Redigerer Determinant

[[Fil:Parallelepiped volume.svg|thumb|right|Volumet til [[parallellepiped]]et er gitt ved determinanten det('''a, b, c''').]]

'''Determinanten''' til en kvadratisk matrise er et reelt eller komplekst tall entydig bestemt av elementene i matrisen.  Mer presist kan en si at determinanten er en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] med [[definisjonsmengde]] lik mengden av alle kvadratiske matriser og med [[verdimengde]] lik mengden av reelle eller komplekse tall.

Determinanten til matrisen ''A'' betegnes ofte ''det A'' eller ''det(A)''. Notasjonen |''A''| brukes også for determinanten, men det er lett å forveksle denne med [[absoluttverdi]]en av matrisen. Ønsker en å presisere elementene i matrisen skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:

:<math> \operatorname{det}\, A=
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}
  \end{vmatrix}
</math>

Generelt kan determinanten defineres ved hjelp av ''Laplaces formel'' eller ved ''Leibniz’ formel'', begge beskrevet i mer detalj i påfølgende avsnitt.

== Eksempler ==

[[Fil:Area_parallellogram_as_determinant.svg|thumb|200px|Arealet til [[parallellogram]]met er gitt som en determinant.]]

Determinanten til en 2×2 [[matrise]] ''M'' er definert ved

:<math> \det{M} =
  \begin{vmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{vmatrix}  = ad - bc
</math>

Dette er arealet ''A'' av et [[parallellogram]] med [[vektor (matematikk)|vektorene]] '''u''' = (''a,b'') og '''v''' = (''c,d'') som sidekanter. På kompakt form kan dets areal derfor skrives som ''A'' = det('''u, v''').

===3×3-matrise===
Determinanten til en 3×3-matrise M er definert ved

:<math>\operatorname{det}\, M=\begin{vmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg.
</math>

Denne formelen blir noen ganger omtalt som ''Sarrus’ regel''.  Definerer en tre vektorer '''u''' = (''a,b,c''), '''v''' = (''d,e,f'') og '''w''' = (''g,h,i''), så danner de til sammen et [[parallellepiped]]. Dets volum er da gitt ved determinanten ''V'' = det(''M''). Den kan skrives som det  [[Vektorprodukt#Trippelprodukt|skalare trippelprodukt]] {{nowrap|''V'' {{=}} ('''u'''&thinsp;&times;&thinsp;'''v''')&sdot;&thinsp;'''w'''}} = {{nowrap|'''u'''&thinsp;&sdot;(&thinsp;'''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''w''') {{=}}  det('''u,v,w''')}}.

== Definisjon ved Laplaces formel ==
La <math>\begin{vmatrix} a_{ij}\end{vmatrix}</math> være determinanten til matrisen ''A'', og la 
<math>M_{kl} = \begin{vmatrix} a_{ij}; k,l \end{vmatrix}</math> være determinanten til den matrisen en får ved å stryke rekke ''k'' og kolonne ''l'' i den opprinnelige matrisen ''A''. Determinanten <math>M_{kl}</math> kalles ''minoren'' til matrise-elementet <math>a_{ij}</math>.  Tilsvarende er ''kofaktoren'' <math>T_{kl}</math> til matrise-elementet lik minoren med en fortegnsmodifikasjon:

:<math>T_{kl} = (-1)^{k+l} \begin{vmatrix} M_{kl} \end{vmatrix}  \, </math>

Laplace-ekspansjon av determinanten basert på en vilkårlig kolonne ''j'' er gitt ved

:<math>\operatorname{det}\, A = \sum_{k=1}^n a_{kj} T_{kj}</math>

Tilsvarende formel gjelder for en vilkårlig rekke ''i'':

:<math>\operatorname{det}\, A = \sum_{k=1}^n a_{ik} T_{ik}</math>

== Definisjon ved Leibniz’ formel ==
Leibniz’ formel for determinanten til en matrise ''A'' har forma

:<math>\operatorname{det}\, A = \sum_{p \in S_n} \sgn(p) \prod_{i=1}^n A_{i,p(i)}.</math>

Summasjonen skal utføres over alle [[permutasjon]]er ''p'' av tallene {{nowrap|{1, 2, ..., ''n''}.}}  En permutasjon er en funksjon som re-organiserer rekkefølgen til denne heltallsmengden.  Fra [[kombinatorikk]] er det kjent at det eksisterer [[fakultet (matematikk)|{{nowrap| n fakultet}}]] ''n''! = 1 · 2 · 3 · ... ·''n'' slike permutasjoner.  Mengden av alle permutasjoner danner en [[gruppeteori|gruppe]] og har vanligvis betegnelsen ''S<sub>n</sub>''.  For en vilkårlig permutasjon ''p'' er sgn(''p'') dens fortegn eller «signatur»  med verdien +1 dersom permutasjonen er ''jevn'' og lik −1 dersom permutasjonen er ''odde''.

== Egenskaper ==
* Determinanten til en matrise der en kolonne eller en rad inneholder bare nullelement er lik null.
* Determinanten til en [[identitetsmatrise]] er lik 1.  
* Dersom to rekker eller kolonner i matrisen bytter plass, så vil determinanten skifte fortegn.
* Dersom hvert element i en rekke eller en kolonne blir multiplisert med en skalar ''k'', så vil determinanten bli multiplisert med samme faktor.
* Determinanten er uendret dersom man til en rekke eller en kolonne adderer til et multiplum av en annen rekke eller kolonne.
* Determinanten til den transponerte matrisen <math>A^T</math> er lik determinanten til matrisen ''A''.
* Dersom to rekker eller kolonner i matrisen er [[lineær uavhengighet|lineært avhengige]] vil determinanten være lik null.  Et spesialtilfelle av dette er dersom matrisen har to like rekker eller kolonner.
* En matrise er ikke-singulær hvis og bare hvis determinanten er ulik null.
* En matrise er invertibel hvis og bare hvis determinanten er ulik null.
* ''Similære matriser'' har lik determinant.

== Bruk av determinanter ==
Løsningen til et lineært ligningssystem kan skrives eksplisitt ved hjelp av determinanter og [[Cramers regel]].

Det karakteristiske polynomet <math>p(x)</math> til matrisen A er definert ved ligningen

:<math>p(x) = \operatorname{det}\, (A - Ix) \, </math>

der ''I'' er identitetsmatrisen med samme dimensjon som ''A''.  [[Rot til en ligning|Røttene]] i det karakteristiske polynomet er [[egenverdi]]ene til ''A''.

Volumet til et [[parallellepiped]] utspent av tre [[Vektor (matematikk)|vektorer]] er lik [[absoluttverdi]]en av determinanten til 3x3 matrisen definert ved  de tre vektorene.

==Se også==

* [[Levi-Civita-symbol]]et

==Litteratur==

* S. MacLane and G. Birkhoff, ''Algebra'', MacMillan Publishing Co., New York (1979). ISBN 0-02-978830-7.
* G. Fisher, ''Lineare Algebra'', Springer Spektrum, Wiesbaden (2008). ISBN 978-3-658-03944-8.

{{Lineær algebra}}
{{Matematikk}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Determinanter| ]]