Redigerer Eksponentiell vekst

[[Fil:Exponential.svg|thumb|300px|Plott som viser hvordan <span style="color:green">'''eksponentiell'''</span>  vekst er raskere enn  både <span style="color:red">'''lineær'''</span>  og <span style="color:blue">'''kubisk'''</span> vekst.]]
'''Eksponentiell vekst''' er en økning i et antall som er proporsjonal med antallet selv. Enhver forandring som øker antallet med samme prosentdel over samme tid (per år, per time, etc) vil resultere i en eksponentiell vekst.

For eksempel vil befolkningen i et land hvor hvert par får mer enn to barn, øke eksponentielt. Antall [[krone (valuta)|kroner]] spart på en konto med fast rente, vil øke eksponentielt med tiden.  Slik kan også antall [[bakterie]]r forandre seg ved uhemmet vekst under en [[infeksjon]]. Antall [[nøytron]]er som blir produsert ved en [[Nukleær kjedereaksjon|kjedereaksjon]] i en [[atombombe]], øker i begynnelsen på samme måte.

Ofte er det hensiktsmessig å beskrive eksponentiell vekst som en [[funksjon (matematikk)|funksjon]] av tiden. Ikke uventet er dette den ''eksponentielle funksjonen'' eller [[eksponentialfunksjon]]en hvor tiden opptrer i [[eksponent]]en. Denne spesielle funksjonen har en sentral rolle i all [[matematikk]] og [[fysikk]]. Når eksponenten er negativ, snakker man om ''eksponentiell reduksjon''. Et kjent eksempel er [[radioaktivitet|radioaktivt henfall]].

Eksponentiell vekst ble spesielt mye omtalt i forbindelse med [[koronaviruspandemien i 2019–2020]].

==Definisjon==
Matematisk beskrives eksponentiell vekst ved en '''vekstfaktor''' ''g'' som sier hvor mye antallet under betraktning øker gjennom hvert typisk tidsintervall. Hvis man starter ut med et antall ''N''<sub>0</sub> ved tiden {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, vil det neste gang ha øket til {{nowrap|''N''<sub>1</sub> {{=}} ''N''<sub>0</sub>&thinsp;''g''}}. Etter forløpet av enda et tidsintervall har man {{nowrap|''N''<sub>2</sub> {{=}} ''N''<sub>1</sub>''g''}} = ''N''<sub>0</sub>&thinsp;''g''<sup>2</sup>. På samme måte vil det fortsette slik at man etter ''n&thinsp;'' tidsintervall har et totalt antall i populasjonen

: <math> N_n = N_0 g^n </math>

Det er derfor naturlig å omtale vekstfaktoren ''g'' som en ''multiplikasjonsfaktor''. Betrakter man her ''n'' som en kontinuerlig variabel, er uttrykket på høyre side [[eksponentialfunksjon]]en med grunntall ''g''. Den øker eksponentielt når {{nowrap|''g'' > 1}} og avtar eksponentielt når {{nowrap|''g'' < 1}}. I det spesielle tilfellet at vekstfaktoren ''g'' = 1, forblir antallet konstant.<ref name = STL> A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for Realgymnaset'', Vol. II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

Ofte er det hensiktsmessig å skrive multiplikasjonsfaktoren ''g'' = 1 + ''r''&thinsp; hvor tallet ''r'' kalles '''vekstraten'''. For en sparekonto med en [[rente]] ''R'' i [[prosent]], er {{nowrap|''r'' {{=}} ''R''/100}}. Betingelsen for eksponentiell vekst er derfor at denne vekstraten er et positivt tall.

==Eksempler==
[[Fil:e.coli-colony-growth.gif|thumb|Numerisk simulering av hvordan [[bakterie]]r under optimale forhold formerer seg eksponentielt.]]

En typisk bakterie [[Bakterie#Vekst og reproduksjon|formerer seg]] ved å gi to nye utgaver av seg selv. Det tilsvarer en vekstfaktor ''g'' = 2. Etter ''n'' generasjoner vil denne ene bakterien derfor ha resultert i {{nowrap|2<sup>''n''</sup>&thinsp;}} nye bakterier. Det betyr at etter ''n'' = 20 slike celledelinger, har det gitt over en million nye bakterier. Hvis hver deling tar en time, vil det si at man har dette antallet etter knapt et døgn.

===Renters rente===

Hvis man plasserer 1000 kr i banken med en sparerente på 2,5 %, får man etter et år utbetalt 25 kr i rente. Da har beløpet på kontoen steget til {{nowrap|(1000 + 25) kr}} = 1025 kr som kan skrives som 1000&sdot;(1 + 0.025) kr. Og slik fortsetter det forutsatt at rentefoten blir holdt konstant. Etter for eksempel tretten år, har man da i alt et antall kroner

:<math> N_{13} = 1000\cdot (1+ 0.025)^{13} = 1379 </math>

på kontoen. Med en årlig rentesats på ''R'' målt i [[prosent]], vil mer generelt et opprinnelig beløp ''N''<sub>0</sub>&thinsp; ha vokst til

: <math> N_n = N_0\Big( 1 +{R\over 100}\Big)^n </math>

etter ''n'' år. Lever man lenge nok, kan dette bli så stort som man bare måtte ønske seg.<ref name = STL/>

==Matematisk beskrivelse==

En av de første som studerte [[matematikk]]en involvert i forbindelse med utregning av [[rente]] og [[rentes rente]], var [[Leonardo Fibonacci|Loenardo da Pisa]], mer kjent som Fibonacci.<ref name="Holme"> A. Holme, ''Matematikkens Historie'' 2, Fagbokforlaget, Bergen (2004). ISBN 82-7674-814-7.</ref> I dag blir renten på en sparekonto lagt til det opprinnelige beløpet etter et år. Men man kunne i prinsippet legge den til etter ett halvt år eller hver måned. Hvis man da beholder rentefoten, vil beløpet på kontoen øke raskere enn om renten bare ble lagt til hvert år.

Som et ekstremt eksempel kan man tenke seg at rentefoten er 100&thinsp;% per år. Det tilsvarer en årlig vekstrate på ''x'' = 1. Hvis man har 1&thinsp;kr ved årets begynnelse, vil man ha 2&thinsp;kr etter et år. Hvis man i stedet blir enig om å legge til 50&thinsp;% to ganger i året, ville man etter et år da ha {{nowrap|1.5&thinsp;&times;&thinsp;1.5 {{=}} 2.25&thinsp;kr}} på kontoen. Alternativt, hvis man enes om å legge til renten etter hvert kvartal, vil man ved årets slutt ha 1.25<sup>4</sup> = 2.44&thinsp;kr. Ved en slik oppdeling i et stort antall mindre intervall nærmer dette tallet seg 2.72&thinsp;kr.

Mer generelt har denne ene kronen for en vekstrate på ''x'' per år og en oppdeling av denne perioden i et veldig stort antall ''n'' intervall, vokst til

: <math> y = \Big(1 + {x\over n}\Big)^n = e^x </math>

nye kroner. Her er [[Eulers tall]] ''e'' =  2.71828... og er grunntallet i den [[eksponentialfunksjon#Naturlig eksponentialfunksjon|naturlige eksponentialfunksjonen]] ''y = e<sup>x</sup>''. Den har den viktige egenskapen at den er lik med sin egen [[derivasjon|deriverte]], det vil si ''dy''/''dx = y''. Omvendt kan man si at denne [[differensialligning]]en definerer funksjonen.<ref name="Lindstrøm"> T. Lindstrøm,  ''Kalkulus'', Universitetsforlaget, Oslo (2000). ISBN 978-82-15-00977-3.</ref>

===Kontinuerlig vekst===
[[Fil:2^x function graph.PNG|thumb|280px|Grafisk fremstilling av [[eksponentialfunksjon]]en med grunntall ''g'' = 2.]]
Antallet i en eksponentielt voksende mengde øker som ''N<sub>n</sub>'' = ''N''<sub>0</sub>&thinsp;''g<sup>&thinsp;n</sup>'' etter ''n'' generasjoner fra det opprinnelige tidspunktet da antallet var ''N''<sub>0</sub>. Vekstfaktoren ''g'' sier hvordan antallet i populasjonen øker hver gang i løpet av et tidsintervall ''T''. Det kan være en time eller en uke avhengig av hvilken prosess man beskriver. Istedenfor å benytte antall generasjoner ''n'' som et itdsmål, kan man derfor like så godt benytte tidspunktet  {{nowrap|''t {{=}} nT''&thinsp;}} når ''n''-te generasjon opptrer. Da kan de diskrete antallene ''N<sub>n</sub>'' erstattes med den kontinuerlige funksjonen ''N''(''t'') definert ved

: <math>  N_n \rightarrow N(t) = N(nT) = N_0 g^n  = N_0 g^{t/T} </math>

Dette er en [[eksponentialfunksjon]] med grunntall ''g''. Det er en kontinuerlig funksjon som kan benyttes for alle tidspunkt ''t'', også for de som ikke er et helt multiplum av tidsintervallet ''T'' som definerer vekstraten.<ref name = Lindstrøm/>

For en viss vekstfaktor ''g'' = 1 + ''r''&thinsp; kan man herav finne hvor lang tid ''t''<sub>2</sub>&thinsp; det tar for en fordobling av populasjonen. Den er definert ved 
{{nowrap|''N''(''t''<sub>&thinsp;2</sub>) {{=}} 2''N''<sub>0</sub>}} og kalles  '''fordoblingstiden'''. Det betyr at {{nowrap|''g''<sup>&thinsp;''t''<sub>2</sub>/''T''</sup> {{=}} 2&thinsp;}} eller

: <math> {t_2\over T} = {\ln 2\over \ln g} = {\ln 2\over \ln (1 + r) } </math>

Her er  den [[naturlig logaritme|naturlige logaritme]] ln&thinsp;2 = 0.69, og man kan tilnærmet sette ln(1 + ''r''&thinsp;) = ''r''&thinsp; når vekstraten ''r'' << 1. Dermed kan man anslå fordoblingstiden fra formelen  {{nowrap|''t''<sub>&thinsp;2</sub> {{=}}  0.69/''r''&thinsp;}} når den måles i enheter av tidsperioden ''T'' som er implisitt inneholdt i vekstraten ''r''.

Antas at en [[pandemi]] som [[Covid-19]] har en vekstrate på {{nowrap|''r'' {{=}} 12%}} per dag i begynnelsesfasen, vil antall smittede derfor dobles etter tilnærmet {{nowrap|''t''<sub>&thinsp;2</sub> {{=}} 0.69/0.12}} = {{nowrap|6 dager}}. En mer fullstendig beskrivelse av tidsutviklingen finnes i [[SIR-modell]]en. Samme formel for eksponentiell vekst gir at et beløp på en sparekonto i en bank som tilbyr en rente  {{nowrap|''r'' {{=}} 3%}} per år, vil først fordobles etter 0.69/0.03 = 23&thinsp;år.

===Naturlig eksponentialfunksjon===
Mange praktiske beregninger blir enklere når man uttrykker funksjonen for eksponentiell som en [[eksponentialfunksjon|naturlig eksponentialfunksjon]] med grunntall ''e'' = 2.7128... Det gjøres mest direkte ved å skrive vekstfaktoren som ''g'' = ''e''<sup>&thinsp;ln&thinsp;''g''</sup>. Dermed blir

: <math>  N(t) = N_0 e^{(\ln g/T)t} = N_0 e^{kt} </math>

der ''k'' = ln''g''&thinsp;/''T'' kalles for '''tidskonstanten'''. Den har en dimensjon som er invers tid, for eksempel s<sup>-1</sup> (per sekund), per dag eller per år.  Fordoblingstiden kan nå skrives som 

: <math>  t_2 = {\ln 2\over k} </math>

som bare er en omskrivning av det forrige uttrykket.

Negativ vekst eller eksponentiell reduksjon beskrives ved en negativ tidskonstant slik at  ''N''(''t''&thinsp;) = ''N''<sub>0</sub>''e''<sup>&thinsp;-''kt''</sup>.  Etter en tid ''t''<sub>&thinsp;2</sub> er da antallet i populasjonen redusert med en faktor 2.  Den kalles derfor for [[halveringstid]]en og benyttes for eksempel i omtale av [[radioaktivitet|radioaktive]] stoffer.<ref name="ØOL"> O. Øgrim, H. Ormestad og K. Lunde, ''Rom Stoff Tid  3'', J.W. Cappelens Forlag, Oslo (1981). ISBN 82-02-01957-5.</ref>

==Vekstligninger==

Kontinuerlig vekst kan også beskrives ved en [[differensialligning]] som ofte gir en mer detaljert forståelse av prosessen. Man fokuserer da på hva som skjer i korte tidsintervall {{nowrap|&Delta;''t''}} der populasjon øker med et tilsvarende lite antall {{nowrap|&Delta;''N''.}} Eksponentiell vekst oppstår når denne lille økningen er proporsjonal med den eksisterende mengden slik at {{nowrap|&Delta;''N'' {{=}} ''r&thinsp;N''.}} Vekstraten ''r'' må bli null hvis {{nowrap|&Delta;''t''}} er så liten at ingenting skjer. Derfor kan man sette at {{nowrap|''r'' {{=}} ''k''&thinsp;&Delta;''t''}} hvor ''k'' igjen er tidskonstanten.  Da nå {{nowrap|&Delta;''N''  {{=}}  ''k''&thinsp;&Delta;''t&thinsp;N''}}, får man

: <math> {dN\over dt} = kN </math>

når de små størrelsene &Delta;''t'' og &Delta;''N'' erstattes av [[differensial (matematikk)|differensialene]] ''dt'' og ''dN''. Dette er vekstligningen for eksponentiell vekst.<ref name="Kreyszig"> E. Kreyszig, ''Advanced Engineering Mathematics'', John Wiley & Sons, New York (1083). ISBN 0-471-88941-5.</ref> Den er en førsteordens differensialligning som lett løses ved å skrive den som ''dN''/''N'' = ''kdt''. Fra definisjonen av den [[naturlig logaritme|naturlige logaritme]] er derfor {{nowrap|ln(''N''/''N''<sub>0</sub>) {{=}} ''kt''&thinsp;}} når {{nowrap|''N''<sub>0</sub>&thinsp;}} er antallet ved begynnelesestidspunktet {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}. Denne formen til løsningen er ekvivalent med {{nowrap|''N''(''t''&thinsp;) {{=}} ''N''<sub>0</sub>''e''<sup>&thinsp;''kt''</sup>}}.

Uttrykket ''k'' = ''r''&thinsp;/&Delta;''t'' er konsistent med {{nowrap|''k'' {{=}} ln''g''&thinsp;/''T''}} som ble tidligere funnet for kontinuerlig vekst der vekstfaktoren ''g''&thinsp; gjelder for et endelig tidsintervall ''T''.  Men nå er {{nowrap|''T'' {{=}} &Delta;''t''&thinsp;}} svært liten slik at man tilnærmet også kan sette {{nowrap|ln''g'' {{=}} ln(1 + ''r''&thinsp;)}} = ''r&thinsp;'' da vekstraten ''r'' er så liten.

===Logistisk vekst===
[[Fil:Logistic-curve.svg|thumb|320px|right|Grafisk fremstilling av ''N''/''P'' for logistisk vekst med tidskonstant ''k'' =1. Tiden angis fra det tidspunktet der veksthastigheten er størst, det vil si der ''N''/''P'' = 1/2.]]

I virkeligheten kan ikke eksponentiell vekst fortsette i det uendelige. Blir det for mange mennesker i et land, kan det etter hvert bli for lite mat eller de blir boende så tett og usunt at stadig flere dør av sykdom. Dette betyr at vekstraten blir mindre ved et økende antall i populasjonen. Hvis denne reduksjonen er lineær, må man erstatte ''r'' med {{nowrap|''r''&thinsp;(1 - ''N''/''P''&thinsp;)}} hvor ''P'' er en ny konstant som er lik med den maksimale verdi ''N'' kan ta. Vekstligningen tar dermed formen

: <math> {dN\over dt} = kN\Big(1 - {N\over P}\Big) </math>

Dette er '''logistiske vekstligningen''' og har som viktigste egenskap at den eksponentielle veksten vil avta etter en stund og til slutt stoppe helt opp med en sluttverdi {{nowrap|''N {{=}} P''}}. Da ''dN''/''dt'' angir hastigheten av veksten, er høyresiden i ligningen et uttrykk for hvor stor den er for hver verdi av ''N''.<ref name = Kreyszig/> Det gir at veksten øker raskest når ''N'' har nådd  halvparten av maksimalverdien ''P'' og deretter vil avta mot null. Som funksjon av tiden vil derfor hastigheten starte ut fra null, nå et maksimum med ''N'' = ''P''/2 og så avta mot null igjen.

Differensialligningen kan løses eksakt med resultatet ved å skrive den på formen

: <math> {P dN\over N (P - N} = dN\Big({1\over N} + {1\over P - N}\Big) = k dt </math> 

Her kan vært ledd på venstresiden integreres ved hjelp av den naturlige logaritmefunksjonen. På den måten finner man løsningen

: <math> N(t) = {N_0 P e^{kt}\over P + N_0(e^{kt} - 1)} </math> 

der ''N''<sub>0</sub> igjen er antallet ved tidspunktet ''t'' = 0. Den beskriver en eksponentiell vekst ved tidlige tidspunkt. Senere flater den etterhvert ut og nærmer seg ''P'' når ''t'' er blitt mye større enn den karakteristiske tiden {{nowrap|1/''k''}} som bestemmer hastigheten til veksten.<ref name = W> E.W. Weisstein,  [https://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html ''Logistic Equation''],  Wolfram MathWorld</ref>

Denne logistiske tidsutvikling er viktig i [[populasjonsdynamikk]] og er et speilbilde av Fermi-Dirac-fordelingen i [[statistisk fysikk]].

===Polynomial vekst===

Eksponentiell vekst er karakterisert ved at vekstraten hele tiden er den samme. Dette er forskjellig fra hva som skjer i en prosess hvor antallet vokser som et [[polynom]] med tiden. Hvis dette er av grad ''p'', har man da ved sene tidspunkt at

: <math> N(t) = a t^p </math>

hvor ''a'' er en konstant.  Dette representrerer lineær vekst når ''p'' = 1,  kvadratisk vekst for ''p'' = 2 og så videre. Vekstraten ved hvert tidspunkt er nå

: <math> {1\over N}{dN\over dt} = {p\over t} </math>

Den er ikke konstant, men avtar med tiden. På lignende måte varierer også fordoblingstiden ''t''<sub>&thinsp;2</sub> for en slik polynomial vekst. Den er nå gitt ved

: <math> \ln \big(1 + {t_2\over t}\big) = {\ln 2\over p} </math>

Da høyresiden her er en konstant mindre enn 1, har man tilnærmet at ''t''<sub>&thinsp;2</sub> = ln&thinsp;2''t''&thinsp;/''p'' og øker derfor proporsjonalt med tiden. Det tar lengre og lengre tid for at antallet i populasjonen vil fordobles, mens ved eksponentiell vekst forblir denne tiden den samme.

==Referanser==
<references />

==Se også==
* [[SIR-modell]]en
* [[Populasjonsdynamikk]]
* [[Moores lov]]

==Eksterne lenker==

* NDLA, [https://ndla.no/subjects/subject:29/topic:1:164953/topic:1:186074/resource:1:90631 ''Eksponentiell vekst''] {{Wayback|url=https://ndla.no/subjects/subject:29/topic:1:164953/topic:1:186074/resource:1:90631 |date=20200327152411 }}, norsk fagartikkel
* Institutt for Biovitenskap, [https://www.mn.uio.no/ibv/tjenester/kunnskap/plantefys/leksikon/l/logistisk.html ''Logistisk vekst''], Universitetet i Oslo.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Funksjoner]]
[[Kategori:Matematisk modellering]]