Redigerer Diracs deltafunksjon

[[Image:Dirac distribution PDF.svg|thumb|Skjematisk av deltafunksjonen i origo med en verdi som går mot uendelig.]]
'''Diracs deltafunksjon''' med betegnelse ''&delta;(x)'', er en såkalt generalisert funksjon. Den ble innført av den engelske fysiker [[Paul Dirac]] i hans grunnleggende arbeid innen [[kvantemekanikk]]. Siden har den fått mange andre anvendelser innen moderne naturvitenskap og teknikk. I [[signalbehandling]] blir den omtalt som '''enhetspulsen''' eller '''impulsfunksjonen'''.

Multipliseres deltafunksjonen med en vilkårlig funksjon ''f(x)'' og integeres så produktet over hele den reelle tall-linjen, gir det verdien av denne funksjonen i origo,

: <math> \int_{-\infty}^{+\infty} \! dx \,\delta(x) f(x) = f(0)  </math>

Dette integralet kan betraktes som en definisjon av ''&delta;(x)''. I det spesielle tilfellet at ''f(x) = 1'', ser man at integralet av deltafunksjonen alene gir en. Den er null overalt på den reelle tall-linjen unntatt i origo ''x = 0''. I  dette punktet må derfor deltafunksjonen ha en uendelig stor verdi. Den kan derfor ikke være noen vanlig funksjon da en som kun eksisterer i et punkt, ikke kan ha et integral forskjellig fra null. Derfor kalles den en generalisert funksjon eller [[distribusjon]].

==Egenskaper==
De fleste av deltafunksjonens egenskaper kan utledes fra integralet som definerer den.<ref name = MF>  P.A. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York, (1953).</ref> Ved et enkelt skifte av variabel finner man 

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(y)\,\frac{dy}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}</math>

slik at man har

: <math>\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{|\alpha|}.  </math>

Herav følger også at den er en like funksjon ''&delta;(-x) = &delta;(x)'' som forventet. Videre følger fra definisjonen at ''x&delta;(x) = 0'' og at

: <math> \int_{-\infty}^{+\infty} \! dx \,\delta(x - a) f(x) = f(a)  </math>

som sees ved å skifte variabel ''x &rarr; x + a'' i integralet. Man kan også definere den deriverte av deltafunksjonen ved

: <math>  \int_{-\infty}^{+\infty} \! dx \,\delta'(x - a) f(x) = - f'(a)  </math>

som følger fra integralet over ved en partiell integrasjon.

En videre utvidelse er å betrakte deltafunksjonen av en funksjon ''g(x)''. Da vil  ''δ(g(x))''  = 0 hvis  ''g(x)'' ikke har noe røtter.  Har den derimot en reell rot i ''x''<sub>0</sub>, så vil

: <math>\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.</math>

Det følger fra å skrive ''g(x) = g(x<sub>0</sub>) + g'(x<sub>0</sub>)(x - x<sub>0</sub>) + ...'' i nærheten av punktet ''x<sub>0</sub>'' hvor ''g(x<sub>0</sub>) = 0''. Har ''g(x)'' flere slike røtter, så vil 

:<math>\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math>

Som et eksempel, vil man derfor ha at

:  <math>\delta(x^2-\alpha^2) = \frac{1}{2|\alpha|}\Big[\delta(x+\alpha)+\delta(x-\alpha)\Big].   </math>

==Definert som grense av en vanlig funksjon==
[[Image:Dirac function approximation.gif|right|frame|Deltafunksjonen ''&delta;(x)'' oppstår i grensen hvor bredden til den normerte Gauss-funksjonen går mot null.]]
Deltafunksjonen kan defineres som en  grense av en vanlig funksjon.<ref name = BJ> B.H. Brandsen and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, Harlow, Essex (2000),  ISBN 0-582-35691-1.</ref> På den måten kan man utvikle en bedre forståelse av funksjonen samtidig som man lettere kan demonstrere flere viktige egenskaper som kan benyttes i praktiske anvendelser.

===Rektangulær funksjon===

En rektangulær funksjon med bredde  ''&epsilon;'' sentrert om origo, er definert ved

: <math>\delta_\epsilon (x) = \begin{cases} 0 , & x < -\epsilon/2, \\ 1/\epsilon, & -\epsilon/2 < x  < \epsilon/2, \\ 0 & x > \epsilon/2. \end{cases}</math>

Integrert over ''x''-aksen gir den opplagt en da det er arealet av dette rektangelet. Nå kan deltafunksjonen defineres som

: <math> \delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x)  </math>

og vil ha de ønskede egenskaper. Men den egner seg ikke for nærmere analytiske studier.

===Gauss-funksjon===
En bedre definisjon av deltafunksjonen får man ved å benytte [[Normalfordeling|Gauss-funksjonen]]. Normeres den slik at arealet under denne ''klokkekurven'' er en, vil den akkurat ha egenskapene til ''&delta;(x)'' i grensen hvor dens bredde ''a'' går mot null. Matematisk betyr det at

: <math>\delta(x) =  \lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{\pi}}\, e^{-x^2/a^2} </math>

hvor denne grensen er illustrert i animasjonen til høyre. Dette er opplagt en like funksjon ''&delta;(x) = &delta;(-x)''. Videre sees at  ''&delta;(&alpha;x) =  &delta;(x)/&alpha;'' ved å skalere bredden ''a'' med den samme faktoren.

===Lorentz-funksjon===

En lignende klokkeform har også [[Lorentz-funksjonen]].<ref name = MF/> I grensen hvor dens bredde går mot null, finner man igjen deltafunksjonen

: <math>  \delta(x) = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^{2}+\epsilon^{2}}   </math>

med de ønskede egenskapene.

Denne definisjonen kan også benyttes til å utlede et meget nyttig uttrykk for ''&delta;(x)''. Det følger fra det konvergente integralet

: <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\!dk e^{ikx - \epsilon|k|}  = {1\over ix + \epsilon}  -  {1\over ix - \epsilon}   = {2\epsilon\over x^2 + \epsilon^2} </math>

Nå ved å ta grensen ''&epsilon; &rarr; 0'' på begge sider, har man at

: <math> \delta(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}\!{dk\over 2\pi} e^{ikx}  </math>

Integralet på høyre side er ikke lenger helt veldefinert, noe som reflekterer at ''&delta;(x)'' ikke er noen vanlig funksjon.

==Høyere dimensjoner==

Ved å for eksempel betrakte et tredimensjonalt rom med kartesiske koordinater, vil et punkt '''x''' være angitt ved de tre koordinatene ''(x,y,z)''. Man kan da definere en deltafunksjon i dette rommet som ''&delta;('''x''') = &delta;(x)&delta;(y)&delta;(z)''. For en vilkårlig funksjon ''f('''x''')'', har den nå den fundamentale egenskapen at

: <math> \int\!d^3x f(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') = f(\mathbf{x}')   </math>

hvor integralet går over hele rommet. Fra definisjonen i en dimensjon, følger at man i tre dimensjoner kan skrive

: <math> \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') = \int\!{d^3k\over (2\pi)^3} e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')}  </math>

Denne funksjonen kan brukes til å matematisk beskrive hva man mener med et punktmasse eller punktladning i fysikken.<ref name = MW> J. Mathews and R.L. Walker, ''Mathematical Methods of Physics'',  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.</ref> For eksempel, hvis man har en punktladning ''Q'' liggende i et punkt '''x'''', så tilsvarer det en ladningstetthet

: <math> \rho(\mathbf{x}) = Q \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

Den er null i alle punkt unntatt i punktet  '''x'''' hvor den formelt nå er uendelig stor. I dette rommet er derfor  den totale ladning ''&int; d<sup>3</sup>x&rho;('''x''') = Q''. Dette er meget nyttig i [[elektrodynamikk]]en hvor man da kan beskrive effekten av utstrakte ladningsfordelinger som oppbygd av diskrete punktladninger.<ref name = Jackson> J.D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1962).</ref>

==Referanser==
<references />

==Litteratur==

* P. A. M. Dirac, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Dover Publications, New York (2001).
* J. R. Pierce, ''An Introduction to Information Theory'', Dover Publications, New York (1980).

==Eksterne lenker==

* E.W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html ''Delta Function''], MathWorld.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Funksjoner]]
[[Kategori:Digital signalbehandling]]
[[Kategori:Kvantemekanikk]]