x}_b,t_b;\mathbf{x}_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a) </math>

For en fri partikkel med Hamilton-operator <math> \hat{H}_0 = \hat\mathbf{p}^2/2m </math> blir nå propagatoren

: <math>  K_0(b;a)  = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{3/2} e^{im(\mathbf{x}_b - \mathbf{x}_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} </math>.

for alle tidspunkt  {{nowrap|''t<sub>b</sub>''  > ''t<sub>&thinsp;a</sub>''.}}. Det følger fra veiintegralet, men kan også utledes i dette tilfelle direkte fra [[Propagator#Noen egenskaper|egenfunksjonene]] til Hamilton-operatoren.<ref name = Abers/>

===Perturbasjonsteori===

For et vilkårlig potensial ''V''(''x'') kan ikke veiintegralet utføres eksakt. Men når det kan betraktes som tilstrekkelig svakt sammenlignet med den kinetiske energien, kan man gjøre bruk av at det ikke involverer operatorer, men vanlige funksjoner som kommuterer med hverandre.  Det er én av fordelene med Feynmans formulering av kvantemekanikken. Da kan den delen av eksponentialfunksjonen som inneholder potensialet, utvikles i en [[Taylor-rekke]] som inneholder dette i stadig høyere potenser. Dermed kan den vekselvirkende propagatoren splittes opp i summen

: <math> K(b;a) = K_0(b;a) + K_1(b;a) + K_2(b;a) + \cdots </math>

hvor ''K''(''b; a'') er den frie propagatoren. Til første orden i potensialet får denne en korreksjon som nå kan skrives på den kompakte måten

: <math> K_1(b;a) = \Big(-{i\over\hbar} \Big) \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_1)V(x_1)K_0(x_1;a) </math>

når man benytter notasjonen ''d''<sup>4</sup>''x'' = ''d''<sup>3</sup>''x&thinsp;dt&thinsp;''. Denne første korreksjonen kan tolkes som at partikkelen starter i punktet ''a&thinsp;'' hvorfra den beveger seg fritt til punktet ''x''<sub>1</sub> hvor den vekselvirker med potensialet. Derfra beveger den seg så fritt igjen til sluttpunktet ''b''. Til neste orden i denne rekkeutviklingen finner man på samme måte korreksjonen

: <math> K_2(b;a) = \Big(-{i\over\hbar}\Big)^2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_2 \int_{-\infty}^\infty\! d^4x_1 K_0(b;x_2)V(x_2)K_0(x_2;x_1) V(x_1) K_0(x_1;a) </math>

Den involverer på tilsvarende vis to vekselvirkninger med potensialet. Påfølgende ledd i rekkeutviklingen kan nå lett finnes. Hvert av dem kan illustreres
med et [[Feynman-diagram]] som i dette tilfellet er en brukket linje mellom punktene ''a&thinsp;'' og ''b&thinsp;'' hvor hver brekk angir hvor potensialet virker.<ref name = FH/>

Når potensialet ''V''(''x'') er tilstrekkelig svakt, vil bare de første leddene i denne rekken være av betydning. Man har dermed et resultat for den fulle propagatoren som også kan beregnes i [[Propagator#Perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]]. Rekkeutviklingen tilsvarer [[Vekselvirkningsbildet#Born-serie|Born-approksimasjonen]] som benyttes for [[Spredningstverrsnitt#Born-approksimasjon|spredning]] av elementærpartikler.

Propagatorer for [[Propagator#Relativistiske partikler|relativistiske partikler]] kan også defineres. Men de kan ikke uten videre skrives som veiintegral. I motsetning til den ikke-relativistiske propagatoren beveger de partikler både fremover og bakover i tiden. Det skyldes at de tilsvarende bølgeligningene inneholder løsninger som beskriver   partikler med negativ energi. De tilsvarer [[antipartikkel|antipartikler]] som beveger seg fremover i tiden.<ref name = Schweber/>

==Statistisk mekanikk==

Bevegelsen til et kvantemekanisk system er styrt av [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|tidsutviklingsoperatoren]]

:  <math>  \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}  </math>

hvor <math> \hat{H} </math>  er dets Hamilton-operator. Det samme systemet i [[termisk likevekt]] ved temperatur ''T'', er beskrevet  ved [[Statistisk mekanikk|tetthetsoperatoren]]

:  <math>  \hat{\rho}(\beta) = e^{-\beta \hat{H}}  </math>

der nå ''&beta;'' = 1/''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' hvor [[Boltzmanns konstant]] ''k<sub>B</sub>&thinsp;'' inngår. Denne operatoren gjør det mulig å beregne alle [[Termodynamikk|termodynamiske]] egenskapene til systemet. På grunn av den formelle likheten melllom <math> \hat{U} </math> og <math> \hat{\rho} , </math> kan også matriseelement av tetthetsoperatoren beregnes ved hjelp av veiintegral. Dette vil da være en integrasjon over veier i «imaginær tid» på grunn av den matematiske sammenhengen

: <math> it \rightarrow \beta \hbar </math>

Men denne overgagen til maginær tid er ikke bare en praktisk fremgangsmåte i statistisk mekanikk, men er også av teoretisk betydning. Det skyldes at  mer generelle veiintegral er matematisk bedre definerte når de utføres etter en slik overgang.<ref name = Zee> A. Zee, ''Quantum Field Theory: In a Nutshell'', Princeton University Press, New Jersey (2003). ISBN 0-691-01019-6.</ref>

===Partisjonsfunksjon===

Mange av de termiske egenskapene til et system kan beregnes fra dets [[Partisjonsfunksjon (statistisk mekanikk)|partisjonsfunksjon]]. Den er definert ved  summen

: <math> Z(\beta) = \sum_n e^{-\beta E_n} </math>

der dets energier ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' følger fra egentilstandene til Hamilton-operatoren, <math> \hat{H} | n \rangle = E_n |n\rangle. </math> Derfor er

: <math> Z(\beta)  = \sum_n \langle n |e^ {-\beta\hat{H}} |n \rangle  \equiv \operatorname{Tr} \hat{\rho}(\beta ) </math>

når man innfører tetthetsoperatoren. Summen over egenverdiene har dermed gått over til en sum over alle diagonale [[Matrise|matriseelement]] av denne operatoren. Det utgjør dens [[Matrise#Matrisespor|matrisespor]] uttrykt ved operasjonen <math>  \operatorname{Tr}.  </math> Verdien av dette er uavhengig av hvilken basis matriseelementene blir beregnet i.

For en partikkel som beveger seg i én dimensjon med koordinat ''q'', kan dette matrisesporet beregnes i [[Kvantemekanikk#Posisjonsbasis|posisjonsbasis]] hvor tetthetsoperatoren er representert ved tetthetsmatrisen med element 

: <math>  \rho(q_b, q_a;\beta) = \langle q_b|e^ {-\beta\hat{H}} | q_a \rangle </math>

Dette matriseelementet er nå gitt ved propagatoren i imaginær tid som <math>  K(q_b, t_a - i\beta\hbar ; q_a, t_a). </math> Sporet av tetthetsmatrisen følger så ved én siste integrasjon over de diagonale elementene med ''q<sub>a</sub>'' = ''q<sub>b</sub>'', 

: <math> Z(\beta) = \int_{-\infty}^\infty\! dq\, \langle q |e^ {-\beta\hat{H}} | q \rangle </math>

Partisjonsfunksjonen til partikkelen er på denne måten omformet til et nytt veiintegral som beskriver alle mulige  bevegelser fra en posisjon tilbake til samme posisjonen i løpet av en viss, imaginær tid bestemt av systemets temperatur.

===Harmonisk oscilllator===

Veiintegralet til en harmonisk oscillator kan utføres eksakt da dens energi er kvadratisk både i hastighet og posisjon.  Det resulterer i at dens propagator ''K''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'';''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>'') kan utrykkes ved den klassiske virkningen. Etter å ha innført imaginær tid  {{nowrap|''i''(''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>'') {{=}} ''&beta;ħ''&thinsp;}} i denne, tar den formen

: <math>  {i\over\hbar} S_{cl} [q]  \rightarrow - S_{cl}^E [q] =  - {m\omega\over 2\hbar\sinh\beta\hbar\omega}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cosh\beta\hbar\omega - 2q_a q_b \big] </math>

da de [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjonene]] går over til de tilsvarende  [[hyperbolsk funksjon|hyperbolske funksjonene]]. Det samme gjelder for prefaktoren i veiintegralet som blir

: <math> F(t_b, t_a) \rightarrow  F^E (\beta) = \left({m\omega\over 2\pi \hbar\sinh\beta\hbar\omega} \right)^{1/2} </math>

Ved å benytte identitetene cosh&thinsp;2''x'' - 1 = 2&thinsp;sinh<sup>2</sup>''x&thinsp;'' og {{nowrap|sinh&thinsp;2''x'' {{=}}  2&thinsp;sinh''x''&thinsp;cosh''x'',}} følger partisjonsfunksjonen fra det reelle [[Gauss-integral]]et

: <math> \begin{align} Z(\beta) &= F^E (\beta)  \int_{-\infty}^\infty\! dq\,\exp\Big(- (m\omega\, q^2/\hbar) \tanh\beta\hbar\omega/2 \Big)\\ &=  {1\over 2\sinh\beta\hbar\omega/2} \end{align} </math>

Ved høy temperatur der ''&beta;ħ&omega;'' = ''ħ&omega;''/''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' &rarr; 0, går dette over til resultatet fra [[Boltzmann-fordeling#Harmonisk oscillator|klassisk, statistisk mekanikk]]. Den [[indre energi]]en er da ''U'' = ''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' i ovensstemmelse med [[ekvipartisjonsprinsipp]]et. Kvantemekanisk er nå denne energien derrimot

: <math> \begin{align} U &= - {\partial\over\partial\beta} \ln Z  =  {1\over 2}\hbar\omega \coth{1\over 2}\beta\hbar\omega \\
&=  {1\over 2}\hbar\omega  + {\hbar\omega\over e^{\beta\hbar\omega} - 1} \end{align}</math> 

Den første termen her er [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunktsenergi|nullpunktsenergien]] ''ħ&omega;''/2 til oscillatoren som den har når ''&beta;'' &rarr; &infin;, det vil si ved null grader. Det andre leddet fremkommer mer direkte ved å utføre summasjonen i partisjonsfunksjonen med bruk av energiene {{nowrap|''E<sub>n</sub>'' {{=}} ''ħ&omega;''(''n'' + 1/2)}} som følger fra [[Kvantisert harmonisk oscillator|kvantisering av oscillatoren]].<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>

==Euklidisk formulering==

Partisjonsfunksjonen for et generelt system kan regnes ut ved et veiintegral i imaginær tid ''&beta;ħ''. Igjen kan det enklest vises for en ikke-relativistisk partikkel i én dimensjon med Lagrange-funksjon

: <math> L = {m\over 2} \Big({dq\over dt}\Big)^2 - V(q) </math>

Ved å splitte opp tidsintervallet i ''N&thinsp;'' like store deler slik at ''&beta;ħ'' = ''N&epsilon;'', kan fullstendige sett med mellomtilstander innsettes på samme måte som i reell tid. Det gir

: <math>\begin{align} &Z(\beta) = \int_{-\infty}^\infty\! dq\, \langle q |e^ {-\beta\hat{H}} | q \rangle \\ &=  \int\!dq_1\cdots \int\!dq_N\langle q |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_{N-1} \rangle\cdots \langle q_2 |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_1 \rangle \langle q_1 |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q \rangle \end{align} </math>

hvor ''q'' = ''q<sub>N</sub>''.  Endepunktet for bevegelsen er derfor det samme som utgangspunktet. Det som var Diracs overgangsamplitude for to nærliggende tidsrom, blir nå

:  <math> \langle q_n |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q _{n-1} \rangle  =   A\, e^{-\varepsilon[m(q_n - q_{n-1})^2/\varepsilon^2 + V(q_n)] /\hbar} </math>

der prefaktoren i dette tilfelle er 

: <math> A = \sqrt{m\over 2\pi\hbar\varepsilon} </math>

På samme vis gjenkjennes i eksponenten til amplituden den «euklidiske Lagrange-funksjonen»

: <math> L_E(q,\dot{q})  = {m\over 2} \Big({dq\over d\tau}\Big)^2 + V(q) </math>

når man betrakter ''q'' = ''q''&thinsp;(''&tau;'') som en funksjon av en imaginær tid {{nowrap|''&tau;'' {{=}} ''it''}}. Da er {{nowrap|''q<sub>n</sub>'' {{=}}  ''q''&thinsp;(''&tau;<sub>n</sub>''&thinsp;)}}  med {{nowrap|''&tau;<sub>n</sub>'' {{=}} ''n&epsilon;''}}.  Ved å la {{nowrap|''N'' &rarr; &infin;}} og {{nowrap|''&epsilon;'' &rarr; 0}} slik at {{nowrap|''N&epsilon;'' {{=}} ''&beta;ħ''}}, kan dermed partisjonsfunksjonen skrives som veiintegralet

: <math> Z(\beta) =  \int\! Dq \, \exp{\Big[- \int_0^{\beta\hbar}\! d\tau L_E(q,\dot{q})/\hbar \Big]} </math>

Integrasjonsmålet er i denne euklidske formuleringen nå

: <math>  Dq = A^N dq_1 dq_2 \cdots dq_N </math>

før den kontinuerlige grensen blir tatt. Veiene som det integreres over her, er '''periodiske''' i den forstand at {{nowrap|''q''(0) {{=}} ''q''(''&beta;ħ''&thinsp;)}} da partikkelen beveger seg fra et sted tilbake til samme sted ved et senere tidspunkt ''&beta;ħ&thinsp;'' i imaginær tid..<ref name = FH/>

==Referanser==
<references/>

==Eksterne lenker==

* D. Tong, [https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/concepts/action.pdf ''The Principle of Least Action''], introduksjon til veiintegral.
* D.H. Rischke, [https://itp.uni-frankfurt.de/~drischke/Script_Path_Integrals_GU2021.pdf ''Path Integrals in Quantum Mechanics''], forelesninger ved Frankfurt sommerskole (2021).

[[Kategori: Kvantemekanikk]]
[[Kategori: Statistisk fysikk]]