Redigerer Eulers tall

[[Fil:10,000 digits of e - poster.svg|thumb|En plakat med de ti tusen første desimalene i Eulers tall ''e''.]]
'''Eulers tall''' ({{IPAc-en|ˈ|ɔɪ|l|ər}}) er en [[matematisk konstant]] med en numerisk verdi som tilnærmet er lik 2,71828 og betegnes med bokstaven  ''e''. Denne betegnelsen ble gitt av den sveitsiske matematiker [[Leonhard Euler]] som oppdaget de fleste av tallets spesielle egenskaper. Den opptrer i mange grener av moderne [[matematikk]] på samme måte som konstantene [[pi|''&pi;&thinsp;'']] og [[imaginær enhet|''i'']]. De er knyttet sammen ved ''e<sup>i&pi;</sup>'' + 1 = 0 som er [[Eulers likhet]].

Denne konstanten er et [[transcendentalt tall]] som kan defineres på mange måter. Den er grunntallet for [[naturlig logaritme|naturlige logaritmer]] slik at {{nowrap|ln''e'' {{=}} 1}}. Dermed er den også grunntallet for den [[eksponentialfunksjon#Naturlig eksponentialfunksjon|naturlige eksponentialfunksjon]] ''e<sup>x</sup>'' som har den spesielle egenskapen at den er identisk med sin egen [[derivasjon|deriverte]].

Euler selv skrev at denne konstanten er gitt ved uttrykket

: <math> e = \Big(1 + {1\over\infty}\Big)^\infty = \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^n  </math>

der &infin;&thinsp; betegner et uendelig stort tall. Ved bruk av [[binomialformel]]en til [[Isaac Newton|Newton]] kan man herav utlede den uendelige [[rekke (matematikk)|rekken]]:

: <math> e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots </math>

Denne og lignende rekker gjør det mulig å beregne en numerisk verdi for konstanten med så mange desimaler som man måtte ønske. Tar man med 50 siffer etter desimaltegnet, finner man 

: <math> e = 2{,}71828 \, 18284 \, 59045 \, 23536 \, 02874 \, 71352 \, 66249 \, 77572 \, 47093 \, 69995 \, \dots</math>

I noen sammenhenger omtales Eulers tall som ''Napiers konstant'' etter [[John Napier]] som utviklet det første system med [[logaritme]]r der denne konstanten opptrådte på en indirekte måte. Den må ikke forveksles med [[Euler-Mascheronis konstant]] ''&gamma;''.

==Historie==
Det som i dag kalles Eulers tall, opptrådte indirekte første gang i arbeidet ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' hvor [[John Napier]] innførte [[logaritme]]r i 1614. Han la merke til at for alle tallpar som skilte seg med en faktor 2, var differensen mellom deres logaritmer 6 931 469. Dette er nesten nøyaktig den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]] {{nowrap|ln&thinsp;2 {{=}} 0,6931 472}}  multiplisert med {{nowrap|10 000 000}} da han regnet med [[heltall]] som var vanlig på den tiden.<ref name="Boyer"> C.B. Boyer, ''A History of Mathematics'', Princeton University Press, New Jersey (1968). ISBN 0-691-02391-3.</ref>

[[Fil:Hyperbola E.svg|thumb|[[Gottfried Leibniz|Leibniz]] påpekte i 1690 at det blå arealet under  [[hyperbel]]en {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}} er 1 når lengden langs ''x''-aksen har en bestemt verdi han kalte ''b'' og som er tallet ''e''.]]
I den andre utgaven av Napiers verk som ble oversatt til engelsk av [[Edward Wright]] like før han døde i 1615, finnes det et tillegg som er en tabell med naturlige logaritmer. Det er uklart hvor den kom fra, men mest sannsynlig var  [[William Oughtred]] opphavsmannen.<ref name="Maor"> E. Maor, ''e: the Story of a Number'', Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 978-0-691-14134-3.</ref>

På midten av 1600-tallet ble det klart at det var en direkte sammenheng mellom logaritmer og [[hyperbel]]en {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}}. [[Christiaan Huygens]] og andre kunne da  definere den [[Naturlig logaritme#Hyperbolsk definisjon|hyperbolske logaritmen]] ved [[integrasjon|integral]]et.

: <math> \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt </math>

som er arealet under kurven for hyperbelen mellom 1 og ''x''. Dette gjorde mulig en eksplisitt beregning av logaritmene til hvert positivt tall. 

I et brev som Huygens mottok fra [[Gottfried Leibniz]] i 1690 blir det nevnt at dette arealet er 1 for et bestemt tall som han kalte ''b''.<ref name = CL> G. Leibniz, [https://books.google.fr/books?id=vtBGAAAAcAAJ&pg=PA33#v=onepage&q&f=false ''Brev fra Leibniz til Huygens''], korrespondanse 1690.</ref> Det danner da grunntallet for de hyperbolske logaritmene og er akkurat slik som Euler noen tiår senere definerte samme tallet, men da betegnet med bokstaven ''e''.<ref name = Boyer/>

===Jakob og Johann Bernoulli===
På samme tid arbeidet [[Jakob Bernoulli]] med matematikken rundt [[rentes rente]]. Hvis man for eksempel har 1 kr i banken med 100 % rente, vil dette beløpet bli 2 kr ved årets slutt. Men hvis renten blir lagt til hvert halvår, vil det bli {{nowrap|(1 + 1/2)(1 + 1/2) {{=}} 2,25}}. Enda bedre er resultatet {{nowrap|(1 + 1/4)<sup>4</sup> {{=}} 2,44}} hvis den blir lagt til ved slutten av hvert kvartal. Slik kan man fortsette og kan oppnå {{nowrap|(1 + 1/365)<sup>365</sup> {{=}} 2,71}} når renten legges til hver dag. I grensen der den legges kontinuerlig til beløpet, vil det derfor bli

: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^n  </math>

ved årets slutt når man benytter Eulers betegnelse for denne størrelsen. Bernoulli klarte ikke å finne dens nøyaktig verdi, men beviste i 1683 at den måtte være større enn 2 og mindre enn 3.<ref name = Maor/>

Jakob Bernoulli hadde en yngre bror [[Johann Bernoulli]] som også var en anerkjent matematiker. Han undersøkte egenskaper ved [[eksponentialfunksjon]]en og var klar over at denne var den [[funksjon (matematikk)#Som inverse funksjon|inverse]] til [[logaritme|logaritmefunksjonen]]. I tillegg underviste han den unge Euler i matematikk.<ref name="Sandifer"> C.E. Sandifer, ''How Euler Did Even More'', The Mathematical Association of America (2015). ISBN 978-0-88385-584-3.</ref>

I 1714 benyttet  [[Roger Cotes]] den uendelige rekken for ''e'' i sitt verk ''Logometria'' og beregnet tallet med 12 desimalers nøyaktighet.<ref name = Cotes> R. Cotes, [https://archive.today/20140410203227/http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 ''Logometria''],  Philosophical Transactions of the Royal Society of London, '''29'''(338), 5–45 (1714).</ref>

===Leonhard Euler===
[[Fil:Houghton GC7 Eu536 748i - Introductio in analysin infinitorum.jpg|thumb|En side fra Eulers store verk ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (1748).]]
Fra 1727 da han var 20 år, var [[Leonhard Euler|Euler]] ansatt ved [[Det russiske vitenskapsakademi]]et i [[St. Petersburg]].<ref name = Calinger> R. Calinger,  [https://core.ac.uk/download/pdf/82068344.pdf ''Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)''], Historica Mathematica '''23''', 121–166 (1996). </ref> Samme år brukte han bokstaven ''e'' for konstanten 2,71828 i et manuskript om [[prosjektil]]ers bevegelse. Den var definert ved at dens hyperbolske logaritme {{nowrap|ln''e'' {{=}} 1.}} Denne notasjonen benyttet han også i et brev til [[Christian Goldbach]] i 1731 og i læreverket ''Mechanica'' som kom ut i 1736.<ref name = Cajori> F. Cajori, ''Use of the letter e to represent'' 2.718...  i D. E. Smith, [https://archive.org/stream/sourcebookinmath00smit#page/95/mode/1up ''A Source Book in Mathematics''], McGraw-Hill, New York (1929), archive.org online, pp 95-99.</ref>

Da Euler flyttet til Berlin i 1745, hadde han avsluttet sitt store verk ''Introductio in Analysin Infinitorum'' som ble utgitt først i 1748.<ref name = AnalysInfinit>  L. Euler, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n5/mode/2up ''Introductio in Analysin Infinitorum''], Marc Michel Bousquet & Co, Lausanne (1748), archive.org online </ref> Her ga han en fullstendig fremstilling av alle viktige egenskaper ved ''e''. Den numeriske verdien kunne han presentere med 23 desimalers nøyaktighet.<ref name = e23> L. Euler, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115 ''Introductio in Analysin Infinitorum'', Volume I, p. 90], ''e'' med 23 desimaler.</ref>

Sammenhengen med den hyperbolske logaritmen følger fra dens [[derivasjon|deriverte]]. Fra definisjonen er

: <math> {d\over dx} \ln x = {1\over x} </math>

når man benytter [[analysens fundamentalteorem]] som forbinder derivasjon med [[integral]], Men samtidig skal dette også følge fra en direkte beregning, det vil si

: <math> {d\over dx}\ln x = \lim_{h\rightarrow 0}{\ln(x+h) - \ln x\over h} =  \lim_{h\rightarrow 0}{1\over h}\ln \Big(1 + {h\over x}\Big)  </math>

Men dette kan omformes til

: <math> {d\over dx}\ln x = {1\over x}\ln \lim_{n\rightarrow\infty}\Big(1 + {1\over n}\Big)^n = {1\over x}\ln e </math>

når man skriver ''h''/''x'' = 1/''n'' der ''n'' &rarr; &infin; når ''h'' &rarr; 0 og ''x'' holdes fast. Så når den hyperbolske logaritmen ln''e'' = 1, vil den deriverte av logaritmefunksjonen være ganske enkelt 1/''x'' som er mest naturlig. Siden har hyperbolske logaritmer også blitt kalt [[naturlig logaritme|naturlige logaritmer]] og betegnes vanligvis som {{nowrap|ln&thinsp;''x''}}, {{nowrap|log<sub>''e''</sub>&thinsp;''x''&thinsp;}} eller ganske enkelt {{nowrap|log&thinsp;''x''}} når det ikke kan oppstå noen misforståelse.<ref name="Lindstrøm"> T. Lindstrøm,  ''Kalkulus'', Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.</ref>

De faktiske årsakene til bruken av bokstaven ''e'' er ukjente, men det kan være fordi den er den første bokstaven i ordet eksponentiell. En annen mulighet er at ''e'' var den første ledige bokstaven da ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' kanskje ble brukt for andre størrelser. At Euler skulle ha brukt denne bokstaven med tanke på sitt eget navn, er lite sannsynlig.<ref name = Cajori/>

==Definisjoner==

Etter Eulers banebrytende arbeid i verket  ''Introductio in Analysin Infinitorum'' fra 1748 hadde man mange ekvivalente definisjoner av ''e''.<ref name = AnalysInfinit/> Ved å benytte [[binomialformel]]en på Bernoullis definisjon

: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^n  </math>

fremkommer den uendelige rekken

: <math>\begin{align} e &= \lim_{n\to\infty}\left[1 + {n \choose 1} \Big({1\over n} \Big)  +  {n \choose 2}\Big({1\over n}\Big)^2   +  {n \choose 3} \Big({1\over n}\Big)^3 + \cdots  \right] \\ &=   \lim_{n\to\infty}\left[1 + {n\over 1!n}  + {n(n-1)\over 2!n^2} + {n(n-1)(n-2)\over 3!n^3} + \cdots \right] \\ &= 1 + {1\over 1!} + {1\over 2!} + {1\over 3!} + {1\over 4!} + {1\over 5!} \cdots   = \sum_{k=0}^\infty{1\over k!} \end{align}</math>

som er [[konvergens (matematikk)|absolutt konvergent]]. Den egner seg godt til en numerisk bestemmelse av konstanten.

===Naturlig eksponentialfunksjon===

Fra uttrykket for ''e'' finner man direkte for den [[eksponentialfunksjon#Naturlig eksponentialfunksjon|naturlige eksponentialfunksjonen]] den uendelig rekken

: <math>\begin{align}  e^x &=   \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^{nx}= \sum_{k=0}^\infty {x^k \over k!} \\ &= 1 + {x\over 1!} + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} +  {x^5 \over 5!} \cdots \end{align}</math>

Herav følger ved å derivere ledd for ledd at

: <math>{d\over dx} e^x =  e^x </math>

slik at funksjonen er lik med sin egen deriverte. 

Omvendt kan dette benyttes å til definere funksjonen. Den skal være en løsning av den enkle [[differensialligning]]en {{nowrap|''dy''/''dx'' {{=}} ''y''&thinsp;}} med grensebvtingelsen {{nowrap|''y''(''x'' {{=}} 0)}} = 1. Da alle høyere deriverte dermed også vil være samme funksjon, finner man akkurat [[Taylor-rekke]]n for den naturlig eksponentialfunksjon.<ref name = Lindstrøm/>

===Naturlig logaritmefunksjon===
[[Fil:Ln+e.svg|thumb|300px|Eulers tall ''e'' er definert ved at den naturlige logaritmefunksjonen som der har verdien ln ''e'' = 1.]]

Den [[funksjon (matematikk)#Som inverse funksjon|inverse]] funksjon ''y''(''x'') til eksponentialfunksjonen ''e<sup>x</sup>&thinsp;'' vil per definisjon måtte tilfredsstille

: <math> e^{y(x)} = x </math>

og er den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmefunksjonen]] ''y'' = ln&thinsp;''x'' med ''e'' som grunntall slik at {{nowrap|ln&thinsp;''e'' {{=}} 1}}. Ved å derivere begge sider av ligningen ved bruk av [[derivasjon|kjerneregelen]], finner man da

: <math> e^{y(x)}{dy\over dx} = 1 </math>

Den deriverte av logaritmefunksjonen er derfor ''dy''/''dx'' = 1/''x''&thinsp; som er utgangspunktet for den hyperbolske logaritmen. Ved denne formuleringen skrives funksjonen på den mest anvendelige form som

: <math> \ln(1+x) = \int_0^x{dt\over 1 + t} </math>

Når absoluttverdien |''x''&thinsp;| < 1, kan integranden utvikles i en [[geometrisk rekke]] som dermed kan integreres ledd for ledd. Det gir

: <math>  \ln(1+x) = x - {1\over 2}x^2 + {1\over 3}x^3 - {1\over 4}x^4 + \cdots </math>

som er praktisk for numerisk utregning av logaritmer. Rekken kan føres tilbake til [[Isaac Newton|Newton]], men ble også utledet av [[Nicholas Mercator]] som har fått sitt navn knyttet til den.<ref name = Boyer/>

===Kjedebrøker ===
Euler kunne i ''Analysin Infinitorum''  også definere verdien til ''e'' ved uendelige [[kjedebrøk]]er. For eksempel er {{nowrap|''e'' {{=}} [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, .. ,1,1,2''n'', ...]}}  eller mer eksplisitt

:<math>e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 2+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 4+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}
</math>

Denne er ekvivalent med formene

:<math> e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}} = 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}}
</math>

som igjen kan skrives på andre måter.<ref name = kjede> E. Sandifer, [https://web.archive.org/web/20140223072640/http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf ''How Euler did it: Who proved e is irrational?''], MAA Online, February 2006.</ref>

Tallverdien til ''e'' er senere blitt uttrykt på mange andre måter ved forskjellige [[rekke (matematikk)|rekker]] og uendelige [[produkt (matematikk)|produkt]].<ref name="AS"> M.Abramowitz and I. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', Dover Publications, New York (1964). ISBN  0-486-61272-4.</ref>

==Kompleks eksponentialfunksjon==
[[Fil:Euler's formula.svg|thumb|Illustrasjon av Eulers formel i det [[komplekst tall|komplekse planet]].]]

Da den uendelige rekken for ''e<sup>x</sup>&thinsp;'' er absolutt konvergent, kan funksjonen derfor utvides til å gjelde også for [[komplekst tall|komplekse]] argument {{nowrap|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''&thinsp;}} der ''i'' er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]] definert som [[kvadratrot]]en av -1. Generelt har man derfor

: <math> e^z = 1 + {z\over 1!} + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} +  \cdots </math>

I det spesielle tilfellet at ''z'' er rent imaginær, det vil si ''z'' = ''i&phi;'', splittes rekken i en reell og en imaginær del som begge kan uttrykkes ved [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]] ved identiteten

: <math> e^{i\phi}  = \cos\phi + i\sin\phi </math>

Den kalles [[Eulers formel]] og ble også presentert av han i 1748. I dag anvendes den i mange forskjellige sammenhenger. For eksempel benyttes den til å fremstille periodiske [[svingning]]er og [[bølge]]r som komplekse [[fasevektor]]er.

Det ekvivalente uttrykket

: <math> i\phi = \ln( \cos\phi + i\sin\phi) </math>

var blitt utledet av [[Roger Cotes]] allerede i 1714 fra en beregning av overflaten til en [[ellipsoide]] som han kunne gjøre på to forskjellige måter.<ref name = Cotes/> Men på den tiden var ikke sammenhengen mellom hyperbolske logaritmer og Eulers tall tilstrekkelig klarlagt for å skrive den på den mer kompakte formen som Euler fant senere.<ref name = Sandifer/> 

Når ''&phi;'' = ''&pi;''&thinsp;, gir formelen at

: <math> e^{i\pi} + 1 = 0 </math>

da cos''&pi;'' = -1 og sin''&pi;'' = 0. Dette magiske resultatet omtales vanligvis som [[Eulers likhet]] og er ekvivalent med ln(-1) = ''i&pi;&thinsp;''.

==Steiners problem==
[[Fil:Mplwp Steiners problem.svg|thumb|360px|Funksjonen  ''x''<sup>1/''x''</sup>&thinsp; har et maksimum for ''x'' = ''e''.]]

Den direkte sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen har mange praktiske anvendelser. Et eksempel er forbundet med den sveitsiske matematiker [[Jakob Steiner]]. Han viste rundt 1850 at Eulers tall kunne defineres som det positive, relle tallet ''x'' hvis ''x''-te rot er størst mulig.<ref> H. Dörrie, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions'', Dover Publications, New York (1965). ISBN 0-486-61348-8.</ref> Det tilsvarer å vise at ''e'' er maksimum til funksjonen

: <math> f(x) = x^{1/x} </math>

som kan skrives om til

: <math> f(x) = e^{(1/x)\ln x} </math>

Ved et maksimum må den deriverte <math> {d\over dx} f(x) =  {1\over x^2}e^{(1/x)\ln x}\Big(\ln x - 1\Big) </math>

være null. Det betyr at  ln&thinsp;''x'' = 1 som tilsvarer løsningen ''x'' = ''e''. Maksimalverdien i dette punktet er ''e''<sup>1/''e''&thinsp;</sup> som numerisk blir {{nowrap|1,444 667 861... .}}

På samme måte kan vises at funksjon ''x<sup>x</sup>''&thinsp; har et minimum for ''x'' = 1/''e''.

==Kuriositeter==
[[Fil:Google 2013 logo.svg|left|thumb|Googles [[logo]] I tiden 2013-2015.]]
Da [[Google]] ble [[børsnotering|børsnotert]] i 2004, hadde de som mål å skaffe en kapital på $2&thinsp;718&thinsp;281&thinsp;828.<ref> S. Levy, ''In the Plex'', Simon & Schuster, New York (2011). ISBN 978-1-4165-9658-5.</ref> For å skaffe seg nye medarbeidere med spesielle  evner og interesse for matematikk, annonserte de ved flere kjente amerikanske universiteter ved å be potensielle søkere om å finne det første [[primtall]]et med 10 siffer i påfølgende desimaler til Eulers tall. Svaret var 7427466391 som begynner på 99. plass etter desimaltegnet. Klarte man denne oppgaven, ble man ledet til enda en av lignende type basert på hva som skjuler seg i den numeriske verdien til ''e''.<ref> M. Kazmierczak, [https://mkaz.blog/math/google-billboard-problems/ ''Google Billboard Problems''], blogg (2004).</ref>

[[Donald Knuth]] som laget [[TeX]], utviklet senere ''Metafont'' for å lage nye [[skrifttype|font]]er. Dette programmet hadde versjonsnummer som var 2, 2.7, 2.71, 2.718 og så videre.<ref> D. Knuth, [http://www.ntg.nl/maps/05/34.pdf ''The future of TeX and METAFONT''], TeX Mag '''5'''(1), 145 (1990).</ref>

===Huskeregler===

Det eksisterer mange tips for å huske de 16 første desimalene i ''e''. For eksempel følger de første 16 fra  '''2,7''' (disse må man huske selv) '''1828''' ([[Henrik Ibsen]]s fødselsår) '''1828''' (Ibsens fødselsår igjen) '''459045''' (gradene i en rettvinklet, likebeint trekant er 45 grader, 90 grader og 45 grader) '''2''' (dette er den 16. desimalen, og er det samme sifret som vi begynte med og både ''π&thinsp;'' og ''e&thinsp;'' har 2 som 16. desimal).

Alternativt kan man se bort fra denne regelen over og fortsette den  med '''235''' (første ustabile uranisotop), '''360''' en hel sirkel, '''28''' (Ibsens fødselsår forkortet) og '''747''' (Boeing flytype "Jumbojet").

På engelsk får man fra ''we require a mnemonic to remember e whenever we scribble math'' når man teller antall bokstaver i hvert ord som gir de første sifrene {{nowrap| 2,71828&thinsp;18284}}.

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==
* A.  Shell-Gellasch, [https://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/napiers-e-e-in-leonhard-eulers-introductio ''Napier's e: Leonhard Euler''], MAA Convergence (2010).
* E. Weisstein, MathWorld, [https://mathworld.wolfram.com/e.html ''e''], Wolfram MathWorld.
* MacTutor, [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html ''The number e''], University of St. Andrews, Scotland.
* R. Wilson, [http://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/the-story-of-e ''The story of e''], forelesning ved Gresham College (2007).

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Transcendentale tall]]
[[Kategori:Logaritmer]]
[[Kategori:Matematiske konstanter]]
[[Kategori:Matematiske huskeregler]]