Redigerer
Fermi-Dirac statistikk
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
[[Fil:FD e mu.svg|thumb|280px|Fermi-Diracs sannsynlighetsfordeling som funksjon av partikkelenergi ved forskjellige temperaturer.]] '''Fermi-Dirac statistikk''' benyttes i [[statistisk fysikk]] til å beskrive egenskapene til et stort antall indentiske partikler som oppfyller [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. De kan bevege seg fritt og er i [[termisk likevekt]]. Dette gjelder oftest [[elektron]]er i metaller eller [[nøytron]]er i stjerner. Den tilsvarende, statistiske [[sannsynlighetsfordeling]]en ble funnet samtidig i 1926 av den italienske fysiker [[Enrico Fermi]] og den engelske fysiker [[Paul Dirac]]. Hvis ''n<sub>r</sub> '' er det midlere antall partikler som har energi ''E<sub>r</sub> '' ved [[Absolutt temperatur|temperaturen]] ''T'', kan den skrives som : <math> {n_r\over g_r} = {1\over {e^{(E_r- \mu)/k_BT} + 1}} </math> hvor ''μ '' er partiklenes [[Kjemisk potensial|kjemiske potensial]] og ''k<sub>B</sub> '' er [[Boltzmanns konstant]]. I tillegg er ''g<sub>r</sub> '' et tall som angir hvor mange [[kvantetilstand]]er energinivået ''E<sub>r</sub> '' inneholder. Mens Fermi-Dirac statistikk gjelder for [[fermion]]er som har halvtallig [[spinn]] ''s'' = 1/2, 3/2 og så videre, gjelder [[Bose-Einstein statistikk]] for [[boson]]er. De har heltallig spinn hvorav de mest kjente er [[helium]] med {{nowrap|''s'' {{=}} 0}} og [[foton]]et med {{nowrap|''s'' {{=}} 1}}. Begge er eksempel på det som omtales som [[statistisk mekanikk|kvantestatistikker]] da [[kvantemekanikk]]en bestemmer deres egenskaper. Ved tilstrekkelig høye temperaturer går de over til [[Maxwell-Boltzmann statistikk]] hvor partiklene følger [[klassisk mekanikk]]. Spesielt Fermi-Dirac statistikk har praktisk betydning da den ligger til grunn for [[elektrisk ledning|ledning]] av [[elektrisk strøm]] som skjer ved transport av elektroner. Uten denne manifestasjon av fundamental kvantemekanikk ville ikke moderne [[elektronikk]] ha vært mulig. ==Degenerasjon== [[Fil: Degenerate energy levels.svg|thumb|280px|Tre energinivå ''E<sub>r</sub>'' = (''r'' + 1) i et tenkt potensial hvor degenerasjonen av hvert nivå er ''g<sub>r</sub>'' = 2''r'' + 1.]] [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] sier at to fermioner ikke kan befinne seg i samme [[kvantetilstand]]. Disse er løsninger av [[Schrödinger-ligning]]en for hver enkelt partikkel. Den gir de mulige egenverdiene ''E<sub>r</sub> '' som energien til hver av dem kan ha. Hvis ligningen er uavhengig av partikkelens [[spinn]] ''s'', vil det finnes {{nowrap|''g'' {{=}} 2''s'' + 1}} kvantetilstander med denne energien tilsvarende de kvantiserte retningene til spinnet. Man sier at denne egenverdien er «degenerert» siden flere egenverdier har falt sammen til én.<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.</ref> I sin opprinnelig utledning av denne kvantestatistikken betraktet [[Enrico Fermi]] fermioner som befinner seg i et tredimensjonalt, [[Harmonisk oscillator|harmonisk oscillatorpotensial]]. Schrödinger-ligningen gir da [[Kvantisert harmonisk oscillator#Flere dimensjoner|egenverdier]] : <math> E_{n_x,n_y, n_z} = \hbar\omega(n_x + n_y + n_z + 3/2) </math> hvor ''ω '' er [[vinkelfrekvens]]en til oscillatoren, {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''π ''}} er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] og {{nowrap|(''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'',''n<sub>z</sub>'')}} er [[kvantetall]] som hver kan ta verdiene 0, 1, 2 og så videre. Laveste energinivå eller «grunntilstanden» er derfor gitt som {{nowrap|(0, 0, 0)}} med energi {{nowrap|''E''<sub>0</sub> {{=}} (3/2)''ħω''.}} Første, eksiterte nivå har energien {{nowrap|''E''<sub>1</sub> {{=}} (5/2)''ħω''}}, men inneholder tre tilstander {{nowrap|(1, 0, 0)}}, {{nowrap|(0, 1, 0)}} og {{nowrap|(0, 0, 1).}} Dets degenerasjon er derfor {{nowrap|''g''<sub>1</sub> {{=}} 3}}. Generelt kan energien til hvert energinivå skrives som {{nowrap|''E<sub>r</sub>'' {{=}} ''ħω''(''r'' + 3/2)}} med degenerasjon {{nowrap|''g<sub>r</sub>'' {{=}} (''r'' + 1)(''r'' + 2)/2}} hvor det effektive kvantetallet ''r'' = 0, 1, 2 og så videre.<ref name = Fermi> E. Fermi, ''Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico'', Rendiconti Lincei '''3''', 145-149 (1926). [https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9912229 Engelsk PDF].</ref> ===Frie partikler=== En klassisk partikkel med masse ''m '' har energi ''E'' = ''p''<sup> 2</sup>/2''m '' når den har [[bevegelsesmengde|impulsen]] ''p''. Kvantemekanisk må man da tenke seg at den beveger seg fritt innen et makroskopisk stort volum ''V'' = ''L''<sup>3</sup>. Hvis den skal ha null sannsynlighet for å ikke kunne finnes utenfor dette, må veggene til volumet beskrives som hardt frastøtende. Det tilsvarer at den befinner seg i et uendelig dypt, tredimensjonalt [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|kassepotensial]] med sidekanter ''L''. Dens kvantiserte energier blir da : <math> E_{n_x,n_y, n_z} = {\hbar^2\pi^2 \over 2m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) </math> hvor komponentene til vektoren '''n''' = {{nowrap|(''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'',''n<sub>z</sub>'')}} er de tre kvantetallene som er positive [[heltall]].<ref name = Griffiths/> Når sidekanten ''L '' er stor, vil alle egenverdiene kunn angis med punkt som ligger tett på et kubisk gitter. Antall tilstander med energier mellom ''E '' og {{nowrap|''E '' + ''dE ,''}} er da gitt av antall punkt i første kvadrant med kvantetalll mellom ''n '' og {{nowrap|''n '' + ''dn ''}} hvor {{nowrap|''n''<sup> 2</sup> {{=}} '''n''' ⋅ '''n'''}}. Denne degenerasjonen blir da : <math> {1\over 8} \cdot 4\pi n^2 dn = {V\over 4\pi^2} \left({2m\over \hbar^2}\right)^{3/2} E^{1/2} dE </math> når man benytter sammenhengen <math> E = (\hbar^2\pi^2 /2m L^2) n^2 . </math> Dette er i overenstemmelse med <math> Vd^3p/h^3 = 4\pi V p^2 dp/(2\pi\hbar)^3 </math> som også benyttes for partikler som følger [[Maxwell-Boltzmann statistikk#Fri partikkel|Maxwell-Boltzmann statistikk]]. I tillegg kommer en multiplikativ spinn-degenerasjon {{nowrap|2''s'' + 1}} som gir en ekstra faktor 2 for [[elektron]]er og [[nukleon]]er som har {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2.}} Dette resultatet for antall mikrotilstander kan alternativt finnes ved bruk av [[Kvantisert strålingsteori#Periodiske grensebetingelser|periodiske grensebetingelser]] for bølgefunksjonen istedenfor å anta harde vegger i et kassepotensial som gjort her. ==Statistisk fordeling== Ved en beskrivelse av de fysiske egenskapene til et stort antall identiske partikler er det umulig å følge hver enkelt partikkel. I [[statistisk mekanikk]] kan man i stedet beregne [[sannsynlighetsfordeling]]er for at grupper av partiklene opptrer med bestemte egenskaper. Dette ble først gjennomført for frie partikler som følger [[Maxwell-Boltzmann statistikk]]. Omtrent samme fremgangsmåte kan også benyttes for frie [[fermion]]er. Selv om det ikke er noen krefter som virker mellom dem, vil de likevel være påvirket av hverandre på grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. Det sier at fermioner ikke kan opptre i samme kvantetilstand. Hvis de da befinner seg i et åpent volum, kan ikke to slike partikler være på samme sted hvis de samtidig har spinn som er like. Resultatet kan da sies å være at de holder seg borte fra hverandre på grunn av en fiktiv «Pauli-kraft» som virker frastøtende.<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref> Et system med ''N '' fermioner vil fordele seg over de forskjellige energinivåene på en slik måte at fordelingen har den største sannsynlighet. Denne er proporsjonal med hvor mange ganger man kan fordele ''n''<sub>0</sub>  partikler i laveste nivå ''E''<sub>0</sub>  samtidig som det er ''n''<sub>1</sub>  partikler i neste nivå ''E''<sub>1</sub>  og så videre. Hvis man betrakter et slikt nivå ''E<sub>r</sub> '' som består av ''g<sub>r</sub> '' kvantetilstander, har den første partikkelen i dette nivået ''g<sub>r</sub> '' tilgjengelige tilstander. Den neste kan da fylle én av de ''g<sub>r</sub>'' - 1 ledige tilstandene uten å være i konflikt med Pauli-prinsippet. Med to partikler i dette nivået, er det nå i alt {{nowrap|''g<sub>r</sub>'' (''g<sub>r</sub>'' - 1)/2}} mulige plasseringer av de to første partiklene da de er identiske. Med i alt ''n<sub>r</sub> '' partikler på dette nivået kan de dermed plasseres på : <math>\begin{align} W_r &= g_r (g_r -1) (g_r - 2)\cdots (g_r - n_r +1)/n_r ! \\ &= {g_r ! \over (g_r - n_r)! \, n_r!} \end{align} </math> forskjellige måter. Det totale antall tilstander som denne fordelingen av alle ''N '' partikler kan befinne seg i, er derfor produktet : <math> W = W_0 W_1 W_2\cdots = \prod_r W_r </math> Herav kan den mest sannsynlige fordelingen finnes ved å maksimalisere ''W '' med bibetingelsen at antalll partikler <math> N = \sum_r n_r </math> er gitt samtidig som at den totale energien <math> E = \sum_r n_r E_r </math> holdes konstant. Dette kan gjøres på samme vis som for [[Maxwell-Boltzmann statistikk|Maxwell-Boltzmann fordelingen]]. Fra Boltzmanns ligning <math> S = k_B \ln W </math> for systemets [[Entropi#Boltzmann og statistisk mekanikk|entropi]], vil denne fordelingen med maksimal sannsynlighet også da ha maksimal entropi i overensstemmelse med [[termodynamikkens andre lov]].<ref name = Sears> F.W. Sears, ''An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</ref> ===Maksimalisering=== Ved bruk av [[Stirlings formel]] <math> \ln n! = n\ln n - n ,</math> er : <math> \ln W = \sum_r [g_r \ln g_r - n_r \ln n_r - (g_r - n_r)\ln (g_r - n_r) ] </math> Maksimum av dette antallet kan finnes ved bruk lav [[variasjonsregning]] der man foretar en lliten forandring <math> n_r \rightarrow n_r + \delta n_r </math> av okkupasjonstallene. Det betyr at den resulterende forandringen : <math> \delta \ln W = \sum_r [\, \ln(g_r - n_r) - \ln n_r]\delta n_r </math> skal være null samtidig som at bibetingelsene er oppfylte. Det kan gjøres ved å innføre to [[Lagrange-multiplikator]]er ''α '' og ''β '' slik at kravet for et maksimum blir at den totale varriasjonen <math> \delta (\ln W - \alpha N- \beta E) = 0 . </math> Det gir : <math> \ln n_r - \ln(g_r - n_r) + \alpha + \beta E_r = 0 </math> Det gir Fermi-Diracs resultat : <math> n_r = {g_r \over {e^{\alpha + \beta E_r} + 1}} </math> for okkupasjonstallene av fermioner når de er i termisk likevekt. De to ukjente størrelsene ''α '' og ''β '' kan bestemmes fra hva fordelingen gir ved høy temperatur når den skal. være i overensstemmelse med klassisk Maxwell-Boltzmann statistikk. Det gir {{nowrap|''β'' {{=}} 1/''k<sub>B</sub>T ''}} og {{nowrap|''α'' {{=}} - ''μ''/''k<sub>B</sub>T ''}} hvor ''μ '' er det [[kjemisk potensial]] for systemet av partikler.<ref name = Schroeder/> ===Termisk likevekt=== Istedenfor å bestemme den mest sannsynlige fordeling av partiklene, kan man anta at systemet befinner seg i termisk likevekt. Det har da en viss temperatur ''T '' som blir vedlikeholdt ved at det utveksles energi og et visst [[kjemisk potensial]] ''μ '' ved at det utveksles partikler med omgivelsene. For eksempel når en partikkel med energi ''E<sub>r</sub> '' blir overført fra omgivelsene til systemet, er den eneste forandringen i okkupasjonstalene at {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' → ''n<sub>r</sub>'' + 1}}. Det medfører en tilsvarende forandring i systemets entropi, : <math> \begin{align} \Delta S &= k_B \ln {g_r ! \over (g_r - n_r - 1)! \, (n_r + 1)!} - k_B \ln {g_r ! \over (g_r - n_r)! \, n_r!} \\ &= k_B \ln {g_r - n_r\over n_r + 1} \end{align}</math> Her kan man i nevneren til logaritmen la ''n<sub>r</sub>'' + 1 → ''n<sub>r</sub> '' som allerede er anvendt ved bruken av Stirlings formel. Denne entropiforandringen skjer samtidig med en forandring {{nowrap|Δ''U'' {{=}} ''E<sub>r</sub> ''}} i systemets [[indre energi]] og en økning {{nowrap|Δ''N'' {{=}} 1 }} i antall partikler som det inneholder. Fra [[Termodynamikkens første lov#Differensiell formulering|termodynamikkens første lov]] er disse tre forandringene forbundet ved {{nowrap|''T'' Δ''S'' {{=}} Δ''U'' - ''μ'' Δ''N''}} = {{nowrap|''E<sub>r</sub>'' - ''μ''}}. Det betyr nå at : <math> {n_r\over g_r} = {1\over {e^{(E_r- \mu)/k_BT} + 1}} </math> som er den ønskede formen av fordelingen.<ref name = Schroeder/> ==Se også== * [[Maxwell-Boltzmann statistikk]] * [[Bose-Einstein statistikk]] ==Referanser== <references/> [[Kategori: Kvantemekanikk]] [[Kategori: Statistisk fysikk]] [[Kategori: Termodynamikk]]
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Mal som brukes på denne siden:
Mal:Nowrap
(
rediger
)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon