Redigerer Det annet arealmoment

{{Kildeløs|Helt uten kilder.|dato=10. okt. 2015}}
'''Det annet arealmoment''' ('''I''', ofte feilaktig kalt ''treghetsmomentet''; I denne sammenhengen handler det om arealtreghetsmomentet, og ikke massetreghetsmomentet som brukes i [[dynamikk]]. Se [[treghetsmoment]].) beregnes for [[bjelketverrsnitt]] og andre geometriske former, ved integrasjon over tverrsnittet:

<math>I=\int\limits_A y^2\, dA</math>

I vanlig praksis brukes formler som er beregnet for standardprofiler, og noen eksempler er gitt under.

== Rektangulært tverrsnitt ==
Integralet løses på følgende måte for et rektangulært tverrsnitt:

<math>I_x=\int\limits_{-h/2}^{h/2} y^2\, b dy = {\left [ \frac{y^3 b}{3} \right  ]}_{-h/2}^{h/2} = \frac{b h^3}{12}  </math>

der h er høyden, og b er bredden av det rektangulære tverrsnittet. I<sub>x</sub> blir da annet arealmoment om x-aksen i senteret C.


[[Fil:rectangular_section.jpg|Rektangulært tverrsnitt]]

== Sirkulært tverrsnitt ==
Integralet er ikke vist her, men et rørtverrsnitt beregnes fra <math>I=\frac{\pi D^4}{64}</math>, der D er ytterdiameteren

== Rørtverrsnitt ==
<math>I=\frac{\pi}{64}(D^4-d^4)</math>

der D er ytterdiameteren, og d er innerdiameteren.

== Steiners teorem ==
Dersom du har et tverrsnitt som er sammensatt av flere arealer som ikke ligger på samme akse som tyngdepunktet av arealet, er det vanlig å bruke Steiners teorem for å beregne annet arealmoment, kalt [[parallellakseteoremet]], eller Steiners Sats.

<math>I_z = I_x + Ad^2.\,</math>, der I<sub>x</sub> er annet arealmoment for arealet som ligger på en parallell akse utenfor arealsenteret (i akse z), d er avstanden fra arealsenteret i akse z til arealsenteret av A.

[[Fil:Parallelaxes.svg|400px|Steiners teorem for beregning av annet arealmoment]]

== Anvendelse av annet arealmoment ==
En vanlig anvendelse av annet arealmoment er ved beregning av bøyespenningen, <math>\sigma_b</math> i en bjelke.

<math>\sigma_b = \frac{M}{I}y</math>

der ''M'' er momentet, ''I'' er annet arealmoment og y er avstanden fra arealsenteret til punktet der du ønsker å beregne spenningen.

== Motstandsmomentet ==
Et annet vanlig begrep i bjelkeberegninger er motstandsmomentet eller tverrsnittsmodulen (Engelsk: Section [[modulus]]), og benevnes ofte ''W''. I vanlig praksis beregnes største bøyespenning <math>\sigma_b</math> fra 

<math> \sigma_b = \frac{M}{W}</math>, der <math>W = \frac {I} {y} = \frac {I} {h/2}</math>

siden arealsenteret til tverrsnittet vanligvis ligger i midten av tverrsnittet, og følgelig er avstanden fra senteret av tverrsnittet til ytterste fiber lik h/2.

Motstandsmomentet for noen vanlige tverrsnitt er gitt under


'''Rektangulært tverrsnitt'''

<math>W_x = \frac {bh^2}{6}</math>

b = bredden, h = høyden
Her gjelder bøying om x-akse

[[Fil:Bending_rectangular_section.jpg|Rektangulært tverrsnitt]]


'''Sirkulært tverrsnitt'''

<math>W = \frac {\pi D^3}{32}</math>

D = diameteren


'''Rørtverrsnitt'''

<math>W = \frac {\pi}{32 D}(D^4 - d^4)</math>

D = ytterdiameter, d = innerdiameter

[[Fil:Pipe_section_modulus.jpg|Rørtverrsnitt]]
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Klassisk mekanikk]]