Redigerer De Broglies bølgelengde

[[Fil:Elektronenbeugung - DS7 6133 PK.jpg|mini|Bilde av [[interferens]] mellom [[elektron]]er som  går gjennom en [[krystall]].]]
'''De Broglies bølgelengde''' er i [[kvantefysikk]]en en [[bølgelengde]] som kan tilordnes alle massive partikler som beveger seg. Enhver slik partikkel er derfor knyttet til en tilsvarende  '''materiebølge'''. Denne  fundamentale egenskapen danner grunnlaget for [[bølge-partikkel-dualitet]]en som er det sentrale innholdet av både [[kvantemekanikk]]en og [[kvantefeltteori]]en.

For en partikkel med [[bevegelsesmengde|impuls]] ''p'' er de Broglies bølgelengde

: <math> \lambda = {h\over p} </math>

hvor ''h'' er [[Plancks konstant]]. Formelen er også gyldig når partikkelen beveger seg med [[spesiell relativitet|relativistiske]] hastigheter som nærmer seg [[lyshastigheten]].

Dette uttrykket for bølgelengden ble utledet av den [[fransk]]e [[fysiker]] [[Louis de Broglie]] i 1924 basert på lovmessigheter som tidligere var funnet av [[Max Planck]] og [[Albert Einstein]]. Bare noen få år senere ble denne bølgeegenskapen ved partikler eksperimentelt påvist ved [[diffraksjon]] av [[elektron]]er som ble sendt mot [[krystall]]er. Nøyaktige målinger som også omfattet andre partikler, bekreftet innholdet i den matematiske formelen til de Broglie.

En [[bølgeligning]] for slike materiebølger ble utledet av den [[Østerrike|østerrikske]] fysiker [[Erwin Schrödinger]] i 1926. Den gjelder for ikke-relativistiske partikler. For relativistiske partikler med [[spinn]] ''S'' = 1/2 gjelder [[Dirac-ligning]]en, mens relativistiske partikler uten spinn er beskrevet ved [[Klein-Gordon-ligning]]en. Denne ble også først funnet av Schrödinger, men forkastet da den ikke syntes å stemme med egenskapene til [[hydrogenatom]]et.

==Opprinnelig utledning==
Allerede i [[1905]] hadde [[Albert Einstein]] foreslått at energien i en lysbølge med frekvens ''&nu;'' er konsentrert i små [[kvant]] med energi {{nowrap|''E {{=}} h&nu;''}} hvor ''h'' er [[Plancks konstant]]. Dette forklarte egenskaper ved den [[fotoelektrisk effekt|fotoelektriske effekt]], og han ble for dette belønnet med [[Nobelprisen i fysikk]] i [[1921]]. Da var det blitt klart at disse kvantene måtte betraktes som vanlige partikler da Einstein hadde vist at de også har en veldefinert [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|''p {{=}} h''/''&lambda;''}} hvor {{nowrap|''&lambda; {{=}} c/&nu;''}} er bølgelengden til lyset. Disse lyspartiklene kalles i dag for [[foton]]er.<ref name = Pais>A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>

I sin opprinnelige utledning betraktet de Broglie en partikkel med masse ''m'' i sitt hvilesystem. Som følge av Einsteins [[masseenergiloven|masseenergilov]]  har partikkelen derfor energien {{nowrap|''E {{=}} mc''<sup>2</sup>}}. Ved å anta at hva som gjelder for et foton også må gjelde for en partikkel, kunne han dermed tilordne denne partikkelen en frekvens som generelt må være {{nowrap|''&nu; {{=}} E''/''h''}} og representerer en [[harmonisk oscillator|oscillasjon]] i partikkelen. Når den så beveger seg, viste han ved bruk av den [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteorien]] at den blir fulgt av en [[bølge]] i samme retning og med [[bølgelengde]] {{nowrap|''&lambda; {{=}} h''/''p''.}} Her er  ''p''  [[spesiell relativitet#Relativistisk impuls|impulsen]] til partikkelen som generelt kan skrives som {{nowrap|''p {{=}} &gamma;mv''}} når den har hastighet ''v'' og {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} 1/&radic;(1 - ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup>)}} er [[Spesiell relativitetsteori|Lorentz-faktoren]]. De Broglies bølgelengde er derfor

: <math> \lambda = {h\over mv}\sqrt{1 - v^2/c^2} </math>

Denne materiebølgen  har en [[fasefart|fasehastighet]] ''u'' = ''&lambda;&nu;&thinsp;'' = ''E''/''p'' der energien nå er {{nowrap|''E'' {{=}} ''&gamma;mc''<sup>2</sup>,}} for partikkelen i bevegelse. Fasehastighten til bølgen er derfor i alminnelighet forskjellig fra partikkelens fysiske hastighet ''v'' og er gitt som {{nowrap|''u {{=}} c''<sup>2</sup>/''v''}}. Den er alltid større enn lyshastigheten. Kun for fotonet med {{nowrap|''v {{=}} c''}} blir fasehastigheten den samme som partikkelhastigheten.<ref name = Born>M. Born, ''Atomic Physics'', Blackie & Son, Glasgow (1935).</ref>.

Samme fasehastighet ble funnet av [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] i hans [[Hamilton-mekanikk#Fronter av bølger|bølgebeskrivelse]] av [[Lagrange-mekanikk|klassisk mekanikk]]. Selv om hans utgangspunkt var ganske annerledes enn de Broglies, skulle det vise seg at hans betraktninger likevel skulle spille en viktig rolle i den videre utvikling av kvantemekanikken.

===Bølgevektor===

Materiebølgen for en  partikkel med impuls ''p'' har en bølgelengde ''&lambda; = h''/''p'' og derfor et [[bølge#Harmoniske bølger|bølgetall]] {{nowrap|''k'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;''.}} Det kan skrives som {{nowrap|''k {{=}} p''/''ħ''&thinsp;}} der {{nowrap|''ħ {{=}} h''/2''&pi;''&thinsp;}} er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Da bølgen beveger seg i samme retning som impulsvektoren '''p''', er den tilsvarende bølgevektoren gitt som '''k''' = '''p'''/''ħ''. [[Vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''&omega;'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;&nu;''&thinsp;}} til bølgen kan på samme måte skrives som {{nowrap|''&omega; {{=}} E''/''ħ''&thinsp;}} da {{nowrap|''&nu; {{=}} E''/''h''}}.

I den [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteorien]] utgjør energien ''E'' og impulsen '''p''' til en fri partikkel en [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|firevektor]] som blir

: <math> p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) = \hbar (\omega/c, \mathbf{k})  =  \hbar  k^\mu</math>

hvor  bølgefirevektoren ''k<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' karakteriserer dens materiebølge.  Denne kovariant sammenhengen mellom impuls og bølgetall gjelder også for et [[foton]] som har null masse. En [[bølge#Plane bølger|plan bølge]] på formen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} = e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} </math>

beskriver derfor likså godt [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetiske bølger]] som materiebølger. Her kan nå fasen til bølgen skrives på [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|kovariant]] form som  {{nowrap|''k<sup>&mu;</sup>x<sub>&mu;</sub>&thinsp;''}} der firevektoren  {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''ct'', '''x''')}} og man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over like indekser.

===Gruppehastighet===
[[Fil:Photon paquet onde.png|thumb|right|[[Louis de Broglie]] foreslo i 1924 at en [[bølgepakke]] kan beskrive en materiell partikkel.]]

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske som [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetiske bølger]] for fotonet. Men når bølgen har en gitt bølgelengde tilsvarende en gitt impuls for partikkelen, strekker den seg ut over hele rommet, mens partikkelen har en bestemt posisjon. Denne konflikten omtales som en [[bølge–partikkel-dualitet]].

For å forstå hvordan en lokalisert partikkel kan beskrives ved hjelp av bølgeformalismen, forslo de Broglie at den skulle tilsvare en  [[bølgepakke]] av plane bølger. 
En slik pakke beveger seg med en  [[gruppefart|gruppehastighet]] {{nowrap|''v<sub>g</sub> {{=}} d&omega;/dk''&thinsp;}} som nå kan skrives som {{nowrap|''v<sub>g</sub> {{=}} dE/dp''}}.

For en [[Spesiell relativitet#Relativistisk impuls|relativistisk partikkel]] er sammenhengen mellom  energi og impuls i alminnelighet

: <math> E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 </math>

Derfor er  ''EdE = c''<sup>2</sup>''pdp'' slik at gruppehastigheten blir {{nowrap|''v<sub>g</sub>'' {{=}} ''c''<sup>2</sup>''p''/''E''.}} Nå kan man i alminnelighet  også skrive energien som {{nowrap|''E'' {{=}} ''&gamma;mc''<sup>2</sup>}} og impulsen som {{nowrap|''p {{=}} &gamma;mv''}} slik at gruppehastigheten blir {{nowrap|''v<sub>g</sub>'' {{=}} ''v''}} og er lik den fysiske hastigheten.

Uttrykket {{nowrap|''c''<sup>2</sup>''p''/''E''&thinsp;}} for gruppehastigheten gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighet ''v << c''&thinsp; slik at dens energi blir

: <math> E = mc^2 + {p^2\over 2m} </math>

Dropper man her hvileenergien ''mc''<sup>2</sup>, er fortsatt gruppehastigheten  ''v<sub>g</sub> =  dE/dp = p/m = v''. Men fasehastigheten til bølgen blir da {{nowrap|''u {{=}} E''/''p''}} = {{nowrap|''p''/2''m'' {{=}} ''v''/2}} og er derfor mindre enn lyshastigheten. Vanligvis har et konstant tillegg til energien ingen konsekvens i ikke-relativistisk fysikk. Men at det ikke gjelder for disse materiebølgene, er en annen indikasjon på at de ikke kan ha en virkelig eksistens.<ref name = Bohm>D. Bohm, ''Quantum Theory'', Dover Books, New York (1989).  ISBN 0-486-65969-0.</ref>

==Eksperimentell bekreftelse==
Allerede i sine første arbeid i 1923 diskuterte de Broglie muligheten for at bølgeegenskapene til materielle partikler kunne påvises eksperimentelt ved [[interferens]] eller [[diffraksjon]] som for mer vanlige bølger. Slike effekter avhenger sterkt av bølgelengden som blir spesielt stor for lette partikler. Et [[elektron]] med masse ''m&thinsp;'' som blir akselerert  ved å gjennomløpe en [[elektrisk potensial]]forskjell ''V'', får en impuls  gitt ved {{nowrap|''eV'' {{=}} ''p''<sup>2</sup>/2''m''&thinsp;}} der  -''e'' er den elektriske ladningen til elektronet. Dermed får den tilsvarende materiebølgen bølgelengden

: <math> \lambda = {h\over\sqrt{2meV}}= {1.23\over\sqrt{V}}\text{nm} </math>

når spenningsforskjellen ''V'' måles i [[Volt]]. For eksempel, når ''V'' = 100&thinsp;V, blir bølgelengden 0.123&thinsp;nm = 1.23&thinsp;[[Ångstrøm|Å]]. Dette er av samme størrelsesorden som avstanden mellom  de regulært plasserte [[atom]]ene i en [[krystall]]. De kan derfor benyttes til å påvise bølgeegenskapene til en elektronstråle på samme måte som for spredning av [[røntgenstråling]].<ref name = SMM>R.A. Serway, C.J. Moses and C.A. Moyer, ''Modern Physics'', Saunders Golden Sunburst Series, Philadelphia (1989). ISBN 0-03-029797-4.</ref>

Bruk av elektronstråler i mikroskop gjør det mulig å se mindre detaljer i et mikroskop. Mens et elektron med en [[kinetisk energi]] på 100&thinsp;[[eV]], kan skille to punkt med en avstand  0.123&thinsp;nm, vil bruk av elektromagnetisk stråling med fotoner av samme energi kun gi en oppløsning på 12.4&thinsp;nm. Det er derfor [[elektronmikroskop]] gjør det mulig å studere de aller minste egenskaper i forskjellige materialer.

Den aller første påvisning av bølgeegenskapene til elektroner ble gjort av de amerikanske fysikerne [[Clinton Davisson]] og [[Lester Germer]] i perioden 1925-1927. Uavhengig av dem ble en lignende undersøkelse utført av den engelske fysiker [[George Paget Thomson|George Thomson]] omtrent på samme tid. Han var sønn av [[Joseph John Thomson|J.J. Thomson]] som oppdaget elektronet i [[1897]]. De Broglie kunne presentere deres verifikasjon av den teoretiske bølgelengden allerede på [[Solvaykonferansen]] i 1927. Han fikk [[Nobelprisen i fysikk]] i [[1929]] for sin teori om materiebølger, mens Davisson og Thomson delte [[Nobel-prisen]] i fysikk i [[1937]] for deres eksperimentelle påvisning.<ref name = Pais/>

I årene som fulgte ble avbøyning av tyngre partikler som [[nøytron]]er og forskjellige [[atom]]er observert og funnet å stemme med de Broglies forutsigelser.<ref name = Born/>. Bølgeegenskapene ser ut til å være tilstede for alle partikler, uavhengig av deres masse. I nyere tid har man til og med påvist dette hos [[Buckminsterfullerener|buckminsterfullerenet]] C<sub>60</sub> som består av seksti [[karbonatom]]. Det ble gitt en hastighet på om lag 120&thinsp;m/s som tilsvarer en bølgelengde på {{nowrap|4.6&times;10<sup>-3</sup>&thinsp;nm}}. Partiklene ble sent mot et [[krystallstruktur|gitter]] laget av stående lysbølger med en gitteravstand på {{nowrap|257&thinsp;nm}}. En avbøyning på 18&thinsp;[[radian|&mu;rad]] ble observert i full overensstemmelse med de Broglies formel.<ref name = PRL>O. Nairz, B. Brezger, M. Arndt and A. Zeilinger, [https://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/stehwelle/standinglightwave.html ''Diffraction of Complex Molecules by Structures Made of Light''], Phys. Rev. Lett. '''87''', 160401 (2001).</ref>

==Bølgeligninger==

Idéene til de Broglie vakte stor interesse.  Ved en forelesning i [[Zürich]] nevnte den nederlandske fysiker [[Peter Debye|Debye]] at når det finnes en bølgelengde, må det også finnes en [[bølgeligning]].  [[Erwin Schrödinger]] hørte dette og gikk i gang med å finne en slik ligning.<ref name = Bloch>F. Bloch, ''Heisenberg and the early days of quantum mechanics'', Physics Today '''29'''(12), 23 -  27 (1976).</ref> Han tok utgangspunkt i  [[William Rowan Hamilton|Hamiltons]] formulering av [[Hamilton-mekanikk|klassisk mekanikk]] som han mente kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk.

===Schrödinger-ligningen===

[[Bølgeligning]]en for en [[bølge]] med [[amplitude]] &Psi;('''x''',''t'') og fasehastighet ''u'' er

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over u^2}\! \left({\partial\Psi\over\partial t}\right)^2 = 0   </math>

En materiebølge for en partikkel med energi ''E'' og impuls ''p'' har en frekvens {{nowrap|''&omega; {{=}} E/ħ''}}.  Bølgeamplituden vil derfor variere med tiden som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \psi(\mathbf{x}) e^{-i\omega t}  </math>

når man skriver den på [[komplekst tall|kompleks]] form hvor ''i'' = &radic;(-1) er den [[imaginær enhet]] og ''&psi;''('''x''') er den «stasjonære bølgefunksjonen». Da fasehastigheten er {{nowrap|''u {{=}} E''/''p''}}, går bølgeligningen over i  [[differensialligning]]en {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>''&psi;'' + (''p/ħ'')<sup>2</sup>''&psi;'' {{=}} 0}}. Den har samme form som [[Helmholtz-ligning]]en.

For en ikke-relativistisk partikkel som beveger seg i et statisk potensial ''V''('''x'''), er impulsen gitt ved ''p''<sup>2</sup> = 2''m''(''E - V'') slik at ligningen kan omskrives på formen

: <math> {-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi + V(\mathbf{x})\psi = E\psi </math>

Dette er [[Schrödingerligningen|bølgeligningen]] til Schrödinger han lanserte i [[1926]]. Kort tid etterpå viste han at den ga de riktige energiene for energinivåene i [[hydrogenatom]]et.<ref name = Hylleraas>E. Hylleraas, ''Matematisk og Teoretisk Fysikk, Vol. IV: Atomteori'', Grøndahl & Søns Forlag, Oslo (1952).</ref>

===Klein-Gordon-ligningen===

For en relativistisk partikkel følger impulsen fra ''p''<sup>2</sup> = (''E - V'')<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup> - ''m''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>. Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

: <math> \hbar^2\boldsymbol{\nabla}^2\psi + \Big({E - V\over c}\Big)^2\psi = m^2c^2\psi </math>

Denne ligningen hadde også Schrödinger funnet, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene i [[hydrogenatom|H-atomet]]. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene av [[spinn]]et til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen av [[Diracligningen|Dirac-ligningen]].<ref name = Pais/>

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialet ''V'' = 0. Da energien kan finnes ved å la operatoren ''iħ''&thinsp;&part;/&part;''t'' virke på den tidsavhengige bølgefunksjonen, kan den relativistiske ligningen skrives som

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over c^2}{\partial^2\Psi\over\partial t^2} = \Big({mc\over\hbar}\Big)^2\Psi </math>

Den ble etterhvert kalt for [[Klein-Gordon-ligning]]en etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengden {{nowrap|''&lambda;<sub>C</sub> {{=}} ħ/mc''}} som er den reduserte [[Comptoneffekten|Compton-bølgelengden]] for partikkelen. Ved bruk av [[Kovariant relativitetsteori|kovariant notasjon]], kan man skrive denne bølgeligningen som {{nowrap|(&part;<sup>''&mu;''</sup>&part;<sub>''&mu;''</sub> + (''mc/ħ'')<sup>2</sup>)&Psi; {{=}} 0&thinsp;}} hvor den kovariante deriverte er {{nowrap|&part;<sub>''&mu;''</sub> {{=}} &part;/&part;''x<sup>&mu;</sup>''}} =
(&part;/&part;''ct'',&thinsp;'''&nabla;'''&thinsp;). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant under [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-transformasjoner]] som alle relativistiske bølgeligninger må være.<ref name = BjorkenDrell>J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill, New York (1964). ISBN 0-07-005493-2.</ref>

==Interpretasjon av bølgefunksjonen==

Materiebølgene som de Broglie hadde forseslått og beskrevet ved bølgefunksjoner &Psi;('''x''',''t'') som følger fra Schrödingers ligning, var opprinnelig ment å være fysiske bølger som skulle erstatte det gamle bildet av partikler som små, harde kuler. Schrödinger hadde også den første tiden et slikt håp. Hver partikkel skulle kunne beskrives med sin bølge. Kvadratet av bølgefunksjonen skulle være et uttrykk for tettheten av [[masseenergiloven|energi/masse]] i et punkt i rommet på samme måte som kvadratet av det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] gir den elektriske energitettheten i rommet.

Men allerede på slutten av året [[1926]] var det klart at dette klassiske bølgebildet ikke kunne være riktig. [[Max Born]] foreslo at den [[komplekse tall|komplekse]] bølgefunksjonen  er en '''sannsynlighetsamplitude''' hvor det [[reelt tall|reelle]] produktet &Psi;<sup>*</sup>&Psi;('''x''',''t'') gir sannsynligheten for å finne partikkelen i punktet '''x''' ved tiden ''t''. Med en slik interpretasjon har  den ikke  noen veldefinert posisjon før denne blir målt. Dette er direkte i motstrid med det klassiske bildet av en partikkel.

På samme måte finnes det tilsvarende en sannsynlighetsamplitude  &Psi;('''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, '''x'''<sub>3</sub>, ...,''t'') som beskriver  en samling av flere partikler. Denne ene funksjonen har i alminnelighet lite å gjøre med en vanlig bølgebeskrivelse i vårt 3-dimensjonale rom. Den oppfyller den generelle [[Schrödingerligningen|Schrödinger-ligningen]] og tar komplekse verdier basert på konfigurasjoner i et multidimensjonalt «konfigurasjonsrom». Det er med denne [[København-interpretasjonen]] at moderne kvantemekanikk i dag blir forstått av de fleste.<ref name = Griffiths>D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

En alternativ interpretasjon ble lansert av de Broglie allerede ved Solvay-konferansen i 1927 og tatt opp igjen av [[David Bohm]] i 1952.<ref name = Smolin>L. Smolin, ''Einstein's Unfinished Revolution'', Penguin Press, New York (2019). ISBN 978-1-5942-0619-1.</ref> Denne gir en mer «realistisk» beskrivelse av kvantefenomen ved at hver partikkel følger en bestemt bane '''x'''(''t'') som i det klassiske bildet. Den er styrt av bølgefunksjonen som dermed gir en bevegelse som er forskjellig fra den som følger fra [[Newtons lover]]. Bølgefunksjonen er derfor en [[Kvantemekanisk pilotbølge|pilotbølge]] som reflekterer den eksperimentelle usikkerheten som ligger i å bestemme posisjonen til partikkelen. Selv om denne interpretasjonen fortsatt har noen tilhengere, har den fått lite gjennomslag.

Det som i dag ligger tettest opp til den opprinnelige beskrivelsen av partikler som materiebølger i moderne kvantemekanikk, er [[kvantefeltteori]] hvor partiklene opptrer som [[kvant]] av et klassisk [[felt (fysikk)|felt]] {{nowrap|&Phi;('''x''',''t'')}}. Dette oppfyller sin egen feltligning som er en [[bølgeligning]]. [[Maxwells ligninger]] er de klassiske feltligningene for [[foton]]et, [[Dirac-ligning]]en er feltligningen for elektronet og [[fermion]]er med [[spinn]] {{nowrap|''S'' {{=}} 1/2}}, mens [[Klein-Gordon-ligning]]en beskriver [[Higgs-boson|Higgs-partikkelen]] og andre partikler uten spinn. De tilsvarende feltfunksjonene kan nå betraktes som en slags materiebølger. Men til forskjell fra de opprinnelige idéene til de Broglie og Schrödinger, så er det nå kun ett felt for alle partikler av samme sort. For eksempel beskriver [[Kvantefeltteori|Dirac-feltet]] alle elektroner og deres antipartikler ([[positron]]ene) i hele Universet. Det er derfor alle elektroner er like, uansett hvor de finnes.<ref name = Griffiths/>

==Termisk bølgelengde==

Fra klassisk, [[kinetisk teori]] vet man at i en samling identiske partikler med masse ''m'' i [[termisk likevekt]] ved [[absolutt temperatur]] ''T&thinsp;'' har hver partikkel en midlere energi av størrelsesorden {{nowrap|''k<sub>B</sub>T''&thinsp;}} hvor ''k<sub>B</sub>''&thinsp; er [[Boltzmanns konstant]]. Det tilsvarer at partikkelen har en typisk impuls gitt ved {{nowrap|''p''<sup>2</sup>/2''m'' {{=}} ''k<sub>B</sub>T''}}.

Etterhvert som temperaturen blir lavere, vil de Broglies bølgelengde {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''h''/''p''&thinsp;}} der {{nowrap|''p'' {{=}} &radic;(2''mk<sub>B</sub>T'')&thinsp;}} bli større og større. Det betyr at bølgefunksjonene for partiklene ved tilstrekkelig lave temperaturer vil få en så stor utstrekning at partiklene ikke lenger kan skilles fra hverandre. Man må da bruke [[kvantestatistikk]] for å beskrive deres egenskaper. Hvis det dreier seg om [[helium|He]]<sup>4</sup>-atomer som er [[boson]]er, ville det være [[Bose-Einstein-statistikk]]. De Broglies bølgelengde vil da opptre automatisk på formen

: <math> \Lambda = {h\over\sqrt{2\pi mk_BT}} </math>

Bortsett fra en numerisk faktor som er litt forskjellig, er dette det samme uttrykket som allerede ble funnet. Det er den '''termiske bølgelengden''' &Lambda;&thinsp; for partiklene.<ref name = Huang>K. Huang, ''Statistical Mechanics'', John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-85913-3.</ref> For He<sup>4</sup>-atomer ved romtemperatur er den om lag 1[[Ångstrøm|Å]] som er av samme størrelsesorden som atomets utstrekning og derfor ikke av betydning. Men ved mye lavere temperaturer nær det [[det absolutte nullpunkt|absolutte nullpunkt]]et blir denne bølgeegenskapen ved partiklene avgjørende og resulterer i [[Bose-Einstein-kondensasjon]].

==Referanser==
<references />

==Eksterne lenker==

* L. de Broglie, [http://www.academie-sciences.fr/activite/archive/dossiers/Broglie/Broglie_pdf/CR1923_p507.pdf  ''Radiations - Ondes et quanta''], Comptes Rendus '''177''', 507 - 510 (1923).
* L. de Broglie, ''La Nouvelle Dynamique des Quanta'', in [http://www.solvayinstitutes.be/pdf/Proceedings_Physics/1927.pdf ''Électrons et Photons: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique''],  pp.&nbsp;105 - 141, Gauthier-Villars, Paris (1928). Presentert ved [[Solvaykonferansen]] 1927.
* E. Schrödinger, [https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf ''An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules''], Physical Review '''28''', 1049–1070 (1926).

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Teoretisk fysikk]]
[[Kategori:Kvantemekanikk]]
[[Kategori:Vitenskap i 1926]]